Supposons qu'un ingénieur ait construit un pont

tabulaire, et qu'on lui en demande un autre, mais d'une portée double de celle du premier. Il est possible qu'on suppose qu'il n'a qu'à doubler tous les détails de son plan primitif. Mais le rapport entre les forces de soutien égale le rapport l2 : 2'2. Le rapport entre les forces de destruction — la force gravita trice — ('(/aie le rapport l3 : 23. Et comme on voit que le rapport l2 : 2; est inégal au rapportl3, : 2:!, on conclut de là que le rapport entre les forces de soutien est inégal au rapport entre les forces de destruction. Mais par quel acte intellectuel ceci est-il perçu ? Il est manifeste que cet acte ne peut se diviser en étapes. Bien qu'il renferme plusieurs éléments, c'est une intuition simple ; et si on l'exprime sous une forme abstraite, ce sera un axiome, l'axiome qui dit que des rapports qui sont égaux à certains autres rapports inégaux entre eux, sont eux-mêmes inégaux.

278. — La vérité générale que des rapports qui sont égaux à un même rapport sont égaux entre eux, peut être considérée comme un axiome. De même que son analogue, — les choses qui sont égales à une même chose, sont égales entre elles — elle est impossible à prouver. Quand on voit, en effet, à quel point les deux sont unies, on peut prétendre que l'une n'est qu'une forme particulière de l'autre, et pourrait y être renfermée. Il est pourtant nécessaire d'énoncer celte loi générale touchant les rapports. En effet, qu'un rapport quantifié soit ou non regardé à bon droit comme une chose, il est indubitablement vrai que dans le processus intellectuel par lequel on reconnaît que des rapports égaux au même rapport sont égaux entre eux, les concepts dont on se sert sont des rapports, et non les objets entre lesquels subsistent les rapports ; que l'égalité de ces rapports ne peut être reconnue qu'en les prenant pour objet de pensée; et que par suite l'axiome, étant établi par la comparaison de trois concepts, est établi par la même espèce d'acte mental que celui qui a pour termes, non des rapports, mais des choses réelles.

279. — Cette vérité est la base de parties importantes de la géométrie, et le fondement de toute analyse mathématique. Que ce soit pour résoudre la plus simple des équations algébriques, ou pour les processus analytiques plus élevés dont l'algèbre est la racine, c'est la seule chose tenue pour accordée, à chaque pas. Les transformations successives d'une équation sont

reliées par des actes dépensée dont cet axiome exprime La forint' la plus générale. Il est vrai que son admission estlimitéeàce cas particulier où sa nécessité est si évidente qu'on la reconnaît d'une manière presque inconsciente; mais il n'en est pas moins vrai qu'elle ne peut être faite sans impliquer l'axiome dans sa totalité.

280. — Par quel acte mental sait-on que les rapports qui sont égaux aux mêmes rapports sont égaux entre eux? Le premier et le second rapport, considérés comme égaux, forment ensemble un concept; le troisième et le second, considérés de même, forment ensemble un second concept; et, dans l'intuition de lï'galilé de ces concepts, est impliquée l'égalité des deux rapports extrêmes, ou, pour définir sa nature d'une manière abstraite, l'axiome exprime une intuition de l'égalité de deux rapports entre des rapports. Les rapports dont il s'est agi jusqu'ici sont des rapports de grandeur; en d'autre mots des rai io.