BG) LA

(*) Les numéros entre crochets renvoient à la liste des ouvrages cités

; DATA ET 2e

jui at

où les VA sont les fonctions propres du problème n

YU + KGye— 0 a y(o) + a,y'(o) + 233 (Tr) + a,3'(r)

b.y(o) + b,y'(o) + by(T) + b4y' (nm) =

permet d'intégrer l'équation

lorsque les quantités

a r(2r-28-2)(0) o ne Aa) : a, r(27-282)(r)

4 ar 228-1)(x) È # 08 Ds Dr-29— À D, PCT 28 2)(0) " b, Fer 28 1) n bF( r-2s 2) (x) 4 k LP EE ee 4 à 4 sont données (SY=IO MU M., tr-l)otles À sont des constantes et. les coefficients &,, D; (1=11, SNL) doiventiétrertels que À ‘1 Frnho Free { = . | b: b, bz Un

On remarquera que cette transformation n'est pas applicable

en Co

quand les coefficients de l'équation proposée dépendent de x ; de plus, elle ne convient, dès que l'ordre est supérieur à 2, qu'à des

Éretasge

problèmes dont les conditions aux limites sont particulières,

Je me suis proposé, dans ce travail, non de prendre pour poin: |

de départ une transformation et de déterminer son champ d'application F relativement à la résolution des problèmes aux limites, mais de recher-

cher systématiquement un opérateur adapté à la question.

Je donne au chapitre II une méthode permettant d'associer, à tout problème (1) tel que le problème homogène correspondant (2) R

(1) Pour autant que le problème associé admette des j t valeurs opres % (voir [15], Pe 291) et que le système des fonctions DrODr0S pondantes soit complet. La.méthode s'applique également à d'autres problèmes aux limites (v. le chap. VI). s

(2) C'est-à-dire le problème i

que l'on obtient en remplacan:

seconds membres par zéro. Fe

à “at nl à ‘ul Va PPS PT MN EE SA VE 4

soit self-adjoint (1) une transformation ou, ce qui revient au même,

un type de série approprié.

La formule de Green (pour les fonctions d'une variable) joue

un rôle fondamental en ces matières (2), je pars de cette relation et

118) je transforme son second membre de façon qu'il devienne une fonction connue des quantités données; j'obtiens ainsi des conditions aux limites homogènes auxquelles doit satisfaire le noyau de l'opérateur intégral ;

22) por achever de définir la transformation, j'adjoins à ces condi-

tions une équation différentielle homogène renfermant un paramè-

tre.

Le choix de l'équation n'est pas arbitraires; il est déterminé par les exigences suivantes a) les noyaux doivent former une suite de fonctions orthogonales;

b) le premier uembre de la formule de Green doit être une fonction li-

néaire de la transformée.

J'appelle “problème associé” le problème auquel je suis conduit.

Dans les ed III et IV, j'étudie en détail les problè-

mes du second ordre , en particulier l'importante question du si-

gne des valeurs xropres.

Au chapitre III, les conditions sont de 3 espèce. La résolu-

tion des problèmes dans lesquels l'équation est à coefficients cons-

tants forme une application importante de la méthode; elle fait l'objet des paragraphes 7 et 8. Je donne deux exemples d'équation à coefficients variables. Le dernier paragraphe de ce chapitre est consacré

à un cas singulier.

s e Dans le chapitre V, j'envisage queloues problèmes du 4 ordre;

puis, à titre d'exemple, un problème d'élasticité (équation aux déri-

vées partielles),et je donne une condition nécessaire pour qu'un promm (1) Pour la définition, voir p.16.

Éhyoir [15], .p. 746.

(3) J'appelle problème du nat ordre tout problème constitué parune équation différentielle linéaire du Hi ordre et par n conditions

aux limites du type de celles de la p. 11.

blème du Rae soit self-adjoint.

