FORMULE DE TAYLOR

Cette formule étant d’un fréquent usage dans ce qui suit , nous en donnons d’abord la démonstration (’).

Quand il s’agit d’une fonction f[x) entière et du degré m , la formule de Taylor s’établit aisément par la loi du binôme de Newton , et l'on trouve :

f[a + A) = fl«) + h f(a) + ^ />) + + /»

Ce développement se termine au i/t -f- i , * m * terme; car les dérivées f m+l (a), f m+t {a) , etc., sont toutes nulles.

Si la fonction f[x) n’est plus entière, mais quelconque, ou peut néanmoins se proposer de développer encore f(a -f- h) suivant la loi précédente; mais le développement va présenter une série illimitée de termes. Si l’on s’arrête au n lè “” terme, et si Ton désigne par R le reste inconnu destiné à compléter la série, on aura, par définition:

k =/i.+*)-/i«)-An«H^n«)- - i : i : £p r -i i r " lal

et la question consiste à trouver une expression de ce reste

(•) Nous empruntons cette démonstration au Traité des approximations numériques de M. Vieille.

sous forme Unie. Voici cette expression :