E EXEMPLE

Fic. 10.

Les ordonnées de Ge te de la circonférence, sont : 5

“rence > sont - — - 2, 0, » et 1, A Ce sont Ve sue de la propose.

* CRE à

Scion. la combinaison de signes dont on affecte les ; riques , et8,ona: a

| De Ja olbon tas ces ie équations, différa Nes les sons S ‘effectue à | il aide dur même > tracé pari ue. D.

Premier quadrant : x — 5x — 8 — 0; —- Les coordonnées du centre sont (+ 3, + 4), et la circonférence (le point origine non compris) coupe la parabole en ur seul point d’abscisse æ, — 2,803.

C’est la seule racine réelle. (La courbe y — x — 5x — 8 a.un

Mæ = — 3,69 pour æ — — 1,290 et un Mn — — 12,3 pour æ — + 1,291).

4% Deuxième quadrant : x? — 5x + 8 — 0. — Les coordonnées de C sont (+ 3, — 4) et la racine réelle unique est æ, — — 2,803.

La courbe y = x° — 5x + 8 a un Mx — + 12,3 quand x — — 1,291 et

un Mn — + 3.69 quand x — 1,291.

FIG. ft:

Troisième quadrant : à + 5x + 8 — 0. — Les coordonnées du centre sont (— 2, — 4) et la racine réelle unique x, — — 1,249. (La courbe y = 2° + dx + 8 n'a ni Mx, ni Mn, car elle est constamment croissante). Quatrième quadrant : &Ÿ + 5x — 8 —0o, — Les coordonnées du centre En, sont(— 2, - 4) et la racine réelle unique æ, — + 1,249.

20 RÉSOLUTION DES ensee CUBIQUES

(La coùrbe y = x + 5% —8 na ni Mx, ni Mn, car elle est loujours | croissante. ) es Certes, nous n’affirmerons pas que des intersections de paraboles et de : circonférences peuvent donner mieux que des résultats, approximatifs — — surtout lorsque les courbes se coupent sous des angles lrès aigus. — : Mais nous pouvons dire, cependant, que la méthode graphique ne doit. cr ee être ni récusée n1 dédaignée parce que : ei 1° Elle a le mérite de la simplicité (un tour de compas dans le plan d’ Une + 0 parabole); | Fe.

2 Elle donne des indications, die et Lintengre os facile, SUL + le nombre et le signe des racines réelles. Se En particulier, ces AE sont d'une re très suffisante rs es quand ils concour x pe Eg.Cest he effet, un graphique qui sert d’ A à un ane D à Soit, par exemple, à effectuer le tracé de la courbe y = à —3% #1 Re L'exactitude d'un tel tracé est d'autant plus grande qu'on parvientàa déterminer une plus grande série de points de la courbe et, si possible, de tangentes en ces points. | A Une première série de points est fournie par a dérivée. Or

33 (a 1) = 3x EL Lie), a

et y s'annule pouræ ——+E1. Or, quand x =-14;y— ee NES quand | GA, y=>-1 = Mr. re

D'autre part Mx >< Mn — — 3 < o, ce qui indique trois points d'inter- a section de la courbe avec Ox, d’où une deuxième série de points remar- & quables fournis par la résolution graphique de l'équation à? — 3% L41=0, c'est-à-dire y — 0. Or les intersections de la parabole y — x? avec le cercle, dont le centre a pour coordonnées (— 0,5, + 2) avec rayon — CO, pre ee les abscisses — 1,88, 0,35 et 1,53.

Le centre de la courbe est déter miné par le terme constant —+ 1 (quand (x = 0, y — 1). Donc la courbe coupe Oy au point d'ordonnées + 1 et la. pente de la tangente en ce point (point d'inflexion et centre de symétrie) se calcule par la dérivée y — 3x? — 3 dans laquelle on fait x = 0 : |

HS tes 0.

