AR^ AR
(R-ir)y R — a?
Si nous appelons p^ et p^ les pressions, par unité de surface, qui s'exerçent^à Textrados et à Tintrados, nous savons qu'elles sont proportionnelles aux raccourcissements par unité de longueur ; nous pouvons donc écrire «
Pi R — a
Cette relation montre, ce qu'il était du reste facile de prévoir, X fc que la pression est plus grande à ]'intradps
— Y^ j^ qu'à l'extrados.
Or, si une force T (fig. 94) est appliquée ^t normalement en G, à une distance a de Textrémité F d'un joint AF d'épaisseur a:, les deux forces p^ et pi qui s'exercent aux points F et A sont entre elles comme les quantités
2 — — 1 ; on peut donc écrire :
Pf ar — 3a Pi 3a — X
Soit e la dislance au milieu I du joint du point d'application G de la résultante; remplaçons dans l'équation précédonle a par
e, il viendra
STARILITft DES nAHUACIÎS EN MAÇONNERIE
d'où
^~ 6{if{ — x)
Or, X éUiil généralemenl p(?lilpar rapport à R,c est une quantité 1res faible, ce qui démontre la proposition énoncée.
Calcul de Vépaisienr de la section. — Ces propositions étant admises, il est facile de calculer l'épaisseur x à donner à la section considérée.
J'ai trouvé tout à l'heure
T = itRyiy.
La pression masimum s'exerce à l'inlrados; la surface d'un joint étant égale kx\ij, celle pression maximum obI, d'après la formule connue, et en tlésignant encore par a la distance de la résullante T l'i l'inlrados
On a donc, en remplaçant a par e
j'iî,\
ou bien, en mettant à la place lie e sa valeur
et enfin
-Xr.
27rR'y
liy ' '2R— .e " a; (2H - Or, nous voulons que celte pression maximum ne dépasse pas une certaine valeur N ; écrivons donc
3TrR*y
La valeur de x, tirée de cette équation, peul èlre mise bous la forme
ce qui pcrmetira de résoudre l'i'quation par approximations successives, — ayant généralement une valeur très petite qui peut être négligée dans une première opération.
82 ■ (TIIAPITRJC OLIATOHZlf:MIC
En supposant 77— 1.800 k. cl on faisant R^= 10 n ^^=7 k. par cefUimêlro carié, on trouve sj^ccesaive
Si l'oti s'en lient aux centimètres comme approximation, l'épaisseur de la section faite dans un barrage de 40 mètres de rayon k l'eiftrados, et à une distance de 6 mètres au-dessous de la surface liquide, serait de 1 m. 69.
Si l'on appliquait la théorie d'après laquelle la pression maximum serait le double de la pression moyenne, on devrait poser; ^ 2nRyAy 2;:Ry xi y xiy X
d'où
2ïrRj
En reprenant les chiffres précédents, on trouverait 2XJ^800X10X6
La fornaule g égales d'ailleurs,
ïnérale montre que l'épaisseur, loulos cliosev est sensiblement proportionnelle ù la hauleury, puisque le 2" terme du 2" membre est très pelilpar rapport au 1". Il en résulte qu'en appliquant rigoureusement cette formule, on serait conduit à adopter pour le mur un profil se rapprochant beaucoup du profil triangulaire ABC (fig. 93). Mais il est bien clair que pratiquement celte solution n'esl pas acceptablc.'puisqu'une bonne construction exige une épaisseur an sommet d'au moins O.oO ou 0,60 ; et, d'autre part, ea adoptant ce profil, le fruit du parement d'aval serait trop considérable. Voici la' méthode qui nous semble la plus ration-
STABILITK IIRS (lAKRACES EN MAÇONNERIE 333
On fera, dans la formule, y = h, h tHanl la haiileiii' k adopter pour le mur, el on donnera k N la valeur convenable. On en déduira lY'paisseur AB à donner à la base ; puis par le point A on mènera une ligne AD dont le fruit aura la valeur que l'on a choisie.