Je montre, dans un dernier chapitre, que la méthode pern encore d'obtenir le développement, en série de fonctions propres,

solution de problèmes aux limites linéaires pour lesquels le prob. homogène correspondant n'est plus self-adjoint.

(1) Cette condition se généralise immédiatement aux problèmes Pate

4 * 11. PROBLEME et METHODE de RESOLUTION

1l.-Formule de Green. -

E- Représentons par L l'opérateur différentiel linéaire du niène ordre qui transforme u(x) en

(a) (n-1) & ; PU + pju + eo + PLU 3 les Pi sont des fonctions réelles de x , continues sur le sesment

. (a,b); on suppose, de plus, que les (n-i) premières dérivées de P:

existent et sont continues sur (a,b) et que P, est différent de zéro sur ce segment.

* Désigaons par L l'opératéur qui fait passer de u(x) à l'expression différentielle adjointe de l'expression (x) c'est-à-dire

L'u= (=) (pu) ©) + (1) (pu) He

@,, 10)" + pu.

On a l'identité (de Lagrange)

veu - uv = B(uv) , B (u,v) étant une forme bilinéaire des deux suites de variables : 4 (m1) ,

DU noi :

NV eee: EVE

En intégrant chaque membre de l'identité de Lagrange de a

à b et en désignant par (f,g) le produit intérieur des fonctions réelles et intégrables f et g, :

b ne | (£,8) = \ fg dx , 4!

a bi on obtient la formule de Green (pour les fonctions d'une variable) : 4 : | (ILu,v) - (u,L v) =|B(u,v) + eo Soient maintenant : | TU le vecteur de composantes u(a), u'(a), ..., ut) (a), 4 a(), up), .., MD), :

ee es ge É

Y le vecteur [v(a), AREA nes 1) (a), VD) 7 L()}s

(Ü,Ÿ) le produit intérieur des deux vecteurs précédents et

À la matrice à ?n lignes et ?n colomes

mr vb} Sr AE Sue RTL 2

LÉ (-1)*p, (a) Le (1) (8) 0 o : P (a) OEM (e) -p,(a) 0 0 … 0 + (1) (D) 4 (1) %p, (D) 0 0 1 .. -p,(b) 0 .…. 0) EE OR CRE RE 0

Nous n'avons écrit que les éléments utiles au calcul de la ve. leur du déterminant de A ; les éléments qui se trouvent au-dessous des diagonales sont tous nuls. :

Comme

BQuv) = up pu) yptés ie (1) Tu (p 7) (MD)

+ u2) (pv) -0(03) (piv)ta + (1) up, v) M2)

Fois ! = +u'(p,,,v) u(p,,,v)' + u(p,,1v), la formule de Green s'écrit :

(Lu,v) - (u,L'v) = (D,AŸ) = av) en ee (NT 4

— Problème.

L Considérons l'équation différentielle linéaire du nrème ordre É (11) ly + ry = f(x) et les conditions aux limites, supposées linéairement indépendantes,

Li(y) = ay (a) D ay (a) Ha a(+),(m-1),, (II, ) ques a Re 0) PCR DER (ie ;

r et les a(1) CNE R dar tke 1, 2, ..., ?n) sont des cons-

tantes réelles; L est l'opérateur défini dans le paragraphe précédent et f(x) une fonction généralement continue sur (a,b), c'est-à-dire

a) qu'il est possible de partager (a,b) en un nombre fini de segments partiels à l'intérieur de chacun desquels f(x) est définie et continue,

b) qu'aux extrémités de ces segments intérieures à (a,b), la fonction a des discontinuités qui sont toutes de première espèce,

c) que lim f(x) et lim f(x) existent.

; Le problème aux limites constitué par 1! équation (IT, ) et les - conditions (IL, ) 2) ntest pas toujours possible. Do LR RP EE PR ON A EE OR EEE CE Tr (1) Notation de D. Hilbert; voir HO I ED (2) Le problème consiste dans la recherche d'une fonction qui satisfasse à l'équation (Il;) et aux conditions (II, ); nous dirons simplement : problème (II; + IT, ). Dans les ouvrages anglo-saxons, on dit : "système" (Il, + IT, ).

