CHAPITRE 1 er
être le sens positif. Ces droites s’appellent axes coordonnés. Leurs parties Ox, Oy, qui s’étendent indéfiniment dans le sens positif à partir de l’intersection 0, s’appellent les parties positives des axes. Cela posé, par le point M on imagine menées parallèlement aux axes deux droites MP, MQ, qui les rencontrent en Pet Q; des lors, pour exprimer la position du point M , il suffit d’exprimer celle des points P et Q, ce qui se fait en énonçant la longueur et le signe de chacune des distances OP, OQ. Ces deux quantités s’appellent les coordonnées du point M, et sont désignées d’une manière générale par des lettres pareilles à celles qu’on écrit sur la figure vers l’extrémité de la partie positive de chaque axe.
Ainsi, pour le point M, situé dans l’angle xOy que forment les parties positives des axes, on a
x—-\- longueur OP, y longueur OQ ;
pour le point M', situé dans l’angle P'O^ de la portion négative de l’axe Ox et de la portion positive de l’axe 0 y, on a
x— — longueur OP’, y =-|- longueur OQ .
De même pour M 7 on a
x = — longueur OP’, y— — longueur OQ', et pour M"
xx=:-\- longueur OP, y— — longueur OQ.
TRIGONOMÉTRIE
Les axes coordonnés O#, O y, s’appellent souvent , l'un , l’axe des x y l’autre, l’axe des y. L’intersection t) est l’origine des coordonnées. Les coordonnées sont dites rectangulaires ou obliques , selon que l’angle des axes est ou n’est pas droit.
8. Etant données les coordonnées x , y, d’un point M par rapport à deux axes connus, on obtiendra ce point par l’une des deux constructions suivantes :
1 " On peut porter sur les axes les longueurs des coordonnées OP,OQ, chacune dansle sens indiqué par son signe ; puis tracer par P elQ, parallèlement aux axes , deux droites qui font avec les axes un parallélogramme et qui se rencontrent au point M.
2° On peut porter sur l’un des axes celle des deux coordonnées qui s’y rapporte , par exemple OP ou OP' égale à x sur l’axe Ox, dans le sens indiqué par le signe de .r, puis par le point P ainsi obtenu mener la droite PM, parallèle au second axe, égale à l’autre coordonnée et dirigée dans le sens O y ou dans le sens opposé suivant que cette coordonnée a le signe -j- ou le signe — . Dans le cas où le point M est supposé obtenu par cette construction , la première des coordonnées s’appelle abscisse, et la seconde s’appelle ordonnée.
9. Lorsque les axes sont rectangulaires, les points P et Q sont les projections orthogonales ou les projections proprement dites du point M sur ces axes. Quand ceux-ci fout un angle quelconque des
CHAP1TUE l ,r .
points P el Q, ils peuvent être appelés les projections coordonnées du poiril M sur les axes.
10. Tous les points de la portion de droite OM ont leurs projections coordonnées entre O et P sur l’axe desx, entre O et Q sur l’axe des y. C’est pourquoi les distances OP, OQ, dont l’étendue et le sens sont exprimés par les grandeurs et les signes de x et de y, sont quelquefois considérées comme les projections coordonnées de la droite OM sur les axes.
1 1 . En résumé, les quantités x , y, qui servent à définir la position d’un point M dans un plan, relativement à deux axes, peuvent être considérées sous quatre aspects; elles expriment algébriquement :
1® Les distances de l’origine O aux projections coordonnées P, Qi du point M;
2° Les distances des projections coordonnéesQ, P, au point M ;
3° Les projections coordonnées de la droiteOM sur les deux axes;
A°Lesdeux côtés contigus d’un parallélogramme dont la droiteOM est la diagonale partant du sommet commun.
12. Lorsque les axes Ox, O y, sont rectangulaires, les coordonnées x, y, du point M dans leur plan, sont égales aux distances de ce point aux deux axes. 11 existe entre elles et la distance OM, que nous désignerons par m, la relation
TRIGONOMÉTRIE
qui résulte de chacun des triangles rectangles OMP, OMQ.
3° Position d’un point dans l’espace, exprimée en coordonnées parallèles à trois axes concourants.
