VIII. PROBLÈMES DIVERS DE TRIGONOMÉTRIE
86. Trigonométrie RECTILI6NE, — I. Tromper la distance AB(^gf, 16) entre dfiux points inaccessibles. On mesurera une base CD, et les quatre angles ACD, BCD, ADC, BDC que font avec elle les droites ou rayons visuels dirigés de ses extrémités C et D vers A et B.On mesurera aussi l'angle ACB qui ne sera pas la différence des angles ACD et BCD si les deux droites DA et CB ne sont pas dans un même plan. On résoudra Içs tris^ngles ACD et BCD (64)5 puis connaissant les côtés CA et CB du triangle ACB et Fangle
y 2 PROBLÈMES DIVERS
mesuré AGB qu'ils comprennent, on en conclura la dis* tance AB (66).
II. Réduire à r horizon un triangle dont une base est horizontale. Le point A {Jîg. 17) ayant été observé des deux extrémités d'une base horizontale BG, les côtés et les angles du triangle ABC sont supposés connus. Il s'agit de calculer les côtés BA', CA' et les angles du triangle BCA'^ projection horizontale du triangle BCA. A cet effet, on mesurera les angles ABA^ ACA' que les droites AB et AC font avec Thorbon. On calculera BA'= BAcos ABA' et CA'=CA cosACA'. Connaissant ainsi les trois côtés du triangle A'BC, on calculera ses angles (67).
m. Les quatrç points A, B, C et D [fig. 16) étant dans dans un même plan , on connaît les côtés et les angles du triangle ABC , et les angles BDA , ADC désignés par ^ et 7 ; il s'agit de résoudrie les deux triangles ABD et ADC.
Soient AC = t, AB = c, angle BAC = A, angle ABD = a:, an^le ACD =y' Les dtMix triangles ABD, ACD fournissent deux expressions égales du côté commun AD^ savoir (64) :
■ , ïnx bsinv
(0 . ft = . • >
^ sinP siny
la somme des angles du quadrilatère ABCD donne (2) , -a:-:hj-i-A-Hi3 + 7=36o^
Connaissant ainsi jc-j-^, on cherche x — J^p^r un procédé analogue à celui du n*^ 66, 3^.
pe l'équation (i) on tire, en posant
yo\ csiny sinr
On en conclut
sin^H-sinj i-Htangy tang4^°-4-tangy
sînj7 — s'itix I — langf i — tang4S^tangf
BE THlGÔM9MÉ'rfUfi> ji
d'où (57 et 39) .
(4) ^1 =tàDg(45''-t-y).
sin ^
, Les équations (n) et (3) faisant connaître — et ç,
Féquation (4) donne ^; oû en conclura x et j<". Ainsi
dans chacun des triangles ABD et ADC on connaîtra deux angles et un c6té , ce qui ramène au cas du n^ 64*.
IV. Trouver la relation entre le nombre de degrés d'un arc de cercle a , la corde c qui le sous-tend et son rayon r.
En menant du centre une perpendiculaire sur la corde, on a un triangle; rectangle qui donne la relation cherchée
- = rsm —
Il suffira de connaître deux des quantités a^ c^r pour en conclure la troisième.
87. Trigonométrie sphérjque. -^ I. Etant données les longitudes et les latitudes de deux points A et B du globe terrestre^ trouv^er leur distance^en degrés. Les latitudes sont comptées positivement si elles sont boréales, les longitudes sont supposées positives vers Test, et la longitude du point B est supposée plus grande que celle de A. €ela admis, si C est le pôle boréal , les trois points A , B et G sont les 'sommets d'un triangle sphérique, dont deux côtés sont donnés, savoir AC=go** — latitude de A, BC =90^ — latitude de Bj et<l*angle C du même triangle, compris entre ces mêmes côtés est la diflerence connue des deux longitudes. La distance demandée est le troisième côté qu'on trouvera comme au n** 75 , HP Caç , ou au n** 78.
74 , phoblèjées divers
II. Réduire wi angle à r horizon. On connaît (j^g^. 18) les angles MSA = c , NSA = b que deux droites SM, SN font avec la verticale SA , et Tangle MSN = a de ces droites entre elles. On cherche Tangle formé par leurs projections horizontales. Si par Un point A quelconque de la verticale SA , on suppose les deux droites AB et AC horizontales et par conséquent perpendiculaires à SA , l'angle BAC est celui qu'on cherche et mesure le dièdre A opposé à la face a du trièdre dont les deux ai^tres faces sont b et c. Le problème se réduit au P' Cas du n° 7S.
.Les trois angles a, é et c ont pu être obtenus sans que l'observateur se soit transporté en S, au moyen de deux stations en M et N. L'angle a est le supplément de la somme des deux angles NMS, MNS, et les angles b et c sont les compléments de ceux que les droites NS et MS font avec les horizontales menées par N et par M dans les plans verticaux NSA et MSA.
DE TKiaOMOMÉTRIