COS

Un autre procédé très-fécond consiste à remplacer x par a -f- b \J — 1 dans l’équation, (a et b représentant des quantités réelles), et à prouver que l’on arrive à des résultats contradictoires si l’on ne suppose b = 0.

Cette méthode me parait avoir été inventée par Fourier. Il l’applique (’*) à l’équation

x— X tanga: = 0

en supposant X < 1.

Plus tard M. Cauchy a développé cette idée et s’en est servi pour un grand nombre d’équations. Je me contenterai d’appliquer la méthode à quelques équations qui ne se trouvent pas dans le traité de M. Cauchy, et j’en profiterai pour employer quelques artifices particuliers.

Je prendrai d’abord l’équation

sinx = a

dans laquelle je suppose a < 1.

Si je pose x — y -j- : / — 1 ", j’obtiendrai

ûnycos[z\f^i)-\-<x>sy sin(z

D’où

(1) | (e* + e~‘) siny = a

( 2 ) i (e* — e~‘) cos y = 0

(*) On le démontre plus loin au paragraphe 23. (") Théorie delà chaleur, p. 366.

Or, dans le cas où z n’est pas nul, on ne peut satisfaire à l’équation (2) qu’en posant

cos y = 0

mais dans ce cas, on a siny = \, en valeur absolue.

Donc l’équation (1) devient

mais on a

i (e* + o = 1 + \ + + etc. > 1

Donc l’équation (3) n’a pas de solution réelle, si l’on a a < 1

La démonstration s’applique au cas où l’on a y = 0.

De même, l’équation

co s a: = a . .

ne peut avoir de racine imaginaire de la forme a -f- b T, si a ne représente pas un nombre supérieur à l , en valeur absolue. En effet, si l’on pose x — y-\-zs]— 1 On trouve les deux équations

W |(e , + r*)cosy = a

(8) i {e* — e~*) siny c=0 •

Si donc 2 n’est pas nul, il faut que l’on ait slny =0

d’où cosy = l >

en valeur absolue.

Donc on aurait encore

ce qui est impossible, en supposant a < 1.

Considérons maintenant l’équation suivante, déjà traitée au paragraphe 17.

(4 — 3x’) sin x — 4x cos x = 0

Cotte équation n’a pas de racine imaginaire. On peut l'écrire sous la forme

(6) tang x =

Cette équation est comprise dans l’équation plus générale :

tang x =

Équution que M. Cauchy a traitée; mais il n’a pas examiné le cas où a et b sont négatifs, et c’est celui que nous considérons ici.

Prouvons d’abord que l’équation (6j ne peut avoir de racine

imaginaire de la forme x = yy / — 1 , ou, plus généralement, que l’équation

ne peut avoir une racine de cette forme, si l’on suppose a <3.

Pour cela, posons dans l’équation (7) x=y\[—ï' Il vient

Or, si l’on suppose a < 3, il est évident que chaque terme du premier membre , à partir du second terme , surpasse le terme correspondant du second membre.

L’équation (8) est donc impossible. On ferait voir de même que l’équation

tang x —

n’a pas de racine imaginaire de la forme x = y ^ — 1, si l’on suppose o < 3 et (3 > a.

Prouvons maintenant que l’équation (7) ne peut avoir de

racine de la forme x = y -j- z \J — 1 , si l’on suppose toujours a < 3.

Pour cela, posons

y + ; \J — 1 = p(cos6 -f- — t sin fi)

Nous aurons

p*(cos 20 + \J — 1 sin 20 ) ,

p*(cos 404 V — i sin 4o)

P*(cos604-v / — ï" sin 60 )

p*(cos 20-|- \J — T sin 0 )

p‘(cos 10+^ — 1 sin»)

A Ct O à

p"(cos604-v / — 1 sin 6)

’p*(cos2ô-fV — 1 sin2ù)-

D’où l’on tire

, / — r . a J cos 40 -f y/— t sinlo\ ./cos60 +J — lsin6e\

ricosSO+vCTsm»)-^ ÎL J+P\ jîL J

/cos204V — lsin2o\ ”1 T / cos29-}-^ — dsin2o\

— oi — — fî — )

k /cos 40-}-/— 1 sin4o\

En égalant les parties réelles, nous aurons

( ! + 03)) p ’ co,20— (ïS3 + 03Zii) ^ ms40 + ( 0 I 3 X& + O. ... 7 )

=Rf‘cos28- î ^ i P‘o 0 s«+î 1 ^ i P , co.68-...,

Donc on aurait

a OL

etc.

