OU
h sin (90 — X — a) cos (a -|- x)
On en déduit :
WL = h
cos c
cos (a 4- x)
et, par suite :
o r ¥MT¥r ^ 1 • fe 008 a 1 ,, cos a sin a?
Surf. DUK = - A sin X ^^ = - A' — : — ; —
2 cos 1« + J?) 2 cos (« -|- jf)
et enfin:
f\ 1 , , ^ cos « sin ar tg (ô — x) \i=^n 6. ; — r
2 cos la + x)
Cela étant, il faut chercher la direction du plan de rupture UK, pour que la poussée soit maximum.
Pour résoudre cette question, nous avons pris un certain nombre de valeurs de tg a comprises entre entre et 0,50, puis des valeurs de ç comprises entre 30* et 60*; à l'aide de ces valeurs
nous avons calculé les valeurs correspondantes de la fonction
cos « sin X tg (6 — x)
, , . ; enlin, en faisant usage de courbes, nous
avons déterminé, dans chaque cas particulier, le maximum de cette fonction, maximum que nous désignerons par c.
Exemple: 9=50^ tga = 0,i0.
On trouve, comme valeur de la fonction:
pour j:=20° : 0,137 484.
pour x = 20%30' : 0,137 548.
pour x=2{'* : 0,137 457.
On trace une courbe dont les abscisses représentent le nombre de degrés, et les ordonnées les valeurs que nous venons d'indi-
STABIIJTi; DES HAIiHAOlîS EN MAÇONNERIE
qiior : puis on rfélerniine surccliecourbe l'abscisse correspondant à l'ordonnée maximum ; on trouve ainsi 20'',28' et û,137o.
Nous avons calculé do celle miiuiîtrti une cenlaide de valeurs, à l'aide desquelles M. Pérans a Iraeé deux labiés graphiques qui portent les numéros 3 et 4.
La première (la table n" 3) donne l'anglo avec la verticale des plana de rupture correspoiidanL à la poussée masimum. Sur la ligne AB figurenl les angles r^ de 20 en 20 minutes ; sur la ligne
CD, les angles — ; les deux points qui représentonl la position d'un angle o et de l'angle — correspondant sont réunis par une
ligne droite. L'angle ^ = 34°, par exemple, correspond à un angle
— t=~- f90" — 34°) ^= 28"; les pninls qui représentent la
pcilion de ces deux angles sont réunis par la droite ad. En second lieu, on a inscrit de 5 en 3 centièmes, sur les lignes BC et AD, lus valeurs de tg a, et l'on a réuni par des ligues droites les points repriîsunlant les mêmes valeurs ; ainsi la ligne &c réunit les deux points on lignrenl les valeurs 0,31); ou a ensuite intercalé quatre lignes entre deux lignes principales, ce qui permet de lire direclemenl tg k, avec l 'approximation du oentiëmo qui est bien suffisante. ËnBu d'autres ligues Icgèremoiil cuurbes, issues des points lele que d qui représentent la
position des angles —, vont rejoindre la ligne AB ; la ligne df
est l'une denl réelles; régulièrement, elles devraient toutes avoir leur origine sur la ligne CD ; mais, afin de pouvoir supprimer une partie de la figure qui serait complfeieinent inutile, on a placé sur la ligne DA les points de dépari des lignes correspondant aux angles compris entre 3(1° et 45".
Voici comment on se sert de celle table : soit à déterminer la direction du plan de rupture du prisme de plus grande poussée correspondant îi l'angle -, ^= 34" et à Ig a = 0,30 ; je di^termine le point de rencontre i des deux lignes ad et hc dont la position vient d'être déCmie ; puis je cunsidL>re la courbe gk la plus voisine, à droite du point i ; celte courbe coupe en t la droite ad\ je lis le nombre de degrés (33) inscrit au point ^, et j'ajoute k ce nombre de degrés autant de fois 6 minutes qu'il y a de millimètres dans la dislance (i ; je trouve ainsi 32", 21'.
La table présentant un peu de confusion dans la partie supérieure, on a faitj à une plus grande échelle, (ouïe la portion
ZU
CIIAPITHE OLiATORZlÈME
luee au-dessus do •^=i5'. L'usage en est le même; seule cbaque millimètre des dislances analogues à H correspond i minutes.
La table n° 4 donne les valeurs do la fonction c. Les anj sont inscrits sur la ligne AB ; on peut lire ces angles de 20 minutes ; des lignes droites réunissent, comme dans la tabl
cédenle, la position de chaque angle ^ avec celle de Tang correspondant ; pour ne pas compliquer la Ggure, un n*a pa crit les angles — . Los valeurs de Ig x Bguient sur lesdeu
1res côtés du quadrilatère ABCD ; on peut les lire, comn l'autre table, du ccnlièmc en centième. Quant aux valeurs elles sont données par des lignes verticales équidislanlcssép l'une de l'autre par un intervalle dun centimètre; à l'aidt double décimètre on peut avoir trois cbifTres exacts, ce qi plus que suflisant.
