SOLIDES
Lois du frottement
On désigne, sous le nom de frottement de glissement, la résistance qui se manifeste, lorsque deux corps solides, pressés l'un contre l'autre, glissent l'un par rapport à l'autre.
A la suite de nombreuses expériences, on est arrivé aux règles empiriques suivantes:
1° Cette résistance est indépendante de l'étendue de la surface de contact des corps,
2° Elle est indépendante de la vitesse avec laquelle le mouvement s'effectue,
3° Elle est proportionnelle à la pression qui s'exerce entre les deux corps.
Si on désigne par:
P cette pression (en kilogrammes), F la résistance du frottement (exprimée en kilogrammes),
le rapport -=- est une quantité indépendante de l'étendue de la
surface de contact et de la vitesse du mouvement, et qui ne dépend que de la nature des corps et de l'état des surfaces frottantes. Ce rapport est ce qu'on appelle le coefficient de frottement et si on le désigne par f, on a:
! = fjF = Pf;P = I- .
Les valeurs de f, qui ont été déterminées, pour les divers matériaux, dans les différentes conditions qui peuvent influer sur le frottement, sont consignées dans les tableaux suivants.
Tableau des coefficients de frottement de glissement, lorsque les corps ont été quelque temps en contact.
'i ■- Coef-
Désignation
Position
Etat
ficient de
des surfaces frottantes.
des fibres.
des surfaces.
frotte-
ment.
parallèles
sans enduit
id.
frottées de savon seo
Chêne sur chêne
perpendiculaires
id bois debout sur
sans enduit mouillées d'eau
bois à plat
sans enduit
Chêne sur orme
parallèles
* id.
Orme sur chêne . . > . .
► id.
frottées de savon sec
perpendiculaires
sans enduit
Frêne, sapin, hêtre, sorbier s«r
chêne
parallèles
id.
\ Cuir tanné sur chêne . . . .
cuir posé a plat
id.
cuir de oharap
i id.
[ mouillées d'eau
f sur surface plane
Courroie de J en chêne . .
parallèles
sans enduit
ouir noir j sur tambour en
( ohêne . . .
perpendiculaires
id.
Natte de chanvre sur chêno
parallèles id.
id.
mouillées d'eau
Corde de chanvre sur chêne .
id.
sans enduit
Fer forgé sur chêne . . . .
id.
id.
mouillées d'eau
Fonte sur chêne
id.
id.
Laiton sur chêne
id.
sans enduit
Cuir de bœuf, pour garniture de < piston, sur fonte . . . .
posé à plat
mouillées d'eau
ou de champ
avec huile, suif, etc.
Courroie sur poulie en fonte .
à plat
sans enduit mouillées d'eau
Fonte sur fonte
sans enduit id.
Fer sur fonte
Chêne, orme, hêtre, fer, fonte et bronze, glissant deut à
enduites de suif
o-io
enduites d'huile ou
deux l'un sur l'autre • . .
de saindoux
Pierre calcaire oolithique sur
calcaire oolithique ....
sans enduit
Désignation des surfaces frottantes.
Pierre calcaire dure dite muschelkalk sur cale, oolithique
Brique sur calcaire oolithique .
j Chêne sur calcaire oolithique .
il Fer sur calcaire oolithique . .
P Pierre calcaire dure ou mu- -i schelkalk sur muschelkalk .
| Pierre cale, oolilh sur muschelk.
. Brique „
Fer jj Chêne
V Pierre calcaire oolithique sur
J calcaire oolithique ....
Position des fibres.
bois debout
Etat des surfaces.
sans enduit id.
id.
id.
id.
îd.
avec eiidait de mortier de trois parties e sable fin et d'une partie de chaux hydraulique
Coefficient de frottement.
Tableau des coefficients de frottement de glissement pendant le
mouvement
Désignation des surfaces frottantes.
Position des fibres.
Etat des surfaces.
Coefficient de frottement.
Chêne sur chêne ....
Orme sur chêne ....
Frêne, sapin, hêtre, poirier sau vage et sorbier sur chêne
Fer sur chêne
Fonte sur chêne ....
Laiton sur chêne ....
