OA

6 étant une quantité positive moindre que l’unité.

Cette expression est applicable à toute fonction, algébrique ou transcendante , pourvu que la n 1 * 0 *' dérivée f"{x) reste Unie et continue pour toute valeur de x comprise entre a et a -f- A.

Pour démontrer la formule (1), posons

Pour x = a, ip(a) se confond avec l’expression (1) du reste II. La dérivée de <p(x) se réduit à

Supposons d’abord A positif, et désignons par M la plus grande des valeurs que prend f*(x) lorsque x croit de a n a A. On a constamment

Donc la fonction qui a pour dérivée le premier membre de celte inégalité est croissante. Or cette fonction est évidemment

et comme elle finit par s’annuler pour x -\- h , elle a dû être constamment négative pour les valeurs inférieures de x. On a donc , en particulier, pour x = a

ou

En désignant par m la plus petite des valeurs que prend f H (x ) , lorsque x varie de n à a -f- h , on aura de même .

Ainsi H est égal au produit de — par une certaine

quantité comprise entre m et M.

Tout ceci n’exige pas que f{x) soit une fonction continue , mais seulement finie entre a et a -)- h. Maintenant , si l’on suppose /'"(x) continue, elle passera par tous les états de grandeur entre sa plus grande et sa plus petite valeur; il existera donc une valeur a 6A de x comprise entre a et a h , pour laquelle /‘"(x) atteindra la grandeur comprise entre m et M dont il a été question plus haut, et dont le h n

produit par — — - est égal au reste R. On aitra donc

R = tttx ri x + eA )

Nous avons supposé h positif. Dans le cas contraire, on fera crottre x depuis a -{-h jusqu'à n; le facteur a + h — x sera négatif, et l’on aura deux cas à distinguer : n pair, n impair. Le lecteur achèvera facilement lui-même la démon-

0 RÉSOLUTION DES EQUATIONS TRANSCENDANTES, stration. Dans tous les cas on trouve :

f”[a -f OA)

Par conséquent on a

f[a + — fi a ) + A f /i) + f"' 0