RENE EN LT ENT

eh oi une À 8 dt

= sééitass- dues ati

règle de Laplace ; elle est égale à ss! >» Si l'on tient compte des

relations entre les coefficients des L, et que l'on pose s = a È Lo)

2 2 2 1 +4, + A7 + A;z + A5 + A5 et gs! = AE + ae FAR, AE

2 2 < à + dis + pe + La matrice M est régulière puisque s et SNS Ci différents de zéro, les conditions aux limites étant linéairement indépendantes.

Calculons les mineurs puis formons la matrice N et les expressions des V,(v) CLR RS MEN ST rent

8 Vi(r) = [B1d25 + Bdoa +B5Asair(e) - [BA,, +Ba, = 45417" (a) +[B1 A2 = Bd - BA 4" (e) . (P2A12 +513 + BAo [v"a) af r Fe s Un) = A; +0,54 +0, As, ]v(a) +4 Ans +41, - As, ]v'(a) - [4 A — A4 - 0 A, ,|v'(a) [XX À +o., À

Ep PA er +449 [N'Ca) s'UCn = Honey +éaés +dpate]") + [say +dca%g same |" (2)

-[dsa%e -0ya5g -dgA'églv"() F: 6256 +0, A57 +0,27 (D)

S'U CT) = [YSA 67 + Jde + Vide) "() [ds 257 + YA = Ygae|v'() +[754%6 - 7458 - YaAea (D) +[ Ya + Y7257 + YsA7]"" D) Nous obtenons ensuite, par la relation (IT;) et le théorème de la page 14,

A + ra N, = a, -[e 0m) +BÜ(r,) + y Ut) + AC ) :

Les coefficients du développement de La solution du problème aux limites sont, par suite,

où les (AC sont donnés par les formules écrites plus haut.

4.— Exemples.— Les exemples choisis correspondent à la liste des problèmes homogènes self-ad joints établie par Kamke, Differential gleichungen, Iôsungsmethoden und Lüsungen, 2° éd, D: 1020:

en e 4 Conditions À NUS ie y(o)=a; y'(o) = fB (chu, T - cosw, 7) (shw, x sinw, ©) Y(n)=Y; YEÛT) 0 (shw,x sinu, x) (chw, x— cosu,. x) COS wRr chwr= Il (&w # 0) | t(o)=d:- yo) (chu,n - cosw,r)(snw,x- sine, x) | y(T)= ÿ; y'(n) = (Shw,r £ sine") (chu, x- cosw, X) | te wT= th uT (w #0) | y(o)=a; y'(o) =f cosw,T (chw, x - cosw, x) | y'(n)=Y; y") + sinw,T (sh, x - sinwu, x) | s

teuwT= - thwr

y(o)=a@; y'(o) =f (chw,T +cosu, x) (shuw x-sinc, x)

y = ÿ; y") = -(shw, 7 + sinu nr) (chu, X-COSu x)

COST ChET =]

Jury = (x) mi

5 2Ww, —— ne [ou (en WT - cos w,T) + fBshw,T - sinw,T)

- JW, sinw,rshur + Ô (sinw,r chw,T — CoSw,T Shw,T )| - s

Ban) er er, T- cosw.H) + (shw, T i ) Ë x (Ch&w, (e) de Bar shw,T- sinw,T

& jw° sinw,T shw,T d(1 — cos WT cher) | »)

Dies 2 2; :

TPE bs [2e sinus, — 28, COS uw IT +, (1 + cosw,rchw, nr + sinw,T shw, Tr )

+ DCcoste, chu, + sin w,nsh w,R -— 1) | = a.

. [two (one, + cos WT) + pPus(shw,r + sinw,r)

à = (sr - (=D) -(p-c"8)|+ su)

1 £ |(2x-1)% - 4(2x-1)8 - 2(2k-1)2(-1) "7 + 8(-1)0 | + 16 | Mx-1)" + HE [ F L

Equation

+ ra | Conditions 7e = D, Vr 7(o) = ; y"(o) =f Vo = Fuel à Ur) 0 sinw,Tshw,x + shw,nsinw, x

ts &T = thur

cos kx

(Co) =a; y'(o) = : at À, = 1 y'R) = y; y") = (GO TS) J'(o) =x; y"(o) = PCR) = ET UT) = cos w, TT chw, x + chw,n cosw, TSwT = — thuwrn CE >. 0)

(Shu,r - sinw, TT) (chu, x + cosu, x

COS IT chwr = l K?

- (chu, nr cosu r) (Shw, x + sinw

4 dË {3

+ J y (sinw, chw,n + cos eu, TT shw,T) o 2Soinus ru, x | + à]

TAC, sinw,T) - Béw,(sh w,Tr + sinw,T)

sh 2&.,7T 4. tu

a 2 f afun(fez RE) cour |E- CE (2 pe - co%) - (p-c2%5)] -,)

+ Ju, (sinw,rT ch LIT - cos WT shw,T ) + cts

. —l ab 2 mi e [tu Ztonw,r — cos œw,T ) Btchw,n + cos w,T )

w, Tchw. TT

enr] - 4)

3 sh —

L sin 2&w, TT d one LEE k LA s N, = ch PE + 7 œ, | + cos LT É LL ; -1/1L |) x 2, = 24 (6-0) +4 ; 2, -2(2/r ‘à ul 2 - gi 7 F1 -{ ÉTAT - COS W,T ) + B(shw,T sin w, T )

- [JA LSinwLT sh w,T + Ô(sinw,r ch WT — COST sh are) + x,

5.— Application à un problème d'élasticité : vibrations transversales d'une verge.- Considérons, dans un plan vertical, une verge AA' de masse spécifique constante Ç . les dimensions de la section droite, d'aire S ; sont supposées petites par rapport à la longueur, égale à . L'extrémité A est appuyée alors que A' effectue un mouveïent harmonique simple, vertical, d'amplitude constante C ex de pulsation & 3; le centre O' de ce mouverent se trouve dems le

plan horizontal passant par À .

Choisissons pour origine des coordonnées le point A ; appelons Ox l'axe A0! et OY l'axe vertical orienté positivement vers Je haut , On suppose qu'au teups + = O la verge est au repos le

Jlons de laxe des x

L'équation du mouve:ent est () , dy 2 dy —> +8 — = D(x,t) ; dt? dx” ® d i

E est le module &'Young, I le moment d'inertie de la section droite par raprort à la droite nassmt par l'intersection de la fibre neutre et de la section,et perpendiculaire au plan de la verge (voir Bruhat, Cours de mécanioue physique, p. 630, Masson éd., Paris 1934).