TRACÉ DE DIFFÉRENTES COURBES

Tracé de la parabole (fig. 1, PL I), lorsqu'on connaît le sommet A, la direction A x de Vaxe et un point M de la courbe.

Après avoir tracé le rectangle MpAb, on divise M b et A b en un certain nombre de parties égales, p. ex. 4,. on trace, à partir de A, les lignes A 3, A 2, A 1, et, par lt, 2j, 3„ on mène des lignes parallèles à Taxe Ax; les points d'intersection I, II, III de ces lignes sont des points de la parabole.

Tracé de la normale correspondant à un point II de la parabole.

Fig. 1, PL I.

Après avoir mené II p2 perpendiculaire à Ax, on prend A a = A p3, on joint a II et on élève sur a II la perpendiculaire II q2 au point II; cette perpendiculaire est la normale cherchée.

Les normales, qui correspondent aux autres points I, III, M, *e déterminent en abaissant les perpendiculaires III p3, I p^ M p, et en prenant p3 q3 = pt qt = p q = p2 q2, après avoir relié les points q3, qt, q aux points III, I, M.

Si on prolonge ces normales, de manière à obtenir le point d'intersection de chacune d'elles avec celle qui la précède, ces

Redte ubac her, Résultats. 2 * édition. 1

points seront les centres d'arcs de cercle quî pourront être substitués aux différents segments A III, III II, H I, I M de la parabole, avec une approximation d'autant plus grande que les points A, III, II, I, M seront eux-mêmes plus rapprochés.

Tracé d'une ellipse dont 1*s axes sont donnés.

a) Procédé rigoureux. Fig. 2, PI. I.

Soient 0 le centre, O a le demi-grand axe, O b le demi-petit axe. Du point O, et avec les rayons Ob, Oa et O c = O b + O a, décrivons les cercles concentriques p b. a a, c y, traçons un rayon quelconque O q p r et, par les points q et p, menons des parallèles à O c et O b; ces lignes se couperont en un point m de l'ellipse , et la ligne m r sera la normale à cette ellipse au point m.

Si l'on répète cette construction, en menant plusieurs rayons par le point O, on obtient, pour le tracé de l'ellipse, une série de points et les normales correspondantes.

b) Procédé approximatif. Fig. 3, PL I.

Soient O le centre, a &{ le grand axe, b bt le petit axe de l'ellipse.

Prenons Oc = Ob, Od = Od1 = 3^£ Oe = Oe(^4 a c,

traçons et d m, e, d, m, , e d n, e dt nt , et décrivons des points d, dt, e, e,, les arcs de cercle n a m, nt ^ m1? n fy nt. m b mt, ces arcs formeront une ligne, qui se rapproche suffisamment d'une ellipse, en supposant que le rapport entre le grand et le petit axe ne dépasse pas 2. Dans le cas ou ce rapport est plus grand que deux, il convient d'employer la méthode rigoureuse que nous venons d'indiquer.

Tracé de la cycloïde. Fig. 4, PL I.

Soient 09t la ligne de roulement, 049 la moitié du cercle générateur, dans sa position primitive. On divise le demi-cercle en parties égales, p. ex. 9, on mène les cordes 01, 02, 03, 04 . .., on porte , à partir du point O sur 09j , la longueur développée d'un des arcs 01, 02 . . . autant de fois qu'il y a de divisions

dans le demi-cercle et on trace, par les points li 2, 3t 4t . . ., des lignes parallèles aux cordes 01, 02, 03 . . .; les points d'intersection I, II, III, IV, V sont alors les centres des arcs de cercle, qui peuvent être substitués aux segments o a, a b, b c . . . de la cycloïde, avec une approximation d'autant plus grande que le nombre des divisions du demi-cercle est plus considérable. .

Tracé <Fun arc d'épicyclotde. Fig. 5, PI. I.

Soit 06 l'arc donné du cercle primitif pour lequel on veut tracer Tare d'épicycloïde correspondant 06$; soit n le rapport entre les rayons du cercle primitif et du cercle générateur.

On divise l'arc 06 en plusieurs parties égales, 6, p. ex. 01 = 12 = 23 = .. . = a, on prend une portion d'arc, de longueur (n -r 1) a, qu'on porte six fois à partir de 0, on joint les points lt 2X 3, 45 .. . aux points 1, 2, 3, 4, et on décrit des points d'intersection 1, I, II, III, les arcs de cercle 012, 12 22, 2232*.., qui donnent approximativement l'arc d'épicycloïde cherché.

Trace d'un arc d'hypocycloïde. Fig. 6, PI. I.

Soient 05 l'arc du cercle, pour lequel on veut tracer l'arc d'hypocycloïde correspondant 052, n le rapport entre les rayons du cercle primitif et du cercle générateur.

On divise l'arc 05 en un certain nombre de parties égales, 01 = 12= 23 = .. . = a, et on prend les arcs 0lt = lj 2, =2t 3t = . . . = (n — 1) a ; on mène les lignes 1 , 1 1, 24 2 II, 3t 3 III . . ., et on décrit, des points I, II, III ..., les arcs de cercle 01 2, la 2j, %7 3*> 3942..., qui peuvent être substitués approximativement à Tare d'hypocycloïde.