CHAPITRE

danls aux changements de sens des distances

4. Cette importante propriété de l’Algèbre appliquée à la Géométrie peut se généraliser dans les termes suivants :

J.orsque la distance d'un point d un autre est susceptible d'être portée en deux sens opposés selon les divers cas dune même question , il suffit de traiter la question algébriquement dans l’hypothèse de Vun des deux sens ; et les formules ou équations qu’on obtient conviennent à tous les cas possibles , pourvu que , dans les applications qu'on en fait , on affecte les valeurs particulières de la distance dont il s’agit du signe -j- ou du sigtie — , selon qu’elles sont portées dans le sens adopté dans la mise en équation , ou en sens contraire.

Cette règle très utile, duc à Descaries, ne paraît pas pouvoir être démontrée dans toute sa généralité : nous aurons soin de la vériüer dans les questions où nous en ferons usage.

5. Lorsqu’on définit la position d’un ou de plusieurs points sur une droite illimitée , par les distances de ces points à un autre point considéré comme t origine commune des distances, on choisit comme positif l’un des deux sens dans lesquels la droite peut être parcourue , et chacune des distances dont il s’agit, étant affectée d’un signe,

ou — , selon le sens dans lequel elle doit être portée à partir de l’origine, s’appelle l’abscisse du

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point auquel elle appartient , relativement à celte origine. Ainsi /’ abscisse d’ un point est une quantité algébrique constituée d’une longueur et d’un signe ; et si elle est désignée par X , celte lettre renferme ces deux éléments.

6. D’après cette déGnition, la formule X=x” — x' établie au n°5 s’énonce pour tous les cas possibles en disant que l’abscisse X d’un point M' r , relativement à un autre point M', est égale à la différence X" — X' des abscisses des points M" et M', relativement d une même origine quelconque.

De cette formule on tire

c'est-à-dire que C abscisse d’un point M" relativement à une origine O égale l’abscisse du même point relativement à une autre origine M', plus C abscisse de cette seconde origine relativement d la première. Cette proposition , évidente quand les abscisses sont positives, est également vraie dans tous les autres cas.

3° Position d’un point dans un plan donné, exprimée en coordonnées parallèles à deux axes concourants.

7. Voici le moyen le plus fréquemment employé pour déünir la position d’un point M sur un plan. On considère comme données dans ce plan deux droites illimitées P P, QQ(ûg. 1) concourantes , sur chacune desquelles ou adopte un sens pour