En général, étant données les deux équa

CO CHAPITRE H. — F.XPHESSIO» DES MEl'X

lions d’une courbe dans l’espace, rapportée à trois axes coordonnés, l’élimination d’une des coordonnées fournit l’équation de la projection de la courbe sur le plan des axes parallèles aux deux autres coordonnées.

En général aussi , quand on se donne l’une des coordonnées d’un point de la courbe, les équations de cette courbe deviennent deux équations à deux inconnues servant à déterminer les deux autres coordonnées du point dont il s’agit.

78. Si l’on a à exprimer algébriquement une surface, on tire de même de sa définition la relation qui existe pour tout point de cette surface entre ses coordonnées parallèles à trois axes.

Exempte : 1° Une sphère dont le rayon est r, et dont le centre est à l’origine de trois axes rectangulaires, a pour équation (19)

2° Soit une surface cylindrique engendrée par une droite qui se meut parallèlement à une môme direction en s’appuyant sur la circonférence d’un cercle. Son équation aura la forme la plus simple si l’un des plans coordonnés est le plan du cercle, et si l’on prend l’un des axes coordonnés, par exemple celui des z, passant par le centre du cercle, et parallèle à la génératrice rectiligne. Dans ce cas , tous les points d’une même position de celle génératrice auront le même .r et le même y;

d’où il suit qu’entre les coordonnées x, y, d’un point quelconque de la surface, existe la même relation qu’entre Vx et l’y d'un point de sa trace sur le plan des xy. Cette trace est un cercle ayant son centre à l’origine O ; et si l’angle xOy est droit, l’équation de la trace, et en même temps l’équation de la surface cylindrique, est

79. L’équation d’une surface quelconque en coordonnées x , y, x , se représente en général par le symbole F (z, y, z)=0, dont l’énoncé est : fonction de x, de y et de z , égale 0 ; ou par z=F ( x , y), si l’on suppose l’équation résolue par rapport à z.

Le deuxième exemple prouve que l’équation d’une surface, rapportée à trois axes, peut ne renfermer que deux des coordonnées , et appartient alors à une surface cylindrique. Elle pourrait même n’en renfermer qu’une : l’équation z=a serait celle d’un plan parallèle au plan des yz, et coupant l’axe des x à une distance a de l’origine. On voit, en effet, que pour tout point de ce plan l’abscisse x est égale à a , et réciproquement.

2° Coordonnées polaires.

80. La position d’un point dans un plan peut être désignée autrement que par ses coordonnées parallèles à deux axes.

Soit Taxe Ox supposé connu ( fig. 19), ainsi qu’un certain plan passant par cel axe, plan qui est celui de la figure La position du point M dans ce plan sera déterminée par deux quantités, savoir :

1° L’angle uOx ou « que décrirait une droite Ou pour passer de la direction Ox à la direction OM;

2° L’abscisse u , du point M , sur la droite Ou .* cette abscisse prend le nom de rayon vecteur.

Ces deux quantités, «, m, s’appellent coordotinées polaires. On peut, en les prenant toutes deux positives, exprimer la position d’un point donné quelconque dans le plan ; mais rien n’empêche d’admettre aussi des coordonnées polaires négatives , et, moyennant cette convention, la position d’un même point peut être exprimée par quatre systèmes équivalents de deux coordonnées. Exemple :

81. Une courbe peut être exprimée en coordonnées polaires. Exemples :

1° Dans ce système, l’équation du cercle dont le rayon est r, en prenant l’origine au centre, serait u — r.

2° Si , en même temps que la droite indéfinie Ou tourne autour du point O, on suppose que le point M se meuve de manière que les accroissements successifs du rayon vecteur u soient pro-

portionnels à ceux de l’angle a, la courbe décrite est la spirale d’Archimède , et son équation est u — ax -\-b, en désignant par b la longueur du rayon vecteur qui correspond à * = 0, et par a l’accroissement de u pour chaque unité de <*.

3" Coordonnées focales.

82. La position d’un point dans un plan pourrait être définie par ses distances à deux points donnés dans ce plan. Ce mode de détermination est quelquefois employé dans le lever des plans.

Si F et F' sont deux points donnés à priori, et si u et u' sont les distances respectives d’un point M à F et F', ces deux quantités, étant déterminées, appartiendront à deux points rcctangulairement symétriques par rapport à la droite FF 1 .

Une équation entre les distances u , considé-

rées comme variables, peut servir à exprimer une courbe reclangulairement symétrique par rapport à la droite FF’. Exemples :

r Si la somme w-f- u' est constante, la courbe est une ellipse dont les points F, F', sont les foyers. Etant données la distance FF' = ‘2c et l’équation « + *' =2 a, il est aisé de construire la courbe par points; on peut même la concevoir décrite d’un mouvement continu à l’aide d’un fil dont la longueur serait 2 a , et dont les extrémités seraient attachées aux foyers F, F’; une pointe traçantequi

glisserait le long du fil en le tenant toujours tendu décrirait la courbe.

2° Si la différence u — u' ou u'—u est constante, la courbe est une hyperbole dont F et F' sont les foyers. Etant données la distance FF'= 2 c et l’équation u — u’ =± 2a , ou (« — u’) 2 =ha 2 , on construit facilement la courbe par points. On peut aussi en décrire d’un mouvement continu un arc d’une certaine étendue : une règle tourne dans le plan de manière que l’un de ses points, toujours le même ( figure 20 ) , se confonde avec l’un des foyers F; un fil NM F' est attaché, d’une part, à un point N de la règle, d’autre part, au second foyer F', et la distance FN excède de 2 a la longueur de ce fil ; une pointe M glisse le long de la règle , en tendant le fil , et trace la courbe , car on a

FM — F'M = FN — F MX =2 a.