STABILITÉ DES BAUHACIÎS EN MAÇONNERIE US
La pression exercée sur un joiiiL quelconque est normale ti ce joint.
Les pressions sur les dilTérents joints sonl toules égales enlre elles.
La pression exercée sur uu joint esl proportionnelle au rayon de l'extrados.
Les points d'application des pressions qui s'exercent sur chaque joint sont situés h égale dislance de l'extrados.
La pression qui s'exerce sur on joint quelconque esl appliquée en un point très voisin du milieu de ce joint. Première proposition. — Lapressîon exercée sur un joint queljoint.
ine section faite par un plan horizontal dans une portion de barrage curviligne {lig- 89), toutes les pressions exercées par l'eau, étant normales à l'extrados AB, sont symétriques par rapport à la bissectrice CDO de l'angle au centre AOB ; les réactions des appuis situés à gauche de AE et à droite de BF doivent doncétre également symétriques.
Dès lors, si je considère le joint CD situé sur cette bissectrice, et qui esl un \o\ni quelconque delà voûte, la pression P exercée par la portion CBFD sur la portion CAED doit èlre, par rapport à ce joint, symétrique de la pression P' exercée par la portion CAED sur la portion CBPD. Uais, en vertu de l'égalité de l'action et de la réaction, on doit avoir également P^P'. La
double condition de symétrie et d'égalité entre ces deux forces no peut avoir lieu que si elles sont toutes deux perpendiculaires à CD.
Deuxième proposition. — Les
pressions sur les dilTérents joints
sont toutes égales entre elles.
Soit une section horizontale
ABPE, de centre O, faite dans un
Flg. BO.
Fig. 90.
barrage curviligne (fig. DO).
ClIAPITHE yUAFOHZIÉME
La pression exercée sur 1» joint Bt' esl égale et contrant réaclion, sur ce joint, de la portion de voûte siluéo k droite, réaction que je représente, en grandeur el en direction par la droite PQ qui, d'aprës ta proposition précédente, est perpendiculaire àBF.
Pour obtenir la pression exercée sur le joint AE, je dois composer la réaction 1*Q avec la résultante des pressions exercées par l'eau sur la portion de voûte considérée, résultante qui est dirigée suivant la bissectrice CO et que je puis représenter, en grandeur et en direction, par la ligne OS,
Soit O'A' la pression clierchée ; nous savons qu'elle est normale au joint AE ; comme, d'aulre pari, OS est perpendiculaire à la corde AB de l'extrados, on en conclut que les deux triangles OAB et O'A'B' sont semblables ; le premier de ces triangles étant isocèle, la second l'est aussi; doncO'B'=0'A':=PQ. ■
Troùième proposition. — La pression esercéesur un joint qawM conque est proportionnelle au rayon de l'extrados.
On 3, en effet, à cause de la similitude des triangles AOB et A'O'B':
ou, eu désignant par R le rayon de l'e O'B' ^ R ?^
Mais on sait que la pression qu'un liquide exerce sur une surface cylindrique AB est la même que celle qui se produirait sur le plan ABpassanl par les génératrices extrêmes. Si donc la tranche de voûte considérée, dont l'épaisseur est Ay, est située à une profondeur y au-dessous de la surface libre de l'eau, la pression O'S pourra être exprimée par:
-ÂBxyiï/.
■K étant le poids spécifique liu liquide. Ou a donc, en remplaçant OS par cette valeur :
O'B' = Rî:yAy, ou, d'une manière générale, si l'on désigne par T la pression qui a'eserce sur un joint quelconque :
STAniLlTK IlES HAUHAdKS ]i.N MAi,;ONNERIE
Quatrième propotitÎQH. — Les poinls d'appticalion des pressions i]ui s'exerceiil sur chaque joint sont situés à <-ga)û distance de l'cxlradoe.
En effet, le point O'de la fig. 90 étant sur la bisseclricti C0,1iî9 distances AG et BP sont égales entre cllt-s.
Hflmarq}te. — L'ensemble des quatre propositions précédentes peut être d<5monlré aussi de la manière suivantt.- :
(considérons une Irancbe horizon lalo d'épaisseur inHnlment niinco dy faite dans un barrag'e curviligne entre deux plans verticaux \VÙ, BEO, et située à une (Irstiince y au-doss.?u9 de la surface libre de l'fau (lig. !)i).
Soit ç l'angle au centre AOB.
La Iraucbe considérée ABEP devra rester en équilibre sous l'ac- "'y tion de la poussée qui s'exerce sur
* l'arc AB et dos réactions ëprou-
"■ vées pur tes joints AF et BE de la
part des portions de voûte situi5es h franche et à droite.