Reprenons l'exemple de tout à l'heure; cherchons le poï rencontre i do l'oblique ad correspondant à 34" (ç) et de la i bc correspondant kig t3i^= 0,30. Ce point f tombe à un millii à droite de la verticale 0,34 ; nous lisons 0,341 .
Quant au point d'application de la poussée contre le mur, mets, et l'expérience le confirme, que toutes les moléculi prisme tendent à se mouvoir pai lement à KU ; ce qui revient à dir les poussées élémentaires sont duilus parles actions de tranche:
nimont petites parallèles à KU; la poussée élémentaire en a (fig.
sera celle résultant de la décom tion, telle qu'elle est indiquée ci sus, du poids de la tranche «4 ; sera donc proportionnelle à a&. ( conclut que la résultante passen le point de rencontre, avec DU, ligne GT menée parallèlement à DK par le centre de gravi prisme ; le point d'applicaliim ï do celte résultante sera i comme dans le cas de la poussée de l'eau, applîqui^ au tiers liauleur du mur.
Fig. 101.
STAUILIT1-: DES lURRAGES K.N MA(.;0NM:hIK 8.i3
Remarque, — En remplaçant par c lo maximum, donné par la - lorsqu'on allribue à 9 el à
labliî 4, de la fonclion ; — ; — ;
a dos valeurs déterminées, on pourra mellre l'expression de la pouasée sous la forme :
- h'ic.
Si l'on compare celte expression avec la formule de la poussée de l'eau, on voit qu'elle est de même forme ; la seule différence, c'estque le poids 7; du mèlrc cube de liquide csl remplacé ici par Je produit du poids S d'un mètre cube de terres par la fonction c.
Tl. Vëriaonlion «le la r^Hiiitaiice et de In Hlahllllé d'nn bnrrage rcptiliicnn nyaiit 11 réBlater n la poiiBPtée «lem terpcM. — l'our vériKer la n'^sr^tance et la »l!ibililé d'ufi profil de mur de soutènement, on peut employer soit un proci^Hé purement graphique, soit le calcul.
Lorsque l'on emploiera le procédé graphique, on pourra faire iisage de la ronslniclion suivante (lii;, 102).
tifi CHAPITRE QnATOBZlEME
Par le poinl E situé au liprs de la hauteur DA mener une horîzoiilalu E;, cl par le poîiiL G, cenlre de gravité dj profil, mener uuo verlic&le G^. Soil le point Je reiicutilre de ces deux lignes.
Lire sur la table graphique n° 3, l'angle du plahde rupture correspondant au prisme de plus graule poussée, pour l'angle -p el l'angle a du prublénic ; soit s cet angle ; mener la ligne DT faisant l'angle e avec la verticale DA.
Parle point mener une perpendiculaire OK sur DT, et une autre droilc OF faisant avec celte dernière un angle égal à 9 ; évaluer le poids d'un prisme de terre de 1 m. de ^longueur dont la section droite aérait ADT ; puis, prendre sur la verticale Gtj une longueurOM proportionnelle à ce poids. Décomposer OMen deux forces OF et OL; celte dernière représente la valeur de la poussée.
Appliquer en 0. sur la verticale, une longueur OP proportionnelle au poids d'un mètre de mur; euQu, continuer la construction comme dans le cas A'im barrage ayant à résister à la poussée de l'eau.
La résultante des deu.\ forces OL el OP coupe la base en I : prendre graphiquement la longueur IC cl eu déduire la pression qui s'exerce en Cet qui doit élre inférieure à l'efforl-limile que l'on s'est imposé. M
Vérifier du même coup si langle PONesl inférieur ^ l'angle^ frottement. "
Avant d'employer le procédé par le calcul, nous ferons remarquer que les formules trouvées pour les barrages ayant â résister h la poussée de l'eau sont applicables aux murs qui doivent résister à la poussée des terres ; il suffit d'y remplacer ;: par Se.
Dans ces conditions, si nousdésiguons, comme précédemment, par B et A les deux bases du profil à vérifier, par h la hauteur du barrage, par to le poids d'un mètre cube de maçonnerie et par «le fruit, la pression qui s'exerce sur l'arête inférieure et antérieure du barrage sera donnée par la formule suivante :
Dès lors, pour vi'rifier la condition relative à la résistance, calculera, à l'iiidc de la table n" i. et en suivant les indications
STABILITÉ DKS liABBAlîKS KM MAÇÛ.NXBUIE 247
doanées par le paragraphe 1, la valeur de la quantité c correspondant à l'angle du talus tialurel ut k la penio du plan supérieur des terres qui presseront derrière le barrage, cette dernière n'étant autre que la pcnle de compensation prévue dans te projet. On multipliera la valeur trouvée par le poids d'un mètre cube de terre. Connaissant alors la foiiclioii Se, on n'aura plus qu'A appliquer la iiiarclio indiquée précède m meut.