13. La position d’un point M dans l’espace s’exprime par un moyen analogue à celui qui vient d’être exposé. On considère comme données trois droites illimitées Ox, O y, Oz, qui se coupent en un même point O, et ne sontpas situées dans un même plan. Ces droites s’appellent axes coordonnés , et les trois plans qui passent par ces axes, pris deux à deux, s’appellent plans coordonnés. Par le point M, on imagine menés parallèlement aux plans coordonnés trois plans qui rencontrent les trois axes en P, Q, R. (La figure s’exécute en remarquant que les intersections des six plans forment les arêtes d’un parallélipipède. ) Or on voit que, pour exprimer la position du point M , il suffît d’exprimer celles des points P, Q, R , ce qui se fait en énonçant la longueur et le signe de chacune des distances OP, OQ, OR. Ces trois quantités algébriques s’appellent les coordonnées du point M pour le système d’axes dont il s’agit; elles sont désignées en général par des lettres pareilles à celles qu’on écrit sur la figure, vers l’extrémité de la partie positive de chaque axe ; le plus souvent ces lettres sont x, y, z, et les axes s’appellent axes des X, des y, des Z.
iO CHAPITRE l*'.
14. Connaissant la longueur elle signe (et par conséquent le sens) des trois coordonnées x, y , z, d’un point M par rapport à trois axes donnés , on peut considérer sous deux points de vue la détermination de ce point :
1° Les valeurs de.r, y, z, déterminent les points P, Q , R , et les trois plans menés par ces points parallèlement aux plans coordonnés ont pour unique point commun le point M.
2° En considérant les douze arêtes du parallélipipède OM formé par les trois plans coordonnés et par les trois plans qui leur sont parallèles , on voit qu’en partant du point O pour arriver à M, en suivant trois arêtes consécutives de ce parallélipipède, on peut y parvenir par six chemins différemment situés, mais de même étendue, tous composés de trois chemins rectilignes respectivement parallèles aux trois axes , et ayant les mêmes sens et les mêmes longueurs que les trois coordonnées. Ces six chemins sont (lig. 2) OPCM, OPRM, OQCM , OQAM , ORBM, ORAM. On adopte ordinairement le premier, qui se compose des coordonnées dans l’ordre x, y, z. Ainsi l’on considère le point M comme obtenu en portant x de O en P, puis y de P en C , enfin z de C en M.
La première des coordonnées s’appelle alors abscisse x, la seconde s’appelle oi donnée y, dans le plan des x, y ; la troisième s’appelle l 'ordonnée z, dans l’espace.
TRIGONOMÉTRIE
Dans la figure 3, les coordonnées z, y, z, du point M , sont posiiives ; l'abscisse z, du point M', est positive, et ses deux autres coordonnées sont négatives.
15. Le point C, où la parallèle MC à l’axe des z rencontre le plan des zy, s’appelle la projection du point M sur le plan des xy, relativement à l’axe coordonné O z. Ce point C est déterminé par les deux coordonnées .r,y, du point M, indépendamment de la troisième z. De même les points A et B (fig. 2) sont les projections analogues sur les deux autres plans coordonnés, et chacun d’eux est défini par deux coordonnées du point M , indépendamment de la troisième.
Si l’axe O z est perpendiculaire sur le plan zOy, le point C est la projection orthogonale de M sur ce plan , et la ligne projetante MC est perpendiculaire à ce même plan. Dans tout autre cas, la projection C est dite oblique , et dépend de la direction de l’axe Oz.
16. Le point P, dont la position est déterminée par l’abscisse .r, et où le plan mené par M parallèlement au plan yOz rencontre l’axe Oz, s’appelle la projection du point M sur l'axe des x relativement au plan coordonné yOz. Les points Q, Il , déterminés respectivement par les coordonnées y, z , sont les projections analogues sur les deux autres axes.
Si le plan yOz est perpendiculaire sur l’axe Oz,
Cil ANTRE l".
le point P est la projection orthogonale de M sur cet axe, et la ligne projetante MP est perpendiculaire à ce même axe. Si cette condition n’est pas remplie, la projection P est dite oblique, et dépend de la direction du plan^Oz.
17 . Les droites OC, OB, OA, sont les projections coordonnées de la droite OM sur les plans coordonnés. Chacune d’elles est déterminée complètement par deux coordonnées du point M.
Les distances OP, OQ , OR, exprimées par x, y, z , sont les projections coordonnées de la droite OM sur les axes coordonnés.
