BOUES DENTÉES

Détermination de la forme fondamentale des roues dentées.

Les roues dentées ordinaires affectent la forme cylindrique, quand les axes sont parallèles, la forme conique, quand les axes >e coupent, la forme hyperboloïde, quand les axes se croisent -ans se couper. Ces formes peuvent se déterminer de la manière suivante :

a) Roues cylindriques pour arbres parallèles. Soient:

r, R les rayons des roues,

d la distance des axes,

■p n = — le rapport de transmission, c'est-à-dire le nombre

qui indique combien de fois la roue de diamètre 2 r doit tourner, pendant que la roue de diamètre 2R fait un tour; on a:

nd n + 1

6) Roues coniques pour axes qui se coupent. Soient, fig. 5, PI. H, C A et C a les deux axes, n le nombre des tours que Taxe C a doit faire pour un tour de l'axe C A. On détermine un point b, dont les distances b O et b o aux axes soient dans le rapport de n : 1, et on trace la ligne b C. Les deux triangles 0 C b et o C b , en tournant respectivement autour de C A et de C a engendrent les cônes primitifs des deux roues, qui se touchent le long de la génératrice commune b C.

c) Roues hyperboloïdes . fig. 6, PL IL Soient C A et C a les axes, supposés parallèles au plan de la figure. La plus courte distance de ces axes, qui a pour longueurs, se projette en C. 'Soit n le nombre de tours que doit faire C a pour un tour de C A.

Divisons l'angle A C a des axes, par la ligne C q, en deux autres, qCA = ot et q c a = o^, de telle sorte qu'on ait:

q A sin at

q a sin og

Faisons CD = AE== -—fa — s,Od=ae= — -g-^-

^«t + tgaa tgat+tgoa

AB=AB1 = qE, ab = ab1=qe.

Traçons, avec les rayons A B et CD, a b et C d, les cercles K, Kn k, kj et menons q m et q n parallèles à C a et à C A. Divisons le cercle K, à partir de n, en autant de parties égales que la roue doit renfermer de dents, et le cercle k, à partir de m, en un nombre n fois plus petit de parties égales; menons maintenant, par les points de division, les tangentes T, Tl5 T2 . . . t, tt, t2 . . ., aux cercles Kt et k4 et cherchons leurs projections, qui détermineront, par leurs intersections successives, les hyperboles BDBjDj, b d bt dt. Les rotations de ces courbçs, autour de leurs axes respectifs, engendreront les hyperboloïdes primitifs des deux roues. La ligne C q donne la direction suivant laquelle doivent être taillées les dents.

/ DENTUBES DES ENGRENAGES.

Nombre des dents.

Le pas de deux roues qui engrènent ensemble est le même pour ces deux roues. Le nombre des dents est, par suite, dans le rapport des rayons de ces roues. Le nombre absolu des dents est arbitraire au point de vue géométrique, mais pratiquement il doit être déterminé en raison de l'effort qui s'exerce à la circonférence des roues.

Condition fondamentale pour la forme des dents.

Les dents de deux roues qui engrènent doivent présenter des formes telles que le rapport des vitesses angulaires des deux roues soit une quantité constante, à chaque instant de la rotation.

Il existe une infinité de couples de formes de dents qui satisfont à cette condition; les plus usitée* sont les* suivantes:

Dents à profils épicycloïdauz. Première solution. Fig. 7, PL IL

n a m est la dent de la roue R, an une ligne radiale, à m un arc d'épicycloïde, R le rayon du cercle primitif ; le rayon du

cercle générateur est — r. nt m at est la dent de la roue r, a nt

une ligne droite radiale, a mt un arc d'épicycloïde. Le rayon du cercle primitif de cette épicycloïde est r, le rayon du cercle

générateur -jr R

Deuxième solution. Fig. 8, PL IL

n a m est la dent de la roue R, nt a mt la dent de la roue r; a m est un arc d'épicycloïde, a n, un arc d'hypocycloïde. Les rayons des cercles primitifs, pour a m et pour a nt, sont respectivement R et r. Les rayons des cercles générateurs, pour a m et a nt, ont tous les deux la même longueur, mais ils sont plus petits

que — r. a mx est un arc d'épicycloïde, a n un arc d'hypocycloïde.

Les rayons des cercles primitifs, pour a mt et pour a n, sont respectivement r et R. Les rayons des cercles générateurs, pour a n et a mt, ont la même longueur , mais sont plus petits que

— R. Chacun de ces quatre arcs correspond à un roulement

sur un arc égal à la longueur du pas. Cette disposition est surtout applicable pour une transmission entre deux axes de vitesses très différentes.

