Centre de gràuUé d'un arc de cercle AGE (fig

Il est sur le rayon OG passant par le milieu de l'arc ; sa distance GO == J? se détermine en prenant les moments par rapport à OD perpendiculaire 9 OG. L' élément MM' de Tare se confondant avec sa corde, dont le milieu est ï, les deux triangles semblables MM'N, IKO, font voir que le moment élémeutaireMM^X IK est égal à MN X 10, c'està-^lire.à la projection PP' du petit arc sur la corde AB, multipliée par le rayonl Donc la somme des moments élémentaires est égale à là corde entière AB multipliée par le rayon. Or cette somuLC est aussi égale au moment de Tare = arc ACB X x , donc, si on désigne l'arc par a, la corde par e, le rayon par R , on a

ax = cR.

Si n est le nombre des degrés de l'arc, il faut faire

a = „ ? et c = 2 K sm I -- 1 ; iÇo \2/ '

DE oRÀvrrÉ. 367

36o.sin( - j

Itir

337. Centre de gratuité d'un arc A6 d'une courbe quel' conque (fig. 79). Soient L la longueur de Tare AB, l^la distance de son centre de gravité G à un plan quelconque, à,s un «lément Je Tare, y sa distance au même, plan : on aura

Lr

=fris.

Si y, ordonnée MP d'un point quelconque M, était une' fonction donnée de la longueur 5 comprise sur la courbe entre un point fi^e O et le point variable M, le calcul intégral pourrait donner la valeur algébrique de 1 ^d^. Si cette fonction est iuconnue ou trop compliquée, on déterminera dans les cas particuliers la valeur numérique de r^d^ au

moyen de la formule de Simpson.

A cet effet oa divisera la longueur Z en un nombre pair n de parties égales ; des points de division on^ abaissera sur le

plan quelconque XZ des perpendicuf airesy j J^n \X8 v • 9 JK/i> et Ton aura très-approximativement, si le nombre n est suffisant, .

fi

d'où

r=Jj!^ = ±. {j,+ 4^,+ 2^.-1-. . . + 4j„,H-j„).

Cette opération, faite successivement par rapport à trois plans quelconques, donnera les distances du centre de gra*

26$ CENTllES

vite cherché à ces trois plans. Si la courbe est plane, deux distances suffiront ^ une seule sera nécessaire si la courbe est orthogonalemeut symétrique par rapport à une droite, et on n'aura qu'à opérer sur Tune de ses moitiés.

.§ m. CENTRES DE GRAVITÉ DES SURFACES.

338. Le centre de gravité d'un parallélogramme est à son centre de figure. En général toute surface plane terminée par une ligne courbe ou polygonale ayant un centre dé figure (332) ja son centre de gravité en ce point. Il en est de même d'une surface courbie ou polyédrique ayant un centre de figurje. En effet, dans Fun et l'autre cas, là 'surface est décomposable en éléments qui sont deux à deux de mêm^étendue et à égale distance du centre.

339. Si une surface plane est comprise entre deux droites parallèles AA,, BB, [fig^ 8o), et entre deux coi^rbes AMB, A,MiB,, telles que toute droite MMj parallèle aux côtés A Al BBi, ail comme eux son milieu P sur'un même axe KL, le centre de gravité 4c la surface est sur cet axe de symétrie pblique ou orthogonale.

Cette vérité esit nneconséquetice du numéro précédent) si l'on considère, la surface commeuu assemblage de parallélogrammes très-étroits MNNiMi, en négligeant les triangles MNM', MiNiM,, infiniment petits par rapport aux parallélogramme^, ce qui ne peut altérer le résultat quand ou passe à la. limite.

Bjsinàrque, Si la symétrie n est pas orthogonale, l'axe KL qui contient le centre de gravité de la surface peut ne pas contenir celui de son contour.