Pour évaluer la poussée, considérons un arc inlinimeuL petit Aa correspondant à un angle inlîniment petit d?, et que l'on pourra représenter par R(/ç, R étant le rayon de l'extrados. La petite surface Rt/oiiv pouvant être regardée comme plane, la pression qu'elle éprouvera de ta part de la masse liquide sera, 1 désignant par i: le poids spécifique de celle musse :
Si nous posons, pour plus de simplicité V=:^T,ijdij, k poussée élémentaire sera FRc/f , et la poussée totale que nous cherchons
p FHrf?.
En second lieu, la réaction que la portion de gauche de la voûte exerce sur le joint AF peut fitrc décomposée en deux for-
ttt cUapitke quatorzième
cea: l'une U située dans le joint, eL l'autre T perpendiculaire k ce joint. De même la r<^actii)n que la portion de limite de la voùle exerce sur le joint BE peut être décomposée en deux forces Q et P, l'une située dans ce joint et l'autre perpendiculaire. •
Cela étant, écrivons que la somme algébrique des projections de toutes les forces sur la ligne BO et sur sa perpendiculaire est égale kzéro.
La projection sur l'axe BO de la poussée élémentaire FRi/ç sera FRcos ?(^?, et la somme des projections de toutes les poussées sera
/ FRcos çrf?. De même, la somme des projections de ces
poussées élémentaires sur l'axe perpendiculaire à BO sera
/'''FRsiniprf?.
Dès lors, les deux équations d'équilibre seront :
f'^ FR cos çrfy + Q + U cos ç — T sin ^1 = 0,
FR siri çrfip — P + U sin if -H T cos
FR sin 9 + Q + U cos ? — T sîn f = 0, FR — FRcos ç—P + Usin?+Tcosç = 0, ou enliii
sinç(FR~T) + Ucosç + Q = 0, cos(p(ï— FR) + Usinç-hFR — P = 0.
Ces équations devant èlre vérifiées quel que soit ç, on en cou dut:
T— FR^O ou Ï = FR,
Q=0 FR— P^O d'où P^FR.
Les deux équations U=:(t et Q^O montrent que les réactions sont normales (première proposition).
Les deux équations T ^ FR et P ^^fll montrent que la réaction normale est la même en chaque joint (deuxième proposition).
L'équation T^ FR prise isolément montre que la réaction normale est proportionnelle au rayon de l'extrados, et en remplaçant F par sa valeur, à R^yrfy (troisième proposition).
Enfin, si l'on applique l'équation des moments, et que l'on
STAI!!I,ITK DES KARRAOKS EN MAnONNF.HII'
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prcDtie les mooieiHs par rappinl au centre, l'équalion seia liés simple :
Tx"ïïfi=l'xT)î.
car le moment de la poussée est nul.
Or, T étant égal à P, il en résulte que OG = 01 on bien AG = Bl, ce qui est coafoi-me fi l'énoncé de la quatrième proposition.
Cinquième proposition. — La pression exercée sur un joint est appliquée en un point voisin de son milieu.
Pour démontrer celle proposition, éludions le mouvement qui va se produire quand on mettra le mur en charge.
Les barrages curvilignes n'étant possibles que si l'on admet rinvariabilité des appuis, la longueur de l'intrados va diminuer par suite de la compression des joints, et, par conséquent, le sommet de cette courbe va descendre de I en I' (il ne peut évidemment y avoir de tension il l'intrados, ce qui exigerait que le sommet se rclev&t vers l'amoot, («g. 92).
Dès lors, pour que ce mouvement se produise, il faut qu'il y ait: ou bien rotation de la voûte autour des naissances Ë cL F comme dans les voûtes ordinaires, ou bien translation de la voAlc tout entière vers l'aval en glissant contre ses appui.i
Çl«.fl9.
Or. I.
e premier mouv
ni ne peut avoir lieu, car s'il devait se produire une rotalioii autour des points M et F, il s'en établirait une antre vers t'exlrados au sommet, de sorle que la résultante des pressions passerait prts de l'intrados aux naissances et près de l'extrados à la clef, tandis que nous avons reconnu, au contraire, que toutes les pressions passent à une égale distance de l'extrados.
Le deuxième mouvement est donc lo seul possible : dans ce mouvement, lo rayon rie l'extrados passe do la valeurR à la valeur AR; il en résulte que la longueur de l'extrados est devenue (R — AR)o cl a, par cons(5quent. diminui^ ilo ARç'{fig.-93j.