Si l'épaisseui' CD du couronnement, qui r^snllo de celle construction, élait trop faible, on prolongerait la ligne CD jusqu'en D', de telle sorte que (ID' fût égal à II, GO, par exemple, et l'on joindrait D'A. Le fruil serait diminué, et par conséquent le profil resterait admissible. On économiserait, dans cerlatns cas, un volume relativement considérable de maçonnerie, tout en restant dans les conditions de résistance et de fruit adoptés, en menant parle point D une verticale DE jusqu'à ta rencontre avec CA, et eu uliiisanL le prolil CDEAB, à la condition d'opérer un raccordément courbe vers E.
Valeur à altribuer au rayon de l'exlrados. — Si l'on appliquait le prolil théorique, et si les berges étaient verticales, on pourrait déterminer, au moins approximativement, la valeur à attribuer au demi-angle au centre 9 pour que le volume du barrage ', I / fût, à réaislance égale, un
\ I / minimum.
^ I ,' La surface ABIvI d'une
\ I M '' tranche annulaire quelcon-
\ [ y que du barrage est sensible-
\ 1 / ment égale au produit de l'é-
\ ] / paissenr moyenne x par la
o longueur 2'p(R — -)de l'arc
Pig B6 ^ *'
EF, situé à égale distance de l'intrados et de l'extrados (lig. 96).
Comme, d'autre part, on ne eommellra pas une grande erreur
en remplaçant x par -^, y étant la hauteur du liquide au-dessus de la tranche considtîrée, on pourra repnîsonter la surface ABKI par l'expression :
i34 CHAPITRE QUATORZIÈME
En désignant par C la corda AB, on a :
d'où R = r^
2 sin f
Remplaçant R par cette valeur dans l'expression précédente, celle-ci deviendra :
Il est facile de voir quo le miaimum du votume sera atteint quand la sinfacc de chaque Iranche horizontale sera la plus petite
[losNible, ce qui revifinl il rhercher le minimum de , -.
Pour y arriver, égalons â zéro la dérivée de celte fonction ; nous obtiendrons :
m' y — 2y tin y cw y Bin'f
d'où:
sin'f =: 2f sin ^ cos f , et 0qBd :
tang. ^ ^ 2^.
L'angle sous lequel le volume esl minimum est celui dont l'arc est la moitié de la langenle. (Il est facile de vérifier que l'expression trouvée csl un minimum).
La résolution de l'équalion tg <f= 2ç ne peut être faite que pur tALounement. Pour avoir une première approximation, o;i
cosinus leurs valeurs en fonction de l'arc, en ne prenant que les deux premiers termes de chaque série ; on a alors :
STABiiJTf: nr;s darraors en maçonnerie
L'angle cherché est donc approximalivemL>nl :
En se servant des labiés, on trouve plus exactement que cet angle est très voisin de ST". Mais si l'on fait la remarque que
pour 67", -~ est égal à 1 ,38, et que pour 60" il est égal à 1 ,39,
valeur différant 1res peu de la première, on sera amenii à adopter 60°, ce qui simplifiera les calculs.
C'est donc sensiblemenl l'angle au centre de 120* qui serait le plus avantageux, dans l'iiypolli^se tout ii fuit théorique où nous nous sommes placé.
Mais les berges sont généralement inclinées, et dans celles-ci les fondations sont découpées par redans, comme le montre la figure 97 qui représente l'L^lévation du barrage n° 6 du torrent du Bourgct (vallée de l'Ubaye}, et qui a été prise dans l'ouvrage de M. Doniontzey, planche XXXIII de la 1" édition. Il en résulte que L'angle 7 prend autant de valeurs particulières qu'il y a de redans de chaque côté de l'axe (voir fig. 98).
