LIGNES

par sinus, cosinus, de, d'un angle, C'est sur elles que nous nous appuierons dans les démonstrations et applications. Les étymologies géométriques doivent seulement aider à cetrouver les noms des rapports trigonométrîques et a se rappeler leur signification.

34. Les ingénieurs désignent quelquefois des angles par leurs sinus ou leurs tangentes, qui en donnent une idée plus nette que l'expression en degrés.

Le fruit d'un mur, la base d'un talus par unité de hauteur sont les tangentes d'angles avec la verticale-, la pente H'iine rouie, exprimée en hauteur par mètre de longueur, est le sinus ou la tangente de l'angle à l'horizon , selon que la longueur est mesurée parallèlement à la route ou parallèlement à rhorizon : distinction d'ailleurs indifférente dans les cas ordinaires, parce que le sinus et la tangente sont sensiblement égaux pour les petits angles.

35. Il résulte des définitions du n° 32 plusieurs conséquences remarquables :

i». Tout sinus ou cosinus est compris entre les valeurs extrêmes dz i : car les coordonnées y et x, positives ou négatives, sont en général numériquement plus petites que r^ tout au plus Tune de ces coordonnées est égale à /*, mais alors l'autre est nulle.

a®, A mesure que a croît de zéro jusqu'à 90°, le sinus prend toutes les valeurs depuis zéro jusqu'à i, le cosinus toutes celles depuis i jusqu'à zéro*, la tangente croit de zéro à l'infini.

3°. Depuis l'angle de 90° jusqu'à celui de 180*^, le sinus reste positif comme y^ mais décroit de i à zéro ; le cosinus est négatif comme x, et passe de zéro à — i -, la tangente est négative, et varie de — 00 à o.

4°. Depuis 180° jusqu'à 270°, le sinus varie de zéro à — r 1 5 le cosinus de — i à zéro •, la tangente de zéro à -f- oo .

TR1GOJMOMÉTRIQIIE3. 21

5**. Depuis a^o^ jusqu'à 36q*^, le sinus varie de — ^i à zéro^ le cbsini;is de zéro à. -|- 1^ la tangente de — oo à zéro., •6^, A mesure qu'un angle variable approche de 90^, sa tangente approche de l'infini positif eu de l'infini négatifs selon que F angle croît ou décroît. C'est en ce sens qu'on dit langpo^ = ± 00 .On a de mente tang 270*^ = db ço .

7*^. .Les trois lignes tr^onomé triques coséc, sec y cot^ sont les inverses des trois premières, et ont les mêmes signes.

' 8°. En général, si Ton ne considère que les valeurs numériques des ligues trigonométriques d'un angle quelconque uOx, elles sont égales à celles de' l'angle aigu formé par Ou, soit avec Ox , soit avec son prolongement négatif, cet angle aigu étant considéré comme positif. En effet , pour ces deux angles, les longueurs des coordonnées x ely sont les mèmes^ leurs signes seuls varient, et r est co»stant.

36. Il existe des tables (*) au moyen desquelles, étant donné un angle quelconque au-dessous de 90^, on trouve ses lignes trigonométriques 5 et réciproquement, connaissant l'une de ces lignes, on trouve l'expression de l'angle aigu correspondant en degrés, minutes, etc.

Lorsqu'il s'agit d'un angle quelconque, positif ou négatif, d'un nombre de degrés connu, et pouvant excéder 90° en valeur absolue, il est facile, d'après ce qui précède, de déterminer les signes de ses lignes trigonométriques^ ou trouve ensuite leurs valeurs numériques dans les tables en considérant l'angle aigu correspondant.

37. Mais si, récîproquenient, on se donne le signe et la valeur numérique d'une seule des lignes trigonométriques

, , .11 .. . ■ ...... I , f I II'

( *) On verra , n°* 60 et 61, comment on \k pu les calculer.