HA
* 4r . JLr
Dans la série f m {x), la valeur absolue de chaque terme surpasse celle du suivant pour toute valeur d’x inférieure à 4. Donc f'\x ) est toujours négatif entre x — 0 et x = 4.
On verra de même que
f”{x) est toujours positif entre x—0 et x = 5
f' (x) est toujours négatif entre x = 0 et x = 6
f"( x) est toujours positif entre x = 0 et x = 7
/■"'(x) est toujours négatif entre x = 0 et x = 8
On peut donc prendre chacune de ces dérivées pour fonction déterminante entre les limites correspondantes.
Prenons, par exemple, r"[x). Nous aurons (*)
La première suite contient sept variations. La seconde n’en a que cinq. 11 y a donc deux racines entre 0 et 8, et, par conséquent, une racine entre 3 et 8.
(*) On a la relation
f*{x) + (n 4- 1) f r +'{%) + !/■«+*( x)=r 0 Donc les valeurs de AO et de f’(x) donnent celles de toutes les dérivées.
En substituant les nombres intermédiaires, on trouve
Donc la racine est entre 7 et 8.
On voit, de plus, en comparant les suites [7] et [8], que l’équation
n’a pas de racine entre 7 et 8.
D’après cela, nous prendrons f M (x) pour fonction déterminante entre ces limites, et nous aurons
Nous trouvons
Donc k — 0
D’ailleurs n = 0
La condition n = 1 — k est remplie.
La limite extérieure étant 7, nous calculons, avec une décimale, le quotient
Donc la première approchée est
Elle est approchée par défaut.
En second lieu, nous trouvons
Donc la seconde valeur approchée sera
7,6 + 0,017= 7,017 Elle est approchée par défaut.
En troisième lieu , nous trouvons
Donc la troisième valeur approchée sera
Poisson trouve
valeur inexacte dès la seconde décimale.
On pourrait trouver de mémo les autres racines h l’aide des dérivées d’ordre supérieur. .
21 . Traitons encore l’équation suivante' qui se rencontre dans la théorie du mouvement d’une membrane élastique
‘ l ^ == 1 ~ 2 + JJ' ~~ 4 ..( 2 . 3 ;’ + 5. (2. 3 . 4 )' ’ ' ' ' = ° Cette équation est liée à la précédente par la relation
Cette équation n’a aussi que des racines positives, et l’on trouvera , comme précédemment , que F"(x) est toujours po-
DES ÉQUATIONS TRANSCENDANTES. ftt
sitif entre a; = O et a: = t. Donc, nous prendrons celle dérivée pour fonction déterminante entre ces limites, et nous aurons
Il y a donc évidemment une racine de l’équation entre 0 et A. Mais comme F'(ar) s’annule dans cet intervalle, il faut chercher des limites plus rapprochées.
Nous trouvons
Ces limites ne sont pas assez resserrées. Nous trouverons ensuite
Nous avons ici
Donc k =■ 0
D’ailleurs n = 1
La limite extérieure étant 3,6, nous calculons le quotient
Donc la première valeur approchée est 3,6 -f 0,07 = 3,67 Elle est approchée par défaut.
En second lieu, nous trouvons
Donc la seconde valeur approchée est 3,6705
Poisson trouve 3,55, valeur fautive dès la première décimale (1).
Pour trouver la racine suivante nous considérerons les dérivées d’ordre supérieur.
Il résulte de ce qui précède que la dérivée F* 1 "]#) est positive entre les limites x = 0 et x =’ 2m 2, et que la dérivée F«m+i( x ) cs t n ég a ti vc entre les limites x = 0 et x = 2m -f- 3. Ces dérivées peuvent donc servir de fonctions déterminantes entre les limites correspondantes.
La dérivée F x, (x), par exemple, étant négative entre les limites x = 0 et x = 1 3, nous la prendrons pour fonction déterminante entre ces limites et nous aurons :
La suite [O] renferme onze variations.
La suite [13] n’en contient que neuf.
Il y a donc deux raoines entre 0 et 13 et, par conséquent, une racine entre 4 et 13.
Du reste, il n’était pas nécessaire d’aller jusqu’à F Xl (x). Le tableau précédent nous montre, en effet, que l’équation
(*) Même traité, p. 50«.
n’a pas de racine entre 0 et 13, et que la fonction F"(i) est constamment négative entre ces limites.
On aurait pu le voir directement. En effet, si l’on substitue à x la valeur 13 dans la série qui correspond à — F"'(x), le pre-
mier terme — — • deviendra, il est vrai, plus petit que le sui-
vant; mais, à partir de là, chaque terme positif surpassera, en valeur absolue, le terme suivant. La somme des termes , abstraction faite des deux premiers, sera donc positive. D’ailleurs, la somme des six premiers termes
est positive. Donc — F'"(13) est positif, et F'"(13) est négatif.
Il en est de même, à plus forte raison, pour des nombres inférieurs à 13.
Il suffira donc de considérer le tableau suivant pour calculer la seconde racine.
Comme F"(x) s’annule entre 4 et 13, il faut resserrer les limites.
On trouve
On a :
Donc
D’ailleurs
Les limites ne sont donc pas assez resserrées.
On trouve, en continuant,
On a :
D’où
D’ailleurs
Donc la condition
est remplie.
Comme l'on a 2n-t-& = 3, il faut calculer avec 3 décimales le quotient
La première valeur approchée est donc :
elle est approchée par excès.
Nous pouvons maintenant calculer avec sept décimales le quotient
Donc la seconde, valeur approchée est 12,3046142
Poisson trouve (même page).
22. Ces exemples suffisent pour faire comprendre l'application de notre méthode dans des cas semblables, et pour prouver qu’elle donne toutes les racines réelles avec autant d’approximation que l’on veut.
Pour terminer, je vais chercher un moyen de reconnaître si une équation transcendante n’a que des racines réelles.
On a été conduit à cette recherche par des questions de physique mathématique. On y rencontre souvent des équations transcendantes qui ne peuvent évidemment avoir de racines imaginaires, d’après la nature même de la question. On s’est proposé de le démontrer, à jmteriori, par l’analyse. On ne connaît pas encore de méthode générale j ce qui est peu surprenant puisque cette même question n’est pas facile à traiter pour les équations algébriques. Mais on a résolu le problème pour un grand nombre d’équations transcendantes à l’aide de procédés particuliers.
Le procédé le plus simple consiste à prouver que le premier membre de l’équalion
est le produit de facteurs connus qui donnent tous des racines réelles. Tel est le cas de l’équation
sin x = 0
On sait, en effet, que l’on a
,in *= a ' (*-?) ('-j?) (‘
SS
Tel est aussi le cas de l’équation