Fer sur orme
Fonte sur orme
parallèles
id.
perpendiculaires
id.
bois debout sur bois à plat parallèles perpendiculaires parallèles
id.
id.
id.
sans enduit
frottées de savon sec
sans enduit
mouillées d'eau
sans enduit id.
id.
id.
id.
id.
, mouillées d'eau
frottées de savon sec
sans enduit
mouillées d'eau
frottées de savon sec
sans enduit
id.
id.
Désignation surfaoes frottantes.
Courroie sur chêne . ...
Cuir tanné sur chêne ....
Cuir tanné sur fonte ou bronze
Chanvre en brin ou en corde
sur chêne
Chêne et orme sur fonte . . Poirier sauvage sur fonte . .
Fer sur fer .
Fer sur fonte et sur bronze .
Fonte sur fonte et sur bronze .
( sur bronze ....
Bronze < sur fonte
sur fer
Chêne, orme, hêtre, poirier sauvage, fonte, fer, acier et bronze, glissant l'un sur l'autre ou sur eux-même . .
Pierre calcaire oolithique sur calcaire oolithique ....
Muschelkalk sur calcaire oolith.
Brique „ „
Chêne „
Fer forgé „ „
Muschelkalk sur muschelkalk .
Pierre cale, oolith. „ Brique „
Chêne „
Fer forgé „
Position des fibres.
Etat des surface 8.
Coefficient de frottement.
parallèles
à plat
ou de champ
id.
sans enduit
id.
mouillées d'eau
sans enduit mouillées d'eau
/onctueuses et mouil-
parnllèles
perpendiculaires
parallèles
id.
bois debout parallèles
bois debout parallèles
lées d'eau enduites d'huile
sans enduit mouillées d'eau sans enduit id.
id.
id.
id.
id.
id.
id.
graissées d'une manière ordinaire avec enduit de suit, saindoux, huile, etc.
légèrement onctueuses au toucher
sans enduit id.
id.
id.
' id.
id.
id.
id.
id.
id.
mouillées d'eau
(1) Les surfaces grippent.
(2) Si Tendnit est fréquemment renouvelé et s'il est uniformément réparti, le coefficient de frottement peut être abaissé jusqu'à 0*05.
TtMeau des coefficients de frottement des tourillon* et des arbres, gui tournent dans des* paliers.
Indication
des surfaces
frottantes.
Etat des surfaces.
Coefficient de frottement lorsque l'enduit est renouvelé
d'une d'une
manière manière
ordinaire, continue.
Tourillons en fonte sur coussinets on paliers en fonte
Tourillon* en fonte sur paliers en bronze
Tourillons en fonte surj paliers en bois de< gaïac
Tourillons en fer forgé sur paliers en fonte
Tourillons en fer forgé J li sur paliers en bronze'
I Tourillons en fer sur paliers en bois de
;i Tourillons en bronze ( j] sur paliers en bronze) ' Tourillons en bronze ( il sur paliers en fonte ( j. Tourillons en bois de J gaïac sur paliers en
3 fonte Tourillons en bois de I gaîao sur paliers en | bois de gaïac . . .
enduites d'huile d'olive, de saindoux, de suif ou de cambouis mou
avec les mêmes enduits et mouillées d'eau
onctueuses
onctueuses et mouillées d'eau .
enduites d'huile d'olive, de saindoux, de suif ou de cambouis mou
onctueuses
onctueuses et mouillées d'eau .
très-peu onctueuses ....
sans enduit
enduites d'huile ou de saindoux
onctueuses d'huile ou de saindoux
onctueuses d'un mélange de saindoux et de plombagine ,
enduites d'huile .' d'olive, de suif, de saindoux ou de cambouis mou
enduites d'huile d'olive, de suif ou de saindoux
enduites de cambouis ferme .
onctueuses et mouillées d'eau .
très-peu onctueuses ....
enduites d'huile ou de saindoux onctueuses
enduites d'huile
enduites de saindoux ....
enduites d'huile ou de suif. .
enduites de saindoux ....
onctueuses
enduites de saindoux ....
(1) Las surfaces commencent à gripper.
(S) — id. — id.
6igitizedbyGoO<
Perte de travail due aut frottement des tourillons horizontaux.