égalités qui ne peuvent avoir lieu lorsque # est inférieur à 3, ainsi que nous l’avons déjà remarqué.

On verrait de même que l'équation

■ CuU *

lan 8 x = îi — 6

ne peut avoir de racine de la forme y -f- z\J — 1, lorsque

l’on a b > o a < 3.

Les équations suivantes :

(e* -J- e - *) cosx — 2 = 0 (e* + e~*) cos x -J- 2 = 0

ont des racines imaginaires de la forme zsj — 1. (Voir § 18 et § 19.) Nous allons prouver qu’elles n’en ont pas de la

forme y + z\j~—i.

Considérons d’abord l’équation

(9) (e* + e - *)cosæ — 2 = 0

Posons x = y -f- z\j — 1 . Nous aurons

(1 0) e» +, ^ r ‘-(- £-(»+*) = (ev-| e -v) cosz (-( e » — g-*) sinr — 1

(11) cos(y + z y/— — î) = i (e‘-f «"’) cosy — { (e* — e~') siny y/— i

L’équation (9) donne donc les deux équations :

(c*+e-*) co s y co s z+ (e*— e-‘)sinysinz=2

( e v g-v\ / e yJ-g-V\

— - — J (e*+e-*) cosysinz— ( — - — I (e*— r*)sinycosz=0

Cette dernière équation peut s’écrire ainsi :

e v — ç-y cosy e* — er‘ cos z ' e y -f e rV ’ sin y ~~ e* + er‘ ‘ sin z

Pour que cette équation soit vérifiée sans que y ou z soit nul, il fout nécessairement que l’on ait y — :. Mais alors l’équation (12) devient:

(15) (e* + e' y )’ cos’y -f (e y — e-*)' sin*y = 4 ou , en remplaçant si n’y par 1 — cos- y

(16) [e v — e‘»)* -|- 4 cos*y = 4

d’où

(e* — e ■»)* = 4 sin’y e y — e~* = ± 2 siny

Équation absurde , car on sait que l’on a

On verrait de même que l’équation plus générale (e* -}- e - *) cos x — a = 0

n’a pas de racine imaginaire de la forme y z\J — 1 si l’on

suppose a < 2 (*).

C) Si dans la formule

'ang|-±

( I — cos-t ^ * I + COSJT/

on remplace cos x par sa valeur tirée de l’équation (9), cos*= il vient : * *

tang - = i: —

M. Cauchy a démoutré que cette équation n’a pas de racine de la

forme y + z \/— 1.

On pourrait en conclure qu'il en est de même de l’équation (9).

Quant à l’équation

(e* -(- e *) cos x -f- a = 0.

11 suffit que a soit positif pour qu’elle n’ait pas de racine imaginaire de la forme y -\-z\l — 1 .

En effet, si l’on pose x — y z\j — t , on obtient les deux

équations suivantes :

(18) — ^ — (e*+ e 1 ) cosy cosz -| — (e s — e~‘) siny sinz = — «

e* — e v cos y e : — e~ l cos;

e » ) g-y ■ sin y e- -j- e - ' ‘ sin ;

cette dernière équation exige que l’on ait y — z. Donc l’équation (18) se réduit

(e v + e - ’) 1 cos*y + (e» — e - »)* sin’y = — 2 a

ce qui est impossible; car le premier membre est positif et le second est négatif.