Enfin, deux autres séries de points sont obtenues : 4° En transportant l seine 0 au point es AS Or

VX IX x (ur — SX (NÉ VX NS

ét pour Vo ona X:—= 0, Xe V3: X7— + V3 ce qui donne les deux points À, et B,; > ; ARE Di aucportanl F origine O au point y — 2. Puisque la courbe à un

centre, les droites AO A’ et CO,C’ sont partagées au centre O, en deux parties égales, ce qui fixe les deux nouveaux points A’ et C”. D'où le tableau des variations :

LR co — 41,88. — 1 0 0.35 1 153 + co £ Æ 0 3 0 re vA 0 = | à DT ra st N Poe Le Se

D'où la courbe FMx:0 ,MnH qui représente ces varialions.

é ER Me ee PO RIR EE EE à 2 k 3 À' | { | | :

| r XL F . PT PRE AE 2. EE .v KE.

Fic. 12.

Si dans la fonction y = x? — 3x + 1 on donne à y la valeur À (para-

mètre variable), on peut écrire æ° — 3x + (1 — À) = 0, équation du troi-

sième degré en x, et discuter cette équation, en suivant le graphique de

Mn vers Mx. D D pe) Si x < —— 1 : une seule racine négative 0 C2 SE SI À = — À:: deux racines dont une double — de à Mn) el. — 3x + 9 @—1ÿ

He de, | nn

dont l’autre se calcule en faisant la division — qui donne ;

Si — 1 < X < 3: trois racines dont la plus grande en valeur absolue est. négative si À € 1, positive CR SAUÉ - LES Are Si = 3 : done racines dont une Hvuble = Flaute 2222 ne Si > 3 : une seule racine positive (plus grande que 2). : 7 SE Lorsqu'on donne à À la valeur particulière 2, l'équation devient :

DORE De lee 0

(l'axe Ox coupe Oy au point d’ordonnée 2) et cette équation ‘a ne racines — 1,53, — 0,35, + 1,88, c'est-à-dire les mêmes racines que 2% — 3% + À — o mais Do de signes. : | Dans les divers déplacements parallèles de l'axe Ox, les abscisses des. points d'intersection ou de contact de cet axe avec la courbe offrent une F2 relation tout à fait remarquable : leur somme algébrique est nulle. ro Ainsi, quand l'axe Ox passe par l'ordonnée (— 1), il a avec la courbe un. point de tangence représentant la racine double + Let un point d'intersection représentant la racine — 2 : + 1 + 1 = 2 — 0; de même quand Ox passe par l’ordonnée (0), les abscisses des points d'intersection sont . —= 1.88, + 0.35 et 1.53 et — 1,88 H 0,35 L 1,53 — 0 ; de même a passe par l’ordonnée (+ 1) on a — V3 o + V3 — 0: de même quand il ‘passe par l’ordonnée + 2, on a — 1,53 — 0,35 + 1,88 — o, et ainsi loujours de même. | er Cette propriété intéressante se démontre encore en utilisant les relations entre coefficients et racines. Si en effet nous considérons l'équation com. és sous la forme xÿ + ax? + bx + © — o dont les racines. ou DE æ”, on a les équivalences

DE a <br +co=(r—x)(x-- «(x —r)= | ur x ET æ; - ou x”) x? a (x! + x’ + æ”) x? LE (x'" x x” + x” x”) pee Et .

Or l'équation normale x° + jx + q est une équation sans terme en a, autrement dit dont le coefficient de est égal à o. | se On a donc a — 0 ou &' + x” + #” — 0 : la somme des racines est nulle.

RÉSOLUTION TRIGONOMÉTRIQUE de x#° + px + g —0.

Lorsque, dans la résolution des équations cubiques, on veut obtenir des résultats, non plus approximatifs, mais absolument exacts et précis, la

seule méthode élémentaire acceptable est la méthode trigonométrique.

Celte méthode, en effet, permet (au moyen des tables de logarithmes, comme pour une résolution de triangle), de calculer les racines de n’importe quelle équation cubique normale et par suite de toute équation quelconque du troisième degré. L'unique préambule obligatoire est le choix convenable de la formule trigonométrique appropriée au cas proposé, choix d’ailleurs étroitement dépendant du signe de l'expression 4p° + 27q?.

Le plus souvent, sans doute, la somme algébrique 4p° + 279? sera Z 0, positive ou négative. Le cas 4p° + 279? — o sera donc très rare, si rare qu'il convient, pour déblayer le terrain, d'examiner d’abord ce cas particulier.

PREMIER cas : 4p° + 27q? — 0.