Si on désigne par:
d le diamètre du tourillon (en centimètres), P la pression du tourillon contre le coussinet (en kilogrammes), f le coefficient de frottement
e la perte de travail, due au frottement du tourillon, n le nombre de tours du tourillon par minute, on a:
ndPf .,. . .
e = kilogrammètres.
Perte de travail due au frottement des tourillons verticaux.
Soient :
P la pression qui agit dans une direction perpendiculaire à Taxe
du tourillon, Pt la pression dans la direction de Taxe du tourillon, n, d, f, e, comme au numéro précédent,
e = ^jjo (P + -g Pt) kilogrammètres.
Frottement d?un corps sur un plan incliné.
Si on désigne par:
Q le poids du corps,
a l'angle d'inclinaison du plan sur l'horizon, P la force (en kilogrammes), nécessaire pour faire monter ce
corps le long du plan incliné, p la force nécessaire pour empêcher le glissement du corps le
long du plan incliné, p l'angle que fait la direction des forces P et p avec le plan
incliné, f le coefficient de frottement, on a:
sin a + / Co& "
cos p + f sin p
sin a — f cos a cos p — fsinp
FrotfemmJ cTtine vis.
L'emploi d'une vis avec écrou donne lien à deux genres de frottements : 1° le frottement entre le filet et l'écrou; 2° le frottement de la partie qui se meut (filet ou écrou) contre une certaine surface, ordinairement annulaire.
Soient :
Q la force (en kilogrammes), avec laquelle la vis et l'écrou sont
pressés l'un contre l'autre, dans la direction de leurs axes, P,P, les forces qui doivent agir à la circonférence extérieure
du pas de vis, pour vaincre les frottements et la résistance
principale Q, a l'angle d'inclinaison du filet de vis,
^ la moitié de l'angle de l'arête du filet , pour une vis à filet * triangulaire, D le diamètre de la vis, d„ d0 les diamètres extérieur et intérieur de la surface annulaire
de contact entre la partie qui tourne et la surface résistante, f, f | les coefficients correspondant aux frottements, on a approximativement :
Pour les vis à filets rectangulaires:
1 — f tang a
Pour les vis à filets triangulaires:
p Q J???? «cosft + f cosp — f tang a
p 2 Q dj - dj , ll— 3 D dî — dj 1#
Frottement (Tune vis sans fin.
La force P, qui doit agir à la circonférence d'une vis sans fin pour vaincre la résistance Q, appliquée à la circonférence de la roue, et le frottement entre le filet de vis et les dents de la roue, est approximativement:
Pour les vis à filets triangulaires: P = Q - — *v ""*"* —
° 1 — f tang a
Pour les vis à filets rectangulaires: P = Q — ^ — „ ,
6 ^ cos /? — f tang a
a et /? ont la même signification que dans le numéro précédent.
Frottement des roues dentées.
Si on désigne par:
Q la force qui agit à la circonférence des roues,
M, m les nombres de dents de< la grande et de la petite roue,
R le rayon de la grande roue (en mètres),
n le nombre de tours de la roue B par minute,
a l'angle des axes, pour des roues coniques,
f le coefficient de frottement des dents,
F la force (en kilogrammes) qui doit agir, à la circonférence des roues, pour vaincre le frottement des dents,
e le travail (en kilogrammètres) nécessaire pour vaincre le frottement,
on a approximativement:
a) Pour les roues cylindriques, avec denture extérieure:
F-f**(ïr+is)'
b) Pour les roues cylindriques, avec denture intérieure:
e = 0-1047nRfQ*(^— ^)
c) Pour les roues coniques, avec denture extérieure:
e = 01047nRfQ,j/i, + ^ + ^cosa
Frottement cPune corde sur un tambour.
Soient:
s la longueur de Parc d'enroulement de la corde sur le tambour, r le rayon du tambour, f le coefficient de frottement, e = 2*718 la base des logarithmes naturels, Q la résistance qui agit à une des extrémités de la corde, P la force qui doit agir à l'autre extrémité de la corde, pour
vaincre la résistance Q, ainsi que le frottement à la surface du
tambour.
On a:
ff P = Qe r
Frottement d'un arbre de transmission horizontal.