25. Cette méthode ne parait pas applicable à l’équation du n° 23. Mais Fourier a démontré que cette équation ne peut avoir de racines imaginaires. Cette démonstration n’exige pas, comme la précédente, que les racines imaginaires soient de la forme y -f z\j — 1 ; mais elle a été donnée complètement par Fourier, et l’on a prétendu qu’elle n’est pas rigoureuse; c’est pourquoi nous l’exposerons en détail.

Du Gua a donné, le premier, une règle pour reconnaître si les racines de certaines équations algébriques sont toutes réelles. Cette règle pourrait se déduire très-simplement de celle de Fourier.

Si RÉSOLUTION

Soit une équation algébrique de degré m f{x) = 0.

La suite [ — œ>] renfermera m variations et la suite [e»] n’en renfermera aucune.

Deux cas pourront se présenter lorsqu’il y aura une variation de perdue. Cette perte pourra correspondre à une racine réelle ou ne correspondre à aucune racine réelle. Autant de fois le second cas aura lieu, autant il y aura de racines imaginaires; car l’équation doit avoir m racines réelles ou imaginaires. Or, le second cas ne peut se présenter que pour une valeur x == a qui n’annule pas f[x) ; mais qui annule l’une des dérivées f K [x) t /'■"‘(a) et /‘"“‘(a) ayant le même signe. Si donc toute valeur de x qui annule une dérivée donne des signes contraires à la dérivée précédente et à la suivante, l’équation algébrique ne peut avoir que des racines réelles.

Telle est la règle de De Gua, démontrée aussi par Fourier.

Nous avons vu comment on trouve les racines réelles comprises entre deux limites a et (1 , entre lesquelles une dérivée f m (x) conserve toujours le même signe.

Nous avons vu que chaque racine réelle entraîne la perte d’une variation dans la suite [a] ; mais que la perte de variations peut ne pas correspondre à des racines réelles. Ce dernier cas ne peut se présenter que lorsque l’une des dérivées de la suite s'annule sans que les deux dérivées qui la comprennent soient de signes contraires. En supposant qu’il y ait 2 n variations de perdues de cette manière, on ne pourra pas en conclure, comme pour les équations algébriques, qu’il y a 2n racines imaginaires. Et réciproquement, s’il n’y a aucune variations de perdue de cette manière, on ne pourra en conclure que l’équation transcendante n’a que des racines

réelles. Il pourra arriver qu’elle n’ait ni racines réelles , ni racines imaginaires.

Mais il n’en est pas de même lorsque le premier membre de l’équation transcendante

est le produit d’un nombre infini de facteurs simples, réels ou imaginaires. La fonction f[x) et les dérivées sont alors continues pour toute valeur de x. Désignons par a et fl deux limites déterminantes, et supposons que la limite [P) renferme S variations de moins que la suite [a] ; nous pourrons en conclure que l’équation n’a pas plus de 8 racines réelles entre ces limites. Si le nombre des racines réelles est moindre que 3, s’il est par exemple 8 — e, il y aura nécessairement entre a et p, e variations de perdues ne correspondait pas à des racines réelles. Donc si aucune des 8 variations ne se perd de cette manière, on en conclura que les 8 racines sont réelles. Ce raisonnement pouvant s’appliquer à tout autre système de limites déterminantes, on pourra voir si toutes les racines de l’équation sont réelles.

C’est ainsi que Fourier a prouvé qu’il n’y a pas de racines imaginaires dans l’équation :

Nous avons déjà remarqué (n” 20) que trois dérivées consécutives de /"(x) sont liées par la relation

D’un autre côté, il est évident que la fonction f(x), ni aucune de ses dérivées ne peut être annulée par une valeur négative de x.

De plus, si l’on désigne par a une quantité réelle qui annule f*+ l [x), on aura, en vertu de la relation (2)

et, par conséquent, toute valeur réelle de x qui annule une dérivée f* +i (x) donne des signes contraires aux dérivées f‘{x) et f KJ,t (x).