Crémaillère avec pignon. Fig. 9, PL IL

n a m est la dent de la crémaillère, a n une droite perpendiculaire à la ligne primitive de la crémaillère, a m un arc de

cycloïde 5 le rayon du cercle générateur est — . mt a nt est la

dçnt du pignon , a nt une ligne droite radiale , & m{ un arc de développante du cercler. Les arcs a m et a mi correspondent à un pas.

Engrenage intérieur cycloïdal Fig. 10, PL II.

R, r sont les cercles primitifs, n a m la dent de la roue R, nt a mj la dent de la roue r, a m, a n, des arcs d'hypocycloïde ; les rayons des cercles primitifs sont R et r. Les rayons des cercles générateurs sont égaux tous les deux , mais plus petits

que -«r r. a mt, a n sont des arcs d'épicycloïde.

Engrenages avec arcs de cercle.

On obtient également des formés admissibles dans la pratique en adoptant, pour les parties extérieures des dents, des arcs de cercles convenables et, pour les parties intérieures, des lignes droites ou radiales. Les rayons des cercles, pour les parties extérieures des dents, se déterminent par les relations:

En désignant par R, r les rayons des cercles primitifs des roues ;

n = — le rapport de transmission, c-à-d le nombre qui indique

combien de fois la petite roue doit tourner pour un tour de • la grande ; t le pas des dente, égal pour les deux roues;

( /' (r) ^es ray°ns ^e courbure pour les dents des roues r et R.

Les résultats que fournissent ces équations sont contenus dans le tableau suivant:

n = oo correspond à un engrenage à crémaillère. H convient de remarquer que

Le tracé des dents au moyen de ces rayons de courbure est indiqué par la figure 1, PI. III. R, r sont les cercles primitifs des roues. R4, rj deux cercles dont les rayons sont la

moitié de R et de r. aM = aN = am = an = t. MO = NÔ =

( p ), mo = no=I^Y Les arcs MNP et m n p sont décrits

des points O et o comme centres ; C P et c p sont des tangentes à ces deux arcs.

Si la partie inférieure des dents doit être formée par des arcs de cercle, comme la partie extérieure, on déterminera les rayons à adopter par les formules suivantes:

Désignation des arcs. Rayons de courbure.

Fig. 8, PL n.

am r + h-*

R-Rt .

an ÏT^V

am* • • • • • -t+tr;*

r — rl 4.

an, . . . . . -yz^^t

Dans ces expressions, R et r désignent les rayons des cercles primitifs des deux roues, t le pas des dents, Rt et r4 les rayons

des cercles auxiliaires, qui doivent être tels que R, soit < -^- R

Engrenage extérieur à développantes. Fig. 2, PL III.

Notations : R, r cercles primitifs des roues ; a b le pas de l'engrenage; b o une ligne droite radiale; gaf une ligne perpendiculaire à b o ; O g perpendiculaire à gaf, ou parallèle à b o; Rt, rA deux cercles décrits avec les rayons O g et o f ; f h développante, obtenue par l'enroulement de g h sur R, ; i k autre développante due à l'enroulement de i f sur r4 (a i = a f). Les arcs f h et i k sont les parties courbes des dents. Les parties radiales droites h h4, k kt doivent être prolongées vers les centres O, o, assez loin, pour que les parties extérieures courbes trouvent un passage suffisant.

Deux dents, obtenues de cette manière, peuvent se commander mutuellement, sur une longueur totale égale à deux pas, un pas avant la ligne des centres O o et un pas après cette ligne. Si on voulait que l'action des dents, avant et après la ligne des centres, eut lieu pour des longueurs d'arcs différentes d'un pas, il faudrait donner à a b et à ai des longueurs égales à celles de ces arcs. Si , par exemple , on fait a b = 1 pas 1/s et a i ±=. 1 pas 2/3 , l'engrènement se produit sur une longueur égale a 1Vi+ l2/a = 3 pas Ve-

Engrenage intérieur à développantes. Fig. 3, PL III.

Si deux dents doivent se commander sur une longueur égale à deux pas, leur tracé se détermine de la manière suivante:.

