Un autre moven dont on fait usage dans la haute

d'une droite dans un plan. i5

Géométne et dans la Mécanique pour désigner un angle consiste à exprimer le rapport de Tare qui lui sert de me* sure au r^yoo avec lequel cet arc est décrit- Dans ce cas Tangle droit) a^i lieu d'être représenté par 90°, est ex* primé par | t: ou approximativement par 1,5708. Si un angle est représenté de cette manière par le nombre abstrait

û, on en conclura que son nombre de degrés est •

29. La grandeur de l'angle que le côté mobile Ou est censé avoir décrit à partir de la position O x connue ne suffit pas pour déterminer la direction Ou; il faut encore, comme nous l'avons dit, exprimer le sens du mouvement de la droite mobile. Or, par imitation de ce qui se fait pour définir la position d'un point sur une ligne connue (5), on choisit arbitrairement comme positif l'un des deux sens possibles du mouvement de rotation , et Ton affecte du signe -\- ou du signe — l'angle dont il s'agit, suivant le sens dans lequel on le suppose décrit.

30. Il résulte de cette convention que la direction d'une droite Ou, définie par l'angle positif ou négatif qu'elle fait avec une droite donnée Ox, est susceptible d'une infinité A' expressions équivalentes.

Si elle est exprimée par a°, elle le sera également par (a -h36o)°, pat* (a-f- 720)°, en général p^r (a-f- «.36o)°, en représentant par n un nombre entier positif.

Lam^medirection sera encore exprimée par — (36o — a)*^, par — (720 — a)°, en général par — (n.36o — <x)° ou (a--/i.36o)°.

3t. Au moyen de cette même convention du n^ 29, on renfermera dans une seule formule la réponse ^ pour tous les cas possibles , à la question suivante, analogue à celle du n« 3 : .

l6 LIGNES

Connaissant les directions de deux droites Ou', Ou'', par leurs angles positifs ou négatifs a', a", as^ec une droite O'Kj on demande la situation de Ou" par rapport à Ou', c*est"(i-dire là grandeur et le signe de V angle u'Ou", désigné par ^,

Les six cas possibles sont résolus par la formule

Lorsque Tapplication de cette formule donne un résultat négatif, on peut le remplacer par un angle posilijf équivalent, en ajoutant 36o° ou un multiple de 36o°. Exemple :

a" = 8o^ a' = i25^ |3 = — 45*^ ou 4-3i5«.

L'une ou l'autre de ces expressions de j3 suffit pour déterminer la direction de Ou" dans le plan xOu'.

3°. Expression, d'un angle positif ou ilégatif par ses lignes ou rapports

trigonométriques.

32. La théorie des projections ou des coordonnées fournit d'autres moyens d'exprimer la direction d'une droite dans un plan.

Soient [fig^ 6 ) Ox et Oy deux axes dont le second fait avec le premier un

angle droit positif ; Ou (*) une droite partant de l'origine O, et faisant avec Ox

un angle quelconque a positif ou négatif; AM (*) l'arc svipposé décrit par un point quelconque d'une

droite mobile qui^ partant de la position Ox, parcourrait

Fespacé angulaire a pour prendre la position Ou;

{*) Dans la figure, on voit., au Heu des lettres u.et M^ les lettrés u', u", u'", u'^, M', M", W, M'^. C'est pour faire comprendre que la droite Ou , à laquelle le texte s'applique d'une manière générale, peut avoir une direction quelconque à partir du point dans le plan de la figure.

TRIGONOMÉTKIQUES. Ij

r lé rayon OA ou OM de cet arc ;

xei y les coordonnées rectangulaires positives ou négatives du point M, tandis que r est une distance essentiellement positive, parce qu'elle est portée sut la partie positive de la droite génératrice de Tangle.