Fourier prouve enfin que flx) est le produit d’un nombre infini de facteurs simples. Il considère d'abord l’équation algébrique :

=1— ny + --- . — „ 1 7-7— ^r4r^etc. = 0

n étant entier et n 1 étant le nombre des termes, si l’on pose ny=x et n=co l’équation (3) se réduit à l’équation (1). Or F (y) peut toujours se décomposer en n facteurs quelque grand que soit n. Donc il en est de même pour n = c«. Donc f{x) est le produit d’un nombre infini de facteurs simples. Mais la relation (2) fait voir que ces facteurs sont réels. Donc f[x) est le produit de facteurs réels correspondant aux racines de l’équation

On pourrait prouver de même que les fonctions sinx et cos x sont des produits de facteurs simples réels, c’est-à-dire, que les équations

sinx = 0 cos x = 0

n’ont pas de racines imaginaires. En effet, l’équation

<*> ^ ÎX5 +Î13Â5

DES EQUATIONS TRANSCENDANTES. (K

est un cas particulier de l’équation

Or F (y) est toujours décomposable en facteurs. Donc il «•st de même de f(x).

De plus, on a

f(x) — sinx

[f X) — COS X f'{x) = — sinx f’\x) — — COSX /'"(x) = sin x

On a donc, en général,

f n ix)=—f" ri (x)

Donc les dérivées f n (x) et f* +i (x) ont des signes contraires lorsque /’ n+, (x) passe par zéro. Par conséquent l’équation

sin x = 0

n’a que des racines réelles.

On raisonnerait de même pour l’équation

co s x = 0

24. M. Cauchy a indiqué plusieurs inconvénients dans cette dernière théorie de Former (’); Poisson l’a déclarée complètement fausse, et il a voulu le prouver en prenant l’exemple suivant - . ....

e* — ée« r = 0

ou e*( I — be'*~ ,)x ) = 0

(’) Exercices do mathématiques , t. J, p. 33S.

a désignant une quantité positive. Cette équation a une intînité déracinés imaginaires qui sont comprises dans la formule

Or, si l'on prend les dérivées du 1" membre f(x) = e* — be“

on trouve

f n (x) — e 1 — ba'e“ f % +'(x) — e* — ba*‘ *e“

/^ +, (x) — e* — ia n+ V J!

Si l’on suppose

ou e‘ = ba''+ > e**

il vient

/’ n+, (x) = -f- A(t — a)a'*'e mj ‘

et par conséquent

valeur négative pour toute valeur de x.

Donc, d'après la règle de Fourier, l'équation n’aurait pas de racines imaginaires, et cette règle serait en défaut.

Mais il y a ici un paralogisme : Eu effet, f** l (x) renferme le facteur e * et sc réduit à zéro lorsque ce facteur est nul. Or on a

L’équation :

a donc des racines réelles en nombre infini et ces racines sont comprises dans la formule

Si l’on substitue une de ces valeurs réelles dans f n (x) et f n+ *{x), ces fonctions se réduiront à zéro, et l’on ne peut dire qu’elles auront des signes contraires. Cela aura lieu seulement pour toute valeur réelle qui annulera le second facteur de f" +l (x), c’est-à-dire,

1 — ba n+l e la -' )x

' Mais il y aura une infinité de valeurs de a: qui annuleront sans donner des signes contraires à f*(x) et f n+t (x). On ne peut donc conclure de la règle de Fourier que l’équation

c* — be a * =0

n’a que des racines réelles (’).

(*) Fourier a donné celte règle pour la première foie dans son Traité de la chaleur, p. 312. l'oisson Ta réfutée dans le Journal de l’École polytechnique, cahier 10, p. 382, et plus tard, dans les Mémoires de l’Académie des sciences, t. VIII, p. 3C7, et, avec plus de détails, t. IX, p. 89. Fourier y a répondu d’abord en quelques lignes, t. VIII, p. 616, et plus longuement, t. X, p. 119.