'340. Centre de gravite G de la surface d^un triangle ABC (/îg. 8i). D'après le numéro prccédeui, il est à la fois sur AD et sur BE, passant par les milieux D et E de BC cl

(le AC. D'ailleurs DE est parallèle à AB el d'une longueur moitié de AB'; donc

# GD = -AG, ou DG = ^AD.

Donc, en général,, le centre de gravité de la surface d'un triangle est sur la droite n^enée d'un soinmet au milieu du côté opposé, au tiers de celte drpite, à partir du côté.

Remarque, Ce point G est aussi Je centre de gravité du système de trois corps égaux dont les centres de gravité seraient aux sommets A , B, G. - v

341, On trouvera le centre de gravnté /i*un polygone quelconque en le décomposant en triangles (3vi1).

342. Centre de gra\^ité d*un quadrilatère quelconque ABCD (fig\ 82). Soit E le milieu de AC. Le centre de gravité du triangle ABC est en H, au tiers de EB à compter de E 5 de même I, centre de gravité de ADC, est au tiers de ED à compter de E. Le centre jde gravité cherché G^ divise IH en parties IG, GH, réciproquement proportionnelles aux surfaces des triangles, ou aux lignes DF, BF ; donc, si l'on porte DF de B en R, en remarquant que BD et Hl sont parallèles, on voit que G est sur EK, et que

EG = ^EK. De là une règle fort simple pour déterminer

graphiquement le point G.

Si J'on connaissait numériquement les longueurs FA , FB, FC et FD, on déterminerait les coordonnées obliques FL et LG du point G par le théorème des ftiomerits. Ôri a (328)

FL.<(surf BDC+surf BDA) = ^surf BDC— ^surf BDA. Or les deux surfaces sont proportionnelles siux longueurs

iJO CERTRCS '

FCetAF:donc

FL (FC + AP) = 5 FC*— AF*) î

d'où

FL=i(FC — AF).

On trouve de même

LG = i(BF— DF).

343. Centre de gravité d'un trapèze ABCD (fig» 83). Il est sur EF, joignant les milieux E et F des bases parallèles. Si Xo^ fait AB i= ,ft, DC = iif, EF = /, en remarquant que les surfaces des triangles ABC, ADC, sont proportionnelles à & et b\ et que les ordonnées de leurs centres de gravité, prises parallèlement à EF et par rapport à AB,

sont -^i et ^l, le théorème des moments donne

(4-t-6')EG=4W-l-|*''5

344. Centre de grai^ité d'un secteur circulaire AOB {fiS' ^4)- ^*^ décomposant le secteur en éléments infiniment petits égaux , qu'on pourra considérer comme trian« gulaires et ayant leurs centres de gravité uniformément

distribués sur l'arc .ab, dont le rayon Oa=^OA, on

verra que le centre de gravité cherché est aussi celui de Tare àb (336).

345. Le centre de graMé du segment circulaire ABCA ifiS' 85 )^ se déduira de ceu* du secteur AOBCA et du tri-

angle AOB.

Aires . . . . ,

Centre de gravité. . .

Distance au centre O.

Segment. .

Triangle.

Se<!teur.

GO = x

on^a

d'où

Ax = A'x'4- M'x'f, A'= A — A^

A£-;JlV A — A''

346. Centre de graifité du segment AOAi d'une para-» hole {fig' Ô6) dont l'équation est j'== 2;t?x, les axesOx,Oy, faisant Tangle a. Le point cberché est sur Taxe de symétrie Ox ; on déteiinine $01:1 abscisse X par le tbéorèpie des moments.

Le trapèze élémentaire MM^M^Mi peut être remplacé par le parallélogramme MNNiMj, dont la surface est '^jr^irxaàx : la surface du segment est donc

mu l yàx.

2Sin

Le parallélogramme MNNi Mi a son centre de gravité au milieu de PP'; son moment, par rapport au point O, est

égal à sa surface multipliée par x,-\ > et, en négligeant auprès de x, devient so^sinada?^ la somme des

moments élémentaires est donc

On

a par conséquent

asina i xyAx,