10. Les coordonnées x, y, z, du point M, peuvent donc être considérées sous quatre aspects :
1° Comme les distances de l’origine O aux projections coordonnées P, Q,R, du point M sur les axes ;
2° Comme les distances des projections coordonnées A, B, C, sur les plans, au point M ;
3° Comme les projections coordonnées de la droite OM sur les trois axes ;
4° Comme les trois côtés contigus d’un parallélipipède , dont la droite OM est la diagonale partant du même sommet.
19. Lorsque les axes coordonnés Ox, O y, O z, sont rectangulaires, les coordonnées x, y, z , d’un point M, sont égales aux distances de ce point aux trois plans coordonnés.
TRIGONOMÉTRIE
Dans ce cas, en faisant OM=w, on a
OC 2 =x 2 -(-j/ 2 » d’où « 2 =x 2 -{-y 2 -}-s 2 .
4° Des projections d’une droite limitée et d’un contour polygonal sur des axes coordonnés.
20. Si deux points M', M", sont projetés en P', P", sur Taxe Ox , la distance P'P”, prise avec le signe qui convient au sens allant de P' à P", s’appelle la projection de la droite M’M". L’ordre dans lequel on énonce les points extrêmes M', M", et leurs projections P', P'', détermine le sens de la projection P'P", d’où résulte le signe que celleci doit prendre dans les formules où elle entre. Ainsi, dan%le cas de la figure 4, la projection de M'M" csl-\- longueur P’P", tandis que la projection de M'M' est — cette même longueur.
21. Il résulte de cette définition, et delà discussion du n°3, que la projection d’une droite M’M", dont les extrémités M', M", ont x' et X" pour abscisses sur taxe de projection , est égale à x " — x 1 .
22. D’après celle même définition, on reconnaît aisément l’exactitude de la proposition générale que voici :
Théorème. Quels que soient l’axe Ox de projection et le plan coordonné yOz , la somme algébrique des projections des côtés d’un chemin polygonal M' 31" M"’. . . . M c ” , qui conduit du point M' au point M n) , est égale à la projection du chemin direct M’M " 5 (fig. 5 et C).
CÜAPITRE l' f .
En effet , cela est évident si les projections partielles P'P'', P"P'" , sont de même sens et par
conséquent de même signe; et si elles sont de sens opposés, chaque projection positive fait avancer le point P de toute sa valeur dans le sens positif, tandis que chaque projection négative le fait reculer de toute sa valeur dans l’autre sens.
On peut démontrer cette proposition algébriquement en s’appuyant sur celle du n° 20.
x', x", x’" , x ( °\ étant les abscisses des
points M', M', M" , M ” ) , sur l’axe de projec-
tion , on aura :
Projection de M’M"=x'' — x?
Projection de — x* etc.
Projection de x < '' l —xf u ~'\
et en ajoutant, eu égard aux réductions,
Somme des Projections — x 1 .
23. Deux points, M', M", étant situés d’une manière quelconque relativement à trois axes coordonnés, si par chacun de ces points on mène trois plans parallèles aux plans coordonnés, on formera un parallélipipède dont la droite M'M* sera une diagonale , et dont les trois arêtes contiguës parlant du sommet M' seront égales et parallèles, avec le même sens, aux trois projections x’ — .r',
TB1GO.NOBÉTRIE.
y" — y, z’ — z\ (le la droite M'M* sur les axes coordonnés.
Si l’on porte sur les trois axes , à partir de l’origine O, des distances égales à ces projections , chacune dans le sens qui convient à son signe, et qu’on achève le parallélipipède dont ces distances seront trois arêtes contiguës , ce second parallélipipède sera égal au premier; sa diagonale, partant de l’origine O, sera parallèle à la droite M'M', de même sens et de même grandeur.
Dans le cas particulier où l’une des projections est nulle, les points M'M' sont dans un plan parallèle à l’un des plans coordonnés , et les parallélipipèdes se réduisent à des parallélogrammes. Si deux des projections étaient nulies, les deux points seraient sur une droite parallèle à l’un des axes, et la distance M'M' serait égale à sa projection sur cet axe.
24. Lorsque les trois axes sont rectangulaires, si l’on appelle u la distance M’M’, on a, en rapprochant la remarque du numéro précédent de celle du n° 19,
Si les deux points sont dans le plan des xy , ou dans un plan parallèle, la formule se réduit à