Si la valeur donnée par la formule est positive, le mur résistera au renversement.
Pciur vérifier la condiliou relative au glissement, on comparera
la valeur —A*8c de la poussée comptée sur 1 m. de longueur
avec le poids du mur correspondant. Si le mur est en maçonnerie hydraulique, la poussive devra êlre inférieure au poids; s'il est en maçonnerie sèche, elle devra être inférieure aux 0,76 dece poids.
Enfin, pour savoir s'il y a lieu de faire des vérifications dans des plans supérieurs à celui de la hase, on suivra les Indications précédentes, eu remplaçant chaque fois:; par Se.
Exemple. — Soit k vérifier la résistance cl la stabilité d'un barrage de 5 m. 50 de hauteur, en maçonnerie hydraulique, dont l'épaisseur au couronnement est de m. 83 et l'épaisseur à la base de 1 m. 9f>.Le poids d'un mètre cube de maçonnerie est égal à2.200kg., le poids d'un mètre cube de terres, àl. 900 kg. .l'angle du talus naturel des terres à 34'; la ponte de compensation qui s'établira derrière le barrage sera égale à 0,15, et l'effortlimite à admettre est de 7 kg. par cenlimèlre carré.
Pour 9^34° et Ig a = 0,13, on trouve 0,307 dans la table n" 4, Ja fonction Se est alors égale à 0,307x1900= 384.
Le fruit étant ' ■ ' ■- =0,20, la pression qui s'exerce sur
Tarûte inférieure et antérieure est :
(85-1- 195)' X 550 XO.W^a 7 J^ = 4 k. 46
Le barrage aura donc des dimensions suffisantes pour résister à l'écrasement .
D'après ce qui a été dit tout à l'heure, îl n'y a pas lieu de s'occuper du renversement.
2*8 CHAPITHE OUATORZIEilK
Enfin, la poussée sur 1 m. de langueur élant ég4lâ.c -X3,5'X584, soil 8.883 kilogr.,et le poids du mur corrospofl
dant, à 1.40x5,50x2.200, soit 16.940 kilogi-., le mur ne glissera pas sur sa base; il n'y aura pas non plus de glissenieiil dans un plan 5up(5pietir, parce que le rapport — — ■ = 0,27 est plus grand que le fruit adopté.
'7t. <'nlcul dirret de l'épaiMMeur jt donner ii du bar- Tagc reotilijrne ajiiHt à réttiwtcrn In |tou«Méc àc» terre». Table «raphique. — Pour la résolution do ce problème, nous opérerons comme dans la première partie de ce chapitre.
Nous calculerons d'abord l'épaisseur moyenne i\ donner au barrage pour qu'il résisle à l'écrasement. Nous trouverons entre l'épaisseur moyenne et la hauteur le rapport suivant:
- 3Nn + S^/n j 3N {n> ^~\-h{.. n>+ Wc) | ■
h 2 r3N — 4 uA) ^H
qui ne diffère de celui donné dans le cas de la poussée dt> l'eati qu'en ce que la quantité ~ est remplacée par la fonction Se.
L'épaisseur moyenne étant déterminée, nous vérilierons la résistance au glissement.
Nous avons indiqué les limites des valeurs à attribuer à l'ePTorllimite N, au fruit n et au poids (^ d'un mètre cube de maçonnerie.
En admettant que l'angle y ne puisse varier qu'entre 30"ot60«, et que la pente de compensation des allerrissemeuts des barrages ne dépasse jamais 50 p. 0/0. la quantité c restera comprise entre 0,07117 et 0,3359 (voir la table n° 4). Cela étant, nous avons oherebé à nous rendre compte des variations de la fonction 8c en prenant comme bases les chifl'res de la Jeuxième colonne de la table insérée dans l'article 62, et une pente de compensation à 0,15. A l'aide de ces éléments, nous avons p
tg ï égale à 0,15. A l aide ser le tableau ci-dessous ;
STABILITIÏ DES BARRAf.ES KN MArflNNERIlî
Désih'naliyn
Angle
Penle
Valeur
Poids
Valeur
•Jes terres
Ju talus naturel
<!u plan massif
del3 quantité c
moyen (5)
(l'un mètre
cube
He terres
delà fonction
fi)
Sablé nnelsec
Il 15
Soblo de rivière Irèslb.
Terre Irè; sêclie
Sable le plus léger
Terre ordinaice sèche..