Dans ces conditions l'on ne pourra adopter l'angle au centre de 120' que pour la purlie inférieure du barrage, puisque c'est la seule qui conserve l'épaisseur théorique, Ifii ''ieures
Mai» h nn ^ranil angle au coiilro corri-spoml un petit et comme la partie supérieure du barrage a un volume de çonnerie bien plus grand que le volume tliéorique, ou risqt en augmentant le développement de cette dernière partîi perdre l'économie réalisée dans la partie Inférieure. Dans la tique, c'est donc par le tâtonnement que l'on devra Iraiti question ; mais le calcul qui pr(5cède n'en est pas moins util
Dans les barrages curvilignes des torrents on n gi^néralei donné un grand rayon à la courbe d'cstrados, M. Lk'munlzM que cette courbe devraùtrc délerniinéa par un arc de cercle une fli-cbe égale au - de la coi de ; il est facile d'en détiuire 1' correspondant. En désignant la flèche par a, on a, en effet:
a = R ;t — cos 9) = 2R sin' | -
Mais R étant 6sa.\ à —. — , on en conclut :
'^ 2ain?
Cm'ï Cm'?
STAUILITK UKS liAHRACKS lî.V MA(.:0.\.\EniE d'où Von lire :
el ?^HM9 iju ç = 22"38.
Celle règle a clé appliqutie (laos le barrage dos figures 97 vl 98.
M. Vaullrin, dans uii arliclo déjà cilé, dit qu'on peut pousser
jusqu'à - le rapport -, , ce qui dnnnc' pour l'angle "j une valeur de
25° environ.
Enfin M. Marcliand, Inspecteur des forêts, dans son étude sur les torrents dos Alpes, pense qu'on peut faire le rayon égal à la longueur du barrage au couronnement, ce qui revient à faire ç = 30" dans la section supérieure.
On a ainsi exagéré la valeur du rayon R dans la crainte de la poussée des berges ; cette poussée s'excrçant généralement, ainsi que nons l'avons Fait remarquer, dans le sens de ta corde, il est clair que son elTot sera d'autant plus préjudiciable que la llèche sera plus grande, c'est-à-dire le rayon plus petit.
On s'affranchira de cette appréhension en s'imposant strictement l'obligation de ne fonder des barrages curvilignes que sur un sol rocheux solide ; dans ces conditions, la poussée des berges pourra être considérée comme une quantité négligeable, et rien ne s'opposera k ce que l'on adopte nn rayon plus petit.
Nous montrerons dans le Chapitre XVI l'inlluence de la 1oq< gueur du rayon de l'extrados sur le volume d'un barrage curvi> ligne.
S9. Du elioW » rairo eutre lent deux genres de hnrpage.
— tl ne sera pas toujours avantageux, au point de vue de la stabilité, d'employer des barrages curvilignes même lorsqu'on pourra les encastrer dans des berges rocheuses. La formule générale quo
l'on peut, sans grande erreur, mettre sous la forme
que pour un angle ? donné, l'épaisseur d'une tranche horizontale quelconque est proporllonnelie à l'écartcment des berges ; et cela se comprend parfaitement, puisque la pression totale se reporte sur cliaque joint, el que celte pression i"
SM CHAflTKE ULÏATOItZIKME
granile que le lorrcnl i^sl plus large. Comme, d'autre part, paisseur â donner à un mur rectiligne est indépoudante de écartemenl, il arrivera foicémenl un moment où celui-ci devi dra plus avanlageus que colui-là.
l'oui' bien faire saisir cette distinction, je prends l'exemple barrage u° 6 du Bourgel. Ce barrage a Sm.50 de hauteur ; en metlant comme eBbrl-limitoTkg. par cenlimèlrc carré. 2.200 pour lo poids d'un mètre cube de maçoQUorie, et 0,20 pout fruit, l'épaisseur moyeune, si l'ouvrage était recliligne, devi être égale k 2,63 (voir le 3* exemple de l'arlicle 67),
Le barrage élanl curviligne, et te rayou à l'extrados i5laiil é k 26 m., ou trouvera successivement, pour l'épaisseur à la bai