Les cercles primitifs R et r étant tracés, on prend l'angle ao b correspondant à un pas et, par le point a, on mène à b o la perpendiculaire af, qu'on prolonge des deux côtés; par le centre O de la grande roue , on trace O g parallèle à b o et, avec les rayons o f et O g , on décrit les cercles r4 et Rt. Si maintenant on prend a c = a f et qu'on trace les développantes cd et ce, qui correspondent à l'enroulement de f c et gc sur rt et Rp ces deux lignes c d et c e forme'ront les parties courbes des dents.

Pour le libre passage des dents, il faut ajouter à c d une partie droite radiale d dt et à e c une partie curviligne c ct.

Si les dents doivent se commander, avant et après la ligne des centres, sur des longueurs égales à s et st, on doit prendre ca = s et a f = S|. Le reste du tracé s'effectue ensuite comme précédemment.

Propriétés des engrenages à développantes de cercle.

Les engrenages à développantes de cercle jouissent pratiquement des propriétés suivantes:

1° Toutes les roues, munies de dents de ce genre et qui ont même pas, peuvent engrener rigoureusement les unes avec les autres.

2° La distance des axes des roues peut être augmentée ou diminuée, dans une certaine mesure, sans que Pengrènement cesse d'être convenable; toutefois, dans ce cas, la durée de Pengrènement se trouve modifiée.

P#° La pression des dents est constante.

4° L'usure modifie peu la forme de ces dents.

5° Les engrenages à développantes peuvent être utilisés pour relier des arbres qui se croisent sans se couper.

6° Les dents à développantes sont toutes géométriquement semblables, ce qui permet de les tailler facilement au moyen de machines.

Méthode générale de tracé. Fig. 4, PI. III.

Si la dent de Tune des roues est tracée arbitrairement, la forme correspondante de la dent de l'autre roue peut être déterminée de la manière suivante:

Soient R, r les cercles primitifs, a n b une entaille curviligne, qui représente la forme de la dent r. Pour trouver la forme correspondante de la dent R, prenons à volonté un point n sur a b, traçons la normale n m, faisons a mi = a m et menons par mt une droite, qui coupe le cercle R sous le même angle que celui sous lequel r est coupé par n m ; si nous prenons m, nj = m n, nt est un "point de la courbe cherchée. En appliquant ce procédé à plusieurs points de la courbe a b, on obtient une série de points de la courbe de la dent pour la roue R.

Dentures des roues coniques. Fig. 5, PI. IL

Soient C A et C a les axes, C b e et C b f les cônes primitifs, C b leur génératrice de contact. En élevant en b, sur b C, une perpendiculaire S b s , les triangles S O b et s o b, en tournant autour de C A et C a engendrent deux nouvelles . surfaces coniques et les lignes, suivant lesquelles ces cônes coupent les surfaces des dents, coïncident approximativement avec les formes des dents de deux roues cylindriques dont les rayons seraient égaux à S b et s b. Si l'on trace les dents au moyen d'arcs de cercle, il faut (d'après le procédé du numéro 25) substituer à n, dans les formules, la valeur:

Sb i + cos a .

s b i cos a + 1

Dans ce cas , i = , — est le rapport de transmission , a l'angle

A C a des axes. Si les directions des axes font un angle de 90°, on a : a = 90° et n = i2.

Vu sa?is fin. Fig. 5 et 6, PL III.

Dans la rotation de la vis, un point quelconque du cercle de la roue parcourt un chemin égal à la hauteur d'un pas de vis. Le nombre des divisions, dont la roue avance, pour une rotation de la vis, est, par conséquent, égal au nombre des filets de cette vis. Avec une vis à un seul filet, la roue avance d'un pas, lorsque la vis tourne une fois autour de son axe.

L'épaisseur des dents est calculée d'après la force à transmettre. Les formes des dents de la roue et des filets de la vis sont indiquées par les figures 5 et 6. La figure 5 est une coupe par un plan perpendiculaire à l'axe de la roue et passant par l'axe de la vis. Les lignes m n p, m! nt pj, déterminées par ce plan sur la roiie et la vis, doivent se tracer comme celles des dents d'une crémaillère et de son pignon.

Le tracé de la vis est le plus simple possible, ainsi que son exécution, lorsqu'on supprime la partie courbe m n; mais, dans ce cas, la ligne pj nt doit être construite pour une durée d'engrènement supérieure à un pas.

Dans le cas de grandes forces à transmettre, les dents sont venues de fonte avec la roue. Dans les vis sans fin, destinées & des transmissions de précision, les dents sont taillées dans le métal même.