Soient :
E le travail (en kilograramètres) que l'arbre doit transmettre, e le travail (en kilogrammètres) nécessaire pour vaincre le frottement qui résulte du poids de l'arbre, L la longueur de l'arbre (en mètres), f le coefficient du frottement entre l'arbre et les coussinets.
Si le diamètre de l'arbre est calculé d'après la règle du N°. 69, on a:
e — l T f E"-6ÔLf
Au point de vue de la perte de travail, correspondant au poids, un arbre fort et tournant lentement est équivalent à un arbre faible tournant avec rapidité.
Perte de travail (Tune transmission avec poulie? et courroies.
Soient:
d, dt les diamètres des deux arbres,
D, Dt les diamètres des poulies,
E* le travail (en kilogrammètres), transmis d'un arbre à l'autre, au moyen de poulies et de courroies,
f le coefficient de frottement des arbres dans les coussinets,
e le travail (en kilogrammètres) nécessaire pour vaincre le frottement, qui résulte de la pression que les arbres exercent sur les paliers, par suite de la tension des courroies;
si la force totale, contenue dans l'arbre moteur, est transmise à
Parbre conduit et si la tension de la courroie est suffisante pour
empêcher le glissement de la courroie, on a:
■i-Kff+fc)
Raideur des cordes.
Le calcul exact de la résistance due à la raideur dès cordes est très compliqué; dans la pratique, on peut adopter approximativement, pour cette résistance, l'expression suivante:
026 Q -yy kilogrammes
en désignant par:
Q la tension du brin de corde qui s'enroule, â le diamètre de la corde (en centimètres), D le diamètre de la poulie (en centimètres).
La valeur de la force qu'il faut appliquer au brin qui se déroule, pour vaincre la résistance Q et la raideur de la corde, est donné par l'expression:
Q (l + 0-26 -jy J kilogrammes.
D'une manière générale, si on représente cette force par Q (1 + x), on a, d'après les expériences de Coulomb,
pour les cordas en chanvre. Des expériences de Weisbach on
déduit: '\ï •
, ' , / 0-075 , 0'054\ , pour les cordes en chanvre: x = I — ~> 1 a 1 '
i aki *i a * / 0-109 . 0-203 \ M pour les cables en fils de fer: x = I — ~ h -n~ I tf2
Dans le cas d'un câble s'enroulant sur un tambour, on peut prendre pour l'effort à appliquer à la circonférence de ce tambour,
câble en chanvre: Q (1 + 0*75 x) câble en fils de fer: Q (1 + 1-5 x)
^)ans le cas d'une chaîne qui glisse sur une poulie ou qui s'enroule sur un tambour, la raideur se trouve remplacée par le frottement entre les anneaux ou entre les anneaux et les tourillons qui les relient. Si on désigne alors par J le diamètre du fer des anneaux ou des tourillons, par f le coefficient de frottement, la force qu'il convient d'appliquer au brin de chaine qui se déroule, dans le cas d'une poulie, est représentée par l'expression:
Dans le cas d'une chaine s'enroulant simplement sur un tambour, la force à appliquer se réduit à Q (1 + f -~- Y
Expression approximative de Kx'2 + y2-
Le calcul des résistances, qui se produisent dans des machines composées, est souvent très-compliqué, parce qu'on est conduit à des expressions de la forme l/"x2+y2j il est avantageux, dans de pareils calculs, de pouvoir remplacer le radical par une expression de la forme : a x + p y. Lorsque les
limites des valeurs du rapport — sont connues, on peut trouver
les valeurs des coefficients a et 0 par la méthode des moindres
carrés.
