PE- COURBURE

proche ;autal>t qu'on veut d^une limite qu'on peut iujdiffé^

remment représenter, soit par t— > dérivée de la fonction i*,

soit par F (x), dérivée du second ordre de ((x) ; et en même temps le facteur (i-h l'-h «Ai) approche de sa limite i-4-i'. Il résulte de là qu'en désignant par p le rayop de cour-; bure MO, on a Ta formule

284. Si Ton convient de prendre toujours le numérateur positif, le rayon de courbure aura le signe de f'''(j:): il sera donc positif ou négatif , selon que la courbe aura sa concavité tournée vers le sens positif bu négatif des ordonnées.

285. Prenons pour exemple la parabole exprimée par y"= 2 /MT. Cette équation différentiée donne

.jdj==pdi, où j/==p.

Celte dernièrje équation , dans laquelle,^* et * sont des fonc^ lions de jc, étant différentiée, donné

d/ .dr

De L^ on lire

djt* &x

Ai •

z 3= t et -T- = — —^1

220 TASGEWTES . •

et ces valeurs étant substituées clai>5 Texpression de p, on trouve

en donnant à cette dernière formule un signe contraire à

celui de j'. •

Dans le cas particulier où le point M est te sommet de la

parabole , on a

j = o et ?=^p,

»• c'est-à-dire (129) que le rayon de courbure est double de la

distance au foyer. Cela résulte aussi du vP 281 , car le rayon

de courbure au sommet, soit de la parabole, soit de lel-

lipse, est égal à la sous-tangente.

286. Tangentes aux courbes ilans l* espace. Soit une courbe définie (90) par deux équations ^

(i) F(x,j, z) = o et f{x,jr, z)=^o,-

qui sont celles de deux surfaces dont elle est Fintersection. Il en résulte que si nous désignons par x\ y' ei z' les coordonnées d'un point quelconque de la courbe, elles doivent, étant mises pour x^ j el z^ satisfaire à ces équations (i); et deux quelconques de ces coordonnées x'^y' et z* sont des fonctions de la troisième, de sorte qu'on obtiendra leurs dérivées en différentiant les deux équations (i) couformémejit à ce qui a été dit à la fin du n^ 253.

Pour plus de généralité et de symétrie dans les formules, nous laissons arbitraire le choix de la variable indépen-

DANS l'bSPACE.

(laiile,* et nous écrivons

dF , , • dF . , dF , ,

,Jp.d^+37^^-^dF^^-^'

• ' ' df j , df , ,, df , ,

Cela posé , occupons-nous de la détermiqation de la tangentç à la courbe dont il s^agit. Cette droite passant par le point dont les coordonnées soRt x\y'^ z\ on peut mettre ses équations sous la forme (175)

De pliis en remarquant que la définition du n^ 225 s'ap-plique aussi bien à une courbe à double courbure qu'à une courbe planie, on voit aisément que la projection delà tangente à une courbe sur un plan est la tangente à la projection delà courbe sur ce mêine plan, les projections étant d'ailleurs rectangulaires ou obliques.

De là il ré&iilte qUe les équations. (3) peuvent être rem^ placées par . " ^ '

1 dr' / A

dz'

ou bien

x^^x^ y — y' z — zl . die' dj' d-2'

Ainsi 4es trois différentielles dx', dj'-, dz' qui entrent au prenaiep degré dans tous les termes des équations (2), sont proportionnelles aux différences x — Jt', y-^y\ ^' — z'-^ elles s'éliminent donc immédiatenaent 5 et Ion* a pour les

25t8 PLAN TAKGENT •

équations diei tliées de la laiiigeiite

i\V , ,,' (IF, „ <1F./ ,.

df / ,. df , ,v df / ,,

H est entendu qvte jf, jr^ z sont ici Its coordonnée^. variables d'un point quelconque de la tangente , et que les coefficients i — >« -r — r» etc., dérivées partielles des fonctions F' dx' dx' '

et f , dans lesquelles on a mis pour x^y et z les coordonnées x' ^j' et z' du point de contact, ne renferment que ces dernières coordonnées, et les autres constantes appartenant à ces mêmes fonctions, F et f.

287. Plan langent à une surface. Soit l'équation âe cette surface - .

Si par le point dont les coordonnées sont x', y\ z\ et satisfaisant à cette relation , on fait passer une autre surface dont Téquation soit

la tangente à la courbe d'intersection aura pour l'une de -ses équations

qui est celle d'un plaïi passant par le point dont les coordonnés sont x', j' et z[. Cette équation est-indépendaïue dc^ la fonction f qui > en changeant^ détermine sur la ptemière surface, autant de courbea diversies qu'on voudra* Le, plan défini parTéqualion (3) contient donc les tangentes à toutes

A. UJHE StRFAGE. 12i)

ces courbes: donc il est le plan tangent à la première surface.

288. ÀppLrcATiON. En un point d'un ellipsoïde on mène un plan tangent et du centre on abaisse une perpendiculaire sur ce plan^ on demandé la distance d du centre au plan tangent^ et les angles cfuefait la perpendiculaire âOec les axes principaux de l'ellipsoïde.

. Mettons pour simplriier réquation de Tellipsôïde sous la

forme

TîX* -H />;^* -f- 92* = I ,

x\y' et z' étant lés coordonnées du point M' pris sur celte surface, la formule (3) ci-dessus donne , pour le plan tangent eti ce point , Téquation

nx' \x — x') -^py' {y — y') -\-qz''{z — 5') =0,

qui , à cause de

nx'^ -+- pj'^ -4- çfz '* = I ,

se réduit à '

nx'x -hpy'j -h f/^' z =:i.

Celte équation étant identifiée avec Téquation (i) du n'* 181

a:cos(iV, x) -hjcos(N, y) H-'-zcos(N, z) :;= (J,

donne

cos(N, x) = /ix'o,

vos(lS, y) =py'â, cos(N, z) = <7<2'<J.

Er> élevant au carré et ajoutant, on obtient

d'où

a5o et

PJ-ÀJV TANGENT A UNE SURFACE,

cos(N, x) ==

cos(N, z) =-^.

Quant aux coordonnées du pied de la perpendiculaire, elles sont *

x" = cî cos (N , x) = nx' d\

Ces formules sont employées dans l'admirable théorie de la rotation des corps solides due a M. Poinsot.

CONSIDÉItATIOMS PONDAitENTALES-. ' 23 1