Si l'équation homogène L|

GE Ly + ry = 0 | accompagnée des conditions homogènes il (ITS) L,(y) = 0 (G=1,2, ..., 2) 0

n'admet que la solution y = 0, le problème est déterminé. En revan— | che, si r est égal à l'une des valeurs propres du problème 1

Ly + Ày = 0 1

il n'y a en général aucume solution (théorème de l'alternative). «

Nous supposerons toujours que r ne coïncide pas avec une valeur propre. 1

Nous nous proposons de trouver, lorsque le problème (TES + 112)

(1) , une série de fonctions orthogonales qui représen-

est self-adjoint te, dans l'intervalle ou sur le segment (a,b) (2 , la fonction y défi nie par l'équation (IL) et les conditions (II, ). il

S CIE Méthode ea

Soient y la solution du problème (IT;+II, ); v une foncti (n-1

‘os sta Se rate Me ad

Dans les questions où l'on utilise la formule de Green, on cherche d'ordinaire à déterminer v de manière que A (#,Ÿ) soit

(1) Pour la définition , voir p.16; voir aussi le chap. VI.

que l'on va définir et Y le vecteur de composantes y(a), y Ce PS NO RE SU Le 1| On a la relation (formule de Green) |

(Ly + ry, v) - (y, L'v + rv) = A (Y,V) |

ge | x Es gi

(13) (Fr lv ter) = (Br), AT, v). ;

dot

(2) Intervalle (a,b): ensemble des points x tels que a<x-=b, Nous dirons qu'une série représente la fonction F(x) dans un intervalle (sur un segment) lorsque cette série converge et a pour SOmr me F(x) en tout point de l'intervalle (du segment),

nul; nous choisirons au contraire v de façon que cette expression soit une fonction connue des quan ti tés x (),

Ce choix est possible.

En effet, transformons d'abord le second membre de la formule de Green par un changement de variables.

M et N étant deux matrices régulières quelconques, à ?n lignes et 2n colonnes, posons

ÿ = MY, BEEN à nous aurons alors # — —+ — — (Iy,v) = (71 v) = À (,v) = PA) Il existe entre les matrices A4, B, M et N la relation B= (mljranl (D), Si la matrice M est donnée, nous pouvons choisir N de façon que B soit la matrice unité. Nous devrons avoir

E = (M7L)ran + d'où K= (MT),

Après le changement de variables, le second membre de la for-

mule de Green a la forme (dite canonique) on

E(7,0) Pa Us) , les Yx) et les Ÿ,(v) étant respectivement les composantes des vecteurs | et V ; on a, en désignant par Dee les éléments de la

matrice M :

(Œ)mea AC, Ÿ) = va = ()'AR U = YO D'ART

CNE OP AE

Y' , par exemple, est la matrice transposée de Y , matrice à une colonne. Remarquons que la valeur absolue du déterminant de A est

[P (a)r,)]” ; cette matrice est donc régulière. o

DS Me M nee er | Lx NB Re En re il M = , 4 Bo, 1 Don,2 Ton, 2n

Éric

Gt) = mm, 17(a)+. ; en, TD) (a)ame 17 (De + le onŸ

Jusqu'à présent, la matrice M était quelconque (régulière); Î

nous poserons désormais ù

my = x (x) Ceres Na 4 ARR ER NOR ES DE %

autrement dit, les n premières lignes de M seront constituées par les coefficients qui figurent dans les conditions aux limites (IT, )3 4 nous aurons 1

a 2 je nm (49 on A(F,7) nn x L Cv) + = LACET

pm Are

Nous prendrons en outre, pour v, une fonction satisfaisant aux conditions

2 tn