CHAPITRE l* r

signe et la valeur numérique d’une seule des lignes trigonomélriques d’un angle «Ox, cette donnée, d’où l’on déduit, à l’aide des tables, l’angle aigu de Om, soit avec Ox, soit avec son prolongement négatif, ne suffit pas pour faire connaître complètement la direction de la droite Om dans le plan xO y. En effet,

1° Soit donné sina. Si l’on prend arbitrairement le rayon r ou OM (fig. 8), on aura

y = r sina ;

On connaîtra donc l’ordonnée du point M , intersection de la droite cherchée, et du cercle dont le rayon est r. Or deux points M', M’, ou M", M IV ( selon que sin« est positif ou négatif ), jouissent de celle propriété. On voit que les deux angles AOM', AOM\ positifs et plus petits que deuxdroits, qui ont le même sinus positif, valent ensemble deux angles droits ; ils sont suppléments l’un de l’autre. En général, le même sinus appartient à deux droites symétriquement placées par rapport à l’axe O y.

2“ Soit donné cos a. On aura

x=/'COSa,

et l’on connaîtra ainsi l’abscisse du point M. Or deux points M', M ,v , ou M", M"’ ( selon que cos* est positif ou négatif), jouissent de celle propriété, et le même cosinus appartient à deux droites

TRIGONOMÉTRIE

symétriquement placées par rapport à Taxe Ox.

3° Soit donné tanga. On aura ^ = tanga, et il sera aisé de trouver sur la demi-circonférence positive un point qui satisfasse à cette condition : ce sera par exemple M’ ou M", selon que tanga sera positive ou négative. Mais, l’un ou l’autre étant trouvé, le point diamétralement opposé ayant des coordonnées de môme grandeur et de signes contraires satisfera également. Ainsi, selon que tanga sera positive ou négative , les droites OM', OM’", ou les droites OM", OM ,v , satisfont à cette donnée. En général la même tangente appartient à deux droites dirigées en sens contraires.

38. Il résulte de ces considérations, et des définitions du n° 32, que, si deux droites différentes font avec 0.r des angles ayant le même sinus, leurs cosinus sont numériquement égaux et de signes contraires, et il en est de même des tangentes. En général , à une môme valeur de l’une des lignes trigonométriques sinus, cosinus, tangente, répondent, pour chacune des deux autres, deux valeurs numériquement égales et de signes contraires.

59. Cette propriété peut être démontrée algébriquement d’après les équations générales

sina = ’;J, cos«='^, tang«=|, y 2 -fx 2 =H,

qui donnent

• o i « . Siil SC

sin 2 * + COS 2 a= I , tanffa= — .

1 ° COS fil