A# 1 AX

d’où résulte la proposition énoncée.

25.1. 3 e Théorème. la différentielle du produit d'une fonction par un coefficient constant est égale à la différentielle de la fonction affectée du même coefficient.

rf[ a¥ (x)] = ad F (.r) .

Démonstration. y=aF(x);

Ay=a[F(x-f- Ax)— F(x)] ;

Ay F (x + — F(x) .

A JT

ft=a.Iim. F( * + ^ ) - FW =«.PQr)....

djt Aæ ' '

Remarque. Le coefficient a peut être = — I , si y = ax, dy—adx; si y= — ,r, dy~ — d. r.

234. Le quatrième théorème repose sur la considération des fonctions de fonctions.

Exemples: y =(log.r) m ; ^ = sin (ax-\-b).

Dans le premier exemple logr est une fonction de.r de la forme de celles que nous appelons fondamentales (n" 5 225 et suiv.), et y est à son tour fonction fondamentale de log x.

Dans le deuxième exemple , ax-\-b est une fonction de x à laquelle peuvent s'appliquer les théorèmes 1" et 3°, et y est une fonction fondamentale de ax-\-h. En général, si y=F (w) et u=f(x ), y =F (/X 37 ]) est une fonction de fonction.

Si Ton considère séparément y— F (u), et que l’on sache diflerentier les fonctions de la forme représentée ici par la notation F, on aura ^=F («). Cette dernière fonction est la dérivée de y par rapport à la variable u.

Dans l’exemple y= (log x) m , si l’on fait logx=w, on a

y = u m , d’où = m u m ~ ‘ ; telle est la dérivée de u m par rapport à u. On com-