X. P étant le pied de l'ordonnée j' du point M sur le même
axe , la distance TP s'appelle sous^tangente sur Taxe des x.
On a
MP dj, TP^drtr'
donc
TP = r— •
•^ dj On trouve de même la sous-tangente sur l'axe dcsy :
^ dx
Exemples. Ellipse,
Ainsi l'ellipse étant rapportée à deux diamètres conjugués, la sous-tangente sur l'un d'eux, a a, est indépendante de la grandeur de l'autre, ih,
Parabole.
j*=2/7j:, yàjzzipAx,
La sous-tangente TP est double de l'abscisse, propriété caractéristique de la parabole.
Hyperbole rapportée aux asymptotes [Jtg» 65),
/=^' ^y= — ^' TP=-x.
De TP = PO on conclut TM = TM', ce qui se rattache aux propriétés reconnues au n° 4SI.
223 SOUS-HORMALE.
Logarithmique, ^
y = logo:, dj r= -.^- —
loge loge ^ °
La sous-tangente sur Taxe des^ est constante. Sinusoïde,
j- = sina:, dj;^ = cosa:dj:,
TP = -^ = tangx, T' Q trr a: cosa:.
■p- varie de i à -- 1 . Sa plus grande valeur absolue i répond àa; = o, ^== TT, ic = 2 7r,... .^ a:=: TiTT.
281 Sous-NORMÀLE. La normale au point M a po\ir coefficient angulaire — -7— 9 dans le cas où les coordonnées sont
rectangulaires (108): Soit N [fig^ 64) son intersection avec
l'axe des x, La distance PN s'appelle la sous-nôrmah sur
cet axe. On a
MP d£
PN ""d/
donc
PN = rJ^-
La sous-normale sur l'axe des r serait x -r^- Exemples. ElUpse.'
dr__^ PN=:*1?.
Parabole.
^y^P PN — ,,
ax y ';
RAYONS ET CENTRES Dl^ COURBURE. 223
La sous-normale de Fellipse est proportionnelle à Tab*^
scisse; sa plus grande valeur absolue est —> c'est-à-dire là
moitié du paramètre (132).
La sous-normale de la parabole est constante et égale à la moitié du paramètre , ou au double de la distance du sommet au foyer (129).
282. Rayons et centres de courbure des courbes planes» M étant un point déterminé d'une courbe plane {fig, 66) , par ce point et par un autre point M' de la même courbe menons deux normales MN , M']y^ Si la courbe est un cercle, le point d^interseçtipn O^ des deux normales est indé* pendant de la grandeur de l'arc MM'; la distancé MO' est le rayon et O' est le centre du cercle. Si la courbe n'est pas un cercle, et si, en considérant commç constante la position de la normale MN, on fait varier le second point M', et, par cx)nséquent, la normale M^N', le point d'intersection O' des deux normales est variable. Dans ce cas, la distance MO', à mesure qu'on prend Tare MM' de plus en plus petit , approche autant qu*on veut d'une Oerlaine limite MO , qu'on appelle le rayon de courbure de la courbe considérée au point M , et le point O dont s'approche indéfiniment l'intersection O' est le centre de courbure de la courbe au même point M.
C'est ce qu'on exprime d'une manière abrégée en disant que le centre de courbure du point M est à r intersection de la normale MN en ce point et de la normale infiniment voisine»
283. Problème. Connaissant V équation y z=.{{x) dune courbe plane en coordonnées rectangulaires, trouver Z'eirpression de son rayon de courbure au point dont les coordonnées sont X et y.
En considérant la figure JMM^O' comme un triangle qui
