GÉNÉRALITÉS SUR LES PROJECTIONS EXPRIMÉES ALGÉBRIQUEMENT

1 ' Considérations préliminaires sur l’expression algébrique de la position d’un point sur une ligne donnée.

2. Une ligne droite ou courbe d’une longueur indéfinie étant donnée, ainsi que l’an de ses points, O, deux choses sont nécessaires et suffisantes pour déterminer la situation d’un point M sur celle ligne i \° la distance du point O au point M, mesurée suivant la ligne donnée; 2° le sens dans lequel celte distance doit être portée à partir du point O pour obtenir M.

3. Connaissant , sur une ligne donnée ,la situation de chacun des points M', M", lelntircment à un point 0, on demande la situation de M" relativement à M', c'est-à-dire 1° la distance de M' à M"; 2 ° le sens de celle distance à partir de M'.

Pour fixer les idées , distinguons les deux sens dans lesquels on peut parcourir la ligne donnée , en disant que l’un de ces sens va de gauche à droite et l’autre de droite à gauche.

Soient .r'et x" les deuxdistances OM', 0M’\ supposées à droite de 0 ; x" — .r' sera la distance cherchée, et, suivant que cette différence sera positive ou négative, le point ftftcra à droite ou à gauche de M'; de sorte que, X désignant la distance cherchée , la formule

TniaosoiiÈTRiF.

répondra aux deux parties de la question , si Ton convient que, suivant que x" — x', réduction faite, aura le signe ou le signe — , la distance X doit être portée à droite ou à gauche.

Supposons maintenant M' et M’ de différents côtés; soit par exemple M" à 0 m ,5 à droite, et M' à 0 m ,3 à gauche de O. M" sera à 0 m ,8 à droite de M', et ce cas sera encore compris dans la même formule [1], si l’on donne le signe — à la valeur particulière de x' qui doit être portée à gauche; ainsi on pose x , '=0 m ,5 et x'= — 0 m ,3, d’où X=0 ra ,8. Si au contraire c’est M" qui se trouve à gauche et à 0 m ,5 de O, tandis que M' est à droite et à O" 1 , 3, M" sera à 0 m ,S à gauche de M'; et la formule X = x" — x > sera d’accord avec ce résultat si l’on fait x"= — 0 m ,5, x’=0"\3, et qu’on interprète suivant la même convention la valeur qu’on obtient , X = — 0 m ,8.

Enfin, si les deux points M", M', sont à gauche de O, les deux cas qui peuvent se présenter sont encore renfermés dans la formule X = x" — x\ où les valeurs particulières des distancesx'', x’, devront être substituées avec le signe — . Exemples :

x"= — 0”,3, ji— — 0 m ,5, X=— 0“ ) 3 + 0”,5=: 0”,2,

x"=— (r,5, x'=— 0",3, X= — 0 m , 5 — (— 0“,3nz — 0 m ,2.

Ainsi les six cas possibles que renferme la question proposée sont résolus par une seule formule au moyen de changements de signes correspon-