DU SECOND DEGRÉ

20o. Théorème, 'loute surface engendrée par une ligne droite mobile qui s’appuie sur trois droites fixes non situées dans un même plan est une surface du second degré. C’est, un hyperbo/oïde à une nappe si les trois directrices ne sont pas parallèles à un même plan. C est un paraholoide hyperbolique dans le cas contraire.

206. Pour démontrer la proposition dans le 1" cas, menons par chaque directrice deux plans respectivement parallèles aux deux autres. Nous aurons six plans parallèles deux à deux , déterminant un parallélipipède dont les directrices seront trois arêtes.

Soient LL'MN' (fig. 52) ce parallélipipède , et LL', MM', NN', les trois directrices.

Par le centre O menons les trois axes coordonnés parallèles aux arêtes; ils rencontrent les faces aux points A, B, C.

Faisons 0A=a, OB = £, OC = c.

Soient maintenant les équations d’une génératrice quelconque

x = mz+ n [1],

i 62 CHAPITRE II. — EXPRESSION DES I.IEUX

Cette droite devant rencontrer la directrice LL', dont les équations sonty=A, z = — e, il faut (162) que ces valeurs de y et de 2 puissent satisfaire à l’équation [2]. Ce qui fournit la relation

De même la condition de rencontrer MM', dont les équations sont x= — a, z=c, donne l’équation

— a = mc-f-n [ 4 ].

Enfin la génératrice rencontrant NN', dont les équations sont x=a, y— — A, il y a une valeur de z qui, jointe à ces valeurs de x et y, satisfait aux équations de la génératrice. D’où l'on conclut la relation

fl — H — A — fl'

Les cinq équations ci-dessus posées existent pour les coordonnées d’un point quelconque de la surface et pour les constantes relatives à la génératrice passant par ce point. Donc si l’on élimine les quantités m, n, m\ n\ il restera entre les coordonnées x, y, z, une équation qui sera celle de la surface.

De [1] et [4] on déduit a-j-u = »i(.î — c) et — az — cx=w(z — r)

liÊOMKTKIQUES PAR l.KURS KQU ATIOflS. 16S

De [2] et [3] on déduit

y — 5= w»'(z-|-c) et bz -j- cy — n'(z-\-c).

On peut tirer de là les valeurs de m , n, m’, n', et les substituer dans l’équation [5] Il est aisé de voir sans écrire aucun calcul qu’on a

« ( ’i - c)-\-az —J— r j? — b (z -}-cl — bz — cy

d’où, faisant disparaître les dénominateurs et réduisant,

ex y -\-bxz-\~ayz -J-aAe = 0,

équation cherchée , qui est du second degré.

La surface qu’elle représente a un centre , qui est l’origine des coordonnées. D’après sa génération , elle est continue et d’une étendue illimitée; elle n’est ni un cylindre ni un cône : donc elle est un hyperboloïde à une nappe.

207. Pour démontrer le second cas de la proposition du n° 205,

Soit O z (fig. 53) une position particulière de la génératrice , et soient O, B, C, les points où elle coupe les trois directrices 00', BB’, CC\ parallèles à un même plan.

Par le point O de la première menons les axes Ox, O y, respectivement parallèles aux deux autres. 00' est dans le plan de ces deux axes.

16ft CHAPITRE II. — EXPRESSION DES LIEUX

Les équations des trois directrices , au moyen de ce choix des axes, n’exigent que trois constantes, et sont telles que celles-ci :

Pour OO 1 , y—aX, 2=0;

Pour BB', z — h, y=0;

Pour CC\ z=h, 1=0.

Cela posé , soient les équations d’une génératrice quelconque

zz=mx-\-p, z — vy-\-q.

La condition où elle est de rencontrer les trois directrices fournira trois relations (1 0*2) entre les indéterminées m, n, fi <h et les constantes a, h , h , savoir :

2=52, h=qi //= P .

n rn

Eliminant m, n,p , q, des équations de la génératrice au moyen de ces trois relations , on trouve

h {z— h') ah' (z — h )

hzy — a h'zx— hh'y-\-ahh'x=0.

C’est l’équation de la surface considérée, qui, comme on voit, est du second degie.

208. On peut aisément démontrer que cette surface n’a pas de centre. Si elle en avait un , en

GÉOUÉTKIQU83 PAR LRliKS ÉyUATIORi.

y transportant l’origine on ferait disparaître les termes du 1* r degré en x, y, z. Pour cela il faudrait substituer dans l’équation

Ecrivant seulement les termes du 1" degré, on aurait

h(bz'-\-cy’) — a h'(az'-\-rx ') — hh'ÿ-^-ahh'x' ou

(bh — xah')z'-\- ( ch — hh') y ' — (xc/ï — xhh')x'.

Or, pour que ces termes disparussent il faudrait qu’on pût avoir à la fois

c — A'=0 et c — h— 0,

ce qui est impossible , puisque h diffère nécessairement de h'.

La surface du second degré dont il s’agit, l’ayant pas de centre et donnant des hyperboles pour sections par des plans parallèles à ceux des xz et des y z , ne peut être qu’un paraboloïde hyperbolique.

209. L’hyperboloïde à une nappe et le paraboloïde hyperbolique sont utiles dans les applications de la Géométrie descriptive. Ils portent la dénomination commune de surfaces réglées du second degré, et jouissent toutes deux d’une propriété remarquable : c'est de pouvoir être engen - *