PAPA RMC CM EE
A(T,Ÿ) deviendra une fonction connue des x À) CELL MS RS ANNE
Nous venons de démontrer le théorème suivant
: Si v est une fonction qui satisfait aux conditions
V;(r) 10 CREME En)
Théorème
la forme A(Y,V) est égale à
3 at) Ÿ (mn).
,les Vtv) (k = 1, 2, ..., 2n) sont les composantes du ne. — = —
teur Ÿ , défini par l'égalité © = NV = (M NUE M est une matrt- |
ce dont les éléments des n premières lignes sont les coefficients qui
figurent dans les conditions aux limites (ID les autres éléments +
arbitraires, sous la seule réserve que la matrice soit régulière.
Remarque : Si le problème est, dans le cas où n = le (p(x)y')" + a(x)y + ry = f(x),
obhécnt:
Ay(a) + &y'(a)
x , By) + B,y' C) B ,
M és 2 lc dd né
on peut trouver très simplement les conditions auxquelles v doit satisfaire.
En effet, il suffit de prendre une fonction v telle que
v(a) = ha, , V'(a) = - ha ;
' L kf8, » v'(b) kBs.
h et k étant des constantes arbitraires, différentes de zéro ; on voit sans peine que la forme ACT, Ÿ) est égale à kp(b}3-hp(a)x
puisque AV est le vecteur (-hp(a), -hp(a),, kp(b) (33 kp(b}, ).
Les conditions précédentes peuvent être remplacées par les conditions équivalentes
337) + PB4v" () =" 0
que nous obtiendrons, par la méthode générale, au chapitre III.
La Pour achever de déterminer v , reprenons la formule (IT).
Soient Par Por eee un système complet de fonctions orthonor-
mées et
Pa Pr
LÉ
le développement (2) de la fonction f(x) , second membre de l'équa-
tion (IL); selon ce système.
(1) Nous dirons qu'un système de fonctions orthonormées sur (a,b): Par Por es est complet si, pour toute fonction généralement
continue f , la suite n
on (Æ, Ps) Pi Ga SAS A b60) converge en moyenne vers f c'est-à-dire si b = = tes) = 10):
lim N(£ #0) lim |. (£ f,) dx
n > 00 GDJRST À : 4 , ++. sont les composantes de f(x) par rapport au système orthonormé complet Ps Por es JDRene développement de f(x) dans ce système la série A ÿ » que cette sé rie converge ou non (elle converge en mcyenne vers f(x)). Les A* sont les "coefficients de Fourier" de f(x) sur (a,b) par
k rapport au système considéré.
le terme (f, Pr) de la relation (T3); dms laquelle on a remplacé v par PL» est égal à À,
* ; Remarquons aussi que si l'on avait L Pi ee À k Œ % pour DUR ON LEE Re EP A TR RE A 9 Goma mL ee
RES oc ee À étant des constantes, le premier membre de
k (IT); quand on substitue Pr à v, serait au facteur r-À, près
le coefficient de Pr dans le développement de la solution du pro-
blème (IT + II, ).
Les considérations précédentes nous conduisent à définir la
fonction v par l'équation différentielle *
(I1,) L'y+Âv=0
et les conditions aux limites
(ITS) Ut) = 0 (ie Te
On sait (1) que l'équation (T1,); jointe aux conditions (ITS) :
détermine précisément me suite de fonctions orthogonales si 1f L =2L o es x Dax CLNTeS V,(r) sont des combinaisons linéaires des L, (y)
(HELENE Eine ien ne een) n A0 2 Ci 31; (v) , CPE Qu,
c'est-à-dire quand le problème (1, + IT) est self-ad joint (2 K
Or, si le problème Ce + 1) est self-adjoint, le problème (TT, + IT, ) l'est également (et réciproquement).
En effet, l'équation Ly + ry = O étant setf-adjointe, l'équation Lv + Àv = 0 l'est aussi. De plus, les conditions (Ts)
(2) Le problème adjoint du problème (T1, + IT) est + lu + Au=0 , L,(u) = 0.
Ce problème et (I, + IT.) admettent les mêmes valeurs propres,
chacune avec le même ordre de multiplicité; voir [9 pe 215% POUR tout ce qui concerne les problèmes adjoints, voir T, Den eo) 212 ou Me. Bôcher, Leçons sur les méthodes de Sturm, Gauthier-Villars, Paris 1917, ou encore (5l °
4 MAN Er € r'ogh DA à M
pu ÈÉ à dat
sont celles du problème adjoint de (LE, + 115) >; leurs premiers men
membres sont donc, par hypothèse, des combinaisons linéaires des L;(v).
La transformation fonctionnelle T que nous cherchions est EG à D A donc définie par l'égalité b r {s(x)} - \ £(x).v, (æ)ax a à
dans laquelle les Vr sont les fonctions propres du problème
Liv + Àv = OR V6) =) ÉMIS NT) ou du problème équivalent Lv + Àv =0 L,(v) =0 CT ren):
Nous appellerons le problème précédent (ou un problème équivalent) "problème associé" du problème (II, + IT, ).
Nous venons de montrer que les conditions aux limites qu'il faut prendre pour le problème associé, quand le problème homogène (IT, +I D) est self-adjoint, sont celles de ce problème (I +) (ou des conditions équivalentes).
Remarques.
I) On aurait pu envisager une transformation fonctiomnelle
définie par l'égalité
b Z, = COTE CSP eau)
et chercher à déterminer son noyau, (x) , €n vw de la résolution du problème (II, + IT, ). è
A cet effet, appliquons l'opérateur à Ily ; nous obtenons
b + — b * vLLydx = A(X,V,) + JL v,dx , a a me ! (n-1) \éa étant le vecteur de composantes v,(a); v x(2); 5 Ve (a),
vx (D); vi (b), ur FL) (5).
Il s'agit de choisir v. de telle sorte que le premier ter-
RE (Nr RE me du second membre soit une fonction connue des \ ) et le second
terme une fonction linéaire de Zu +
On y parvient à l'aide du problème (x, + ITS) : & L'v = — Àv, |
V6») =0. CÉAET EMEUR
On obtient, en désignant par À, les valeur propres et par Le les nu propres Re à \ v, Lydx = — PACS) -À,z, :
L'opérateur qu'on vient de définir transformera l'équation différentielle (L;) en une équation algébrique linéaire dans laguel-
le figureront les quantités connues ®\-’, II) On pourrait substituer à (IT,) l'équation ’
Lv + rv + Àgv = 0 (Di I): ;
g étant une fonction continue et positive sur (a,b).
On aurait,par la relation (IT): À, étant une valeur propre
et Vy la fonction propre correspondante, n
À en = 27 PAC “ANR l
es Lan le (mer IMPR ERIC
Nous n'utiliserons pas cette équation. :
