chapitre il

dre. es de deux manières différentes par une ligne droite mobile qui s’appuie sur trois droites fixes.

En effet soient I), D’, D", les trois directrices primitives. Si M est un point de la surface , c’est qu’il se trouve sur une génératrice G rencontrant D, D’, 1)". Soient G', G", deux autres génératrices satisfaisant à la même condition. Il est impossibles que deux des trois droites G, G', G”, soient dans un même plan, car ce plan contiendrait aussi au moins deux des directrices. Cela posé, si l’on imagine qu’une droite mobile glisse sur les trois droites G, G 1 , G", elle engendrera une surface réglée du second degré. Or cette droite mobile ayant dans chacune de ses positions trois points communs avec la surface primitive y sera contenue tout entière (173, 3°) : donc les deux surfaces coïncideront.

Suivant que les droites D, D’, D", seront ou ne seront pas parallèles à un même plan, il en sera de même des génératrices G, G', G". D’où l’on conclut facilement que le paraholoïde hyperbolique peut être engendre par une droite mobile qui s’appuie sur deux droites fixes en restant constamment parallèle A un même plan.

210 . Théorème, bi deux surfaces du second degré se rencontrent suivant une ligne plane et qu’elles se coupent encore suivant une autre ligne, cette seconde intersection est également plane.

Prenons le plan de la première ligne commune pour celui des xy , et supposons que l’équation de l’une des surfaces soit

A^+A'ya+A"*J+Bxy-PB'XA-fB"y*+C*-K'y+C''*+D—

L’équation de la ligne commune s'obtiendra en faisant z = 0 et sera

Ax’-f- A'y 2 -|-B.ry -j- C.r-|-C'y-f-D = 0.

Il faut qu’en faisant 2 = 0 dans l’équation de la seconde surface on obtienne une équation équivalente «à celle-ci , et dont les coefficients soient par conséquent les mêmes, sauf un facteur constant commun. Donc si l’on supprime ce facteur dans l’équation de la 2* surface, elle deviendra telle que celle-ci,

Ai 2 -pAy+\l^+Bxy+N'x2+N''yj+C.r4-C'y-fPï4D=0 [J],

Les coordonnées .r, y, z, de tout point commun aux deux surfaces, satisfont à la fois aux équations [1] et [2], et par conséquent aussi à celle qu’on obtient en retranchant l’une de l’autre, savoir :

ou bien

r[(A" -M)2-J-(B' — N>+ (B" — N")y-f-C" — P]=0 . Or pour satisfaire à cette équation il faut de deux