Il est aisé devoir que la direction de la droite Où sera déterminée , si l'on connaît les signes des coordonnées Xy 7, et Fun quelconque des rapports que les valeurs absolues des trois Ijuanti tés x^yel r, ont entre elles, sans qu'il soit nécessaire d'avoir ces valeurs absolues.

De là on ai été conduit à considérer les rapports algébri^ gués, c'est-à-dire positifs ou négatifs, que les quantités .r, j, r, ont entre elles. '

Ces rapports sont au nombre de six, et ont reçu des noms particuliers.

i'^. Siwus., Le rapport algébrique - de l' ordonnée j

au rayon r, rapport qui a le même signe que l'ordonnée y^ s^ appelle le sinus de l'angle a, en désignant, nous le répétons, par a l'un quelconque des angles, positifs ou négatifs, plus petits ou plus grand» que quatre droits, que fait avec l'axe Ox la droite joignant l'origine O avec le point M, dont les coordonnées rectangulaires, positives oti négatives, sont j çt X.

Le motsinus^ ou plutôt son abrégé J2>i, est (çffmé des ini«> tiales du latin semi-inscripta , demi-inscrite où demi-corde, parce que l'ordonnée dey est effectivement la moitié d'une corde dans le cercle dont r est le rayon; et si l'on suppose, comme on le dit communément, que la longueur r est prise égale à une unité linéaire, l'ordonnée y a précisément , eu égard à son signe, la même expression que le sinus de l'angle a.

2®. Cosinus. Le rapport algébrique - de T abscisse x au

i 8 LIGNES

9Ytfon r, rapport de même sîs^ne qae Tabscisse Xy s" appelle cosinus de l'angle a.

Le mot cosinus y que quelques auteurs ëcrÎTent co-muus, est formé de complément et de sinus, parce qu^ on peut considérer le cosinus d^un angle comme étant le sinus du complément de cet angle. Nous reTÎendrons (o3) sur la généralité de cette relation.

3**, Takgehtb. Le rapport algébrique^- de T or donnée y

à r abscisse x, rapport positif ou négatif, selon que les deux coordonnées ont le même signe on des signes contraires , s appelle tangente de V angle a.

Pour expliquer Forigine de cette dénomination, menons par Torigine A de Tare AM une tangente qui rencontre la droite On ou son prolongement an point N, et appelons t la portion AN de cette tangente prise avec le signe + ou le signe — , suivant qu^elle a le même sens que Oy ou le sens

contraire. Le rapport - est dans tous les cas égal à - et

devient ^al à £ si l'on fait r = i. C'est pour cela que le

rapport — se nomme la tangente de l'angle or.

4^. CoTAUGEifTE. On appelle cotangenie de V angle a le rapport - inverse de la tangente et de même signe. Ce

mot signifie tangente du complément,

5°. Sécamte. On appelle sécante de V angle a le rap-

port - ini^erse du cosinus et par conséquent de même signe.

Pour reconnaître d'où vient ce nom, prolongeons le rayon OM de part et d'autre pour en former une sécante indéfinie qui rencontre en N la tangente AN, et appelons s la portion ON de celte sécante , en convenant de lui donner le signe -I- quand ON a le même sens que OM, et le signe —

TUlGOHOlféTAIQUES. I9

dans le cas contraire. Le rapport - a dans tous les cas la grandeur et le signe de - et devient égal à 5 si Ion fait

6^* CosécÀilTE. On appelle cosécantc de V angle ol le

rapport -9 inuerse du sinus ^ et par conséquent de mênie

signe.

Le mot cosécantc signifie sécante du complément. Oh voit pourquoi les six rapports auxquels donnent lieu les trois quantités x, y et r relatives à un point quelconque pris sur le côté générateur de Tangle a, ont été appelés les lignes trigonométriques de cet angle , dénomination consacrée par lusage, mais qui peut paraître impropre aujourd'hui que l'on s'accorde à désigner sous ce nom des rapports ou nombres abstraits affectés d'un signe, + ou — .