Si on désigne par tang çpi et tang tp0 le maximum et le
minimum des valeurs de — , les valeurs de a et //, pour les-
•7 Redtenbacher, Résultat». 3a édition. 8
quelles la différence Kx2 + y2 — (a x + fi y), entre l'expression vraie et l'expressîon approximative, devient uik minimum, sont données par les relations:
g cos ç0 — cos grij
9\ — <3To + sin (9i — To)
0 2 sin <p{ — sin y0
"" fiPi — <7>o + sin fa — ç)0) Par conséquent, dans le cas où on sait que:
— > tang 9>0, — < tang (pt
on peut poser:
\S£ïZÇy2 = 2 C08f/1o— cosyi x + 2 sin ffl - sin <p0 ^
<P\ — 9>o + sin(<jp, — <jp0) 9i— ^o + sin(y,— çpq)"
Ordinairement, pour les valeurs de x et y, on sait simplement quelle est la plus grande des deux. Si on suppose, par exemple : .
on a:
tang <p0 .-= 0 tang y, = 1
<Po = v Vi — -4
et on trouve alors:
l^xM-~y2 = 0-393 x + 0-947 y.
Ces formules n'ont d'utilité, pour la simplification des calculs, que dans le cas où x et y sont des expressions qui contiennent les quantités à déterminer ou sont elles-mêmes ces quantités.
Si on désigne par f l'erreur relative.
on a, dans le cas où o et p sont calculés au moyen des formules précédentes:
max f = ?'i ~ yp — sin ifi — Vo)
*/i — ¥>o + sin (Ti —<Po)
ce qui, pour 0 <— < 1, par exemple, donne: max. f = 0*0985.
En calculant les coefficients a et /} par une autre méthode, on a:
sin * ± * cos * + <»
C082 ?* - yo C083 a - yo
ce qui donne, pour Terreur relative: i<tg*ÎLZi!E*.
» On a alors:
pour 0 < — < 1 :
l^xH? = 0-398 x -f 0-960 y; f < 00396,
pour 0< — < — : #
pour — < — < 1:
Moufles.
Soient :
â le diamètre de la corde (en centimètres), d le diamètre de l'axe sur lequel tournent les poulies, D le diamètre des poulies (en centimètres), f le coefficient de frottement des poulies sur l'axe, n le nombre des poulies d'un moufle, Q le poids, suspendu au moufle, qui doit être soulevé, P la force (en kilogrammes), qui doit agir à l'extrémité libre de
la corde pour soulever le poids, T la tension (en kilogrammes) du brin intérieur, attaché au moufle
immobile.
On a:
Pour un moufle avec chaîne en fer, en désignant par â le diamètre du fer des anneaux et f, le coefficient de frottement, on a: *'
relation qui, pour D = 21 â, d =4 J, f =0-16, ft =0-2, donne
Si on fait <J = 3, d = 5, D = 27, f = 0*16, on a, pour un moufle à cordes, K = 1*15 et, par suite:
pour n=2 34*5 6 7 8
Les proportions principales pour les moufles sont les suivantes :
a) Moufles à cordes.
Nombre des poulies d'un moufle . n = 2 3 4
Diamètre de la corde (en centimètres) â â ô
Diamètre des poulies 7 tf 7 â 7 J
P la force de traction à l'extrémité libre
de la corde 80 fi 80 J2 80 d*
Q la charge qui peut être suspendue au
moufle avec sécurité 266 J2 370 J2 461 J*
Diamètre des tourillons de la traverse du
grand crochet et diamètre de Taxe eur
lequel tournent les poulies 0-9 â 1*1 J 1*2 J
b) Moufles à chaînes.
Nombre des poulies d'un muufle . n = 2 3 4
Diamètre du fer d'un chaînon . . . . â ô ô
Diamètre des poulies 21 <? 21 i 21 J
Force de traction à l'extrémité libre de la
chaîne 950** 950** 950** •
Charge qui peut être soulevée avec sécurité 3154 <T* 4389 <P 5472 6*
Diamètre des tourillons de la traverse du * grand crochet et diamètre de Taxe sur lequel tournent les poulies .... 3*5 â 4â 4*3 ê
Pour un moufle différentiel, composé d'une poulie libre à laquelle est suspendue la charge eit dé deux poulies invariablement reliées, tournant autour du même axe et de diamètres D et Dj, légèrement différents (D > Dt), on a
et, pour le rendement
Si le moufle doit jouir de la propriété de rester immobile de lui même, c-à-d. si la charge Q doit rester suspendue, même pour P = 0, on doit avoir :
— <K2; par exemple, pour K = 1*08, on doit avoir g- < M664.
Avec K = 1-08, on a: j>our j> = "g" "jf Jq
