Le centre de gravité d’une courbe plane

CI1APITRE V.

est dans le plan de la courbe. Pour le déterminer, il suffit de chercher ses distances à deux plans perpendiculaires à celui de la courbe: les distances de ces cléments à ces plans sont aussi leurs distances aux droites suivant lesquelles ils coupent le plan de la courbe. On dit alors que les moments sont pris par rapport à ces droites.

515. Centre de gravité d’un arc de cercle ACB (fig. 82). Il est sur le rayon OC passant parle milieu de Tare; sa distance GO = x se détermine en prenant les moments par rapport à OD perpendiculaire à OC. Considérant l’élément MM' de l’arc comme se confondant avec sa corde, dont le milieu est I , les deux triangles semblables MM'N, IKO, feront voir que le moment élémentaire MM'XIK est égal à MN X 10, c’est-à-dire à la projection PP' du petit arc sur la corde AB, multipliée par le rayon. Donc la somme des moments élémentaires est égale à la corde entière AB multipliée par le rayon. Or cette somme est aussi égale au moment de l’arc = arc ACBX^ '• d° nc > si on désigne l’arc par a , la corde par c , le rayon par R, on a

«jr=cR.

Si n est le nombre des degrés de l’arc , il faut faire

hinW , OT> . /«y a =lïïô-’ etc=2R su^-J;

d’où

3G0.sin(^Y nas li'-. U.

516. Centre de gravité d'un arc AB d’une courbe quelconque ( fig. 83). Soient L la longueur de l’arc AB, Y la distance de son centre de gravité G à un plan quelconque, ds un élément de l’arc, y sa distance au même plan : on aura

Siy, ordonnée MP d’un point quelconque M, était une fonction donnée de la longueur s comprise sur la courbe entre un point fixe O et le point variable M, le calcul intégral pourrait donner la

valeur algébrique d ej' yds. Si cette /onction est

inconnue ou trop compliquée , on déterminera , dans les cas particuliers, Ia r valeur numérique de

J ' yds au moyen de la formule de Simpson.

A cet effet, on divisera la longueur L en un nombre pair n de parties égales; des points de division on abaissera sur le plan quelconque X Z des perpendiculaires y 0 ,y, , y 2 .... y„, et l’on aura très approximativement , si le nombre n est suffisant,

f y</,î= 4 ^ 0 + 4 yi+ 2 yî+ 4 y3+%4-}-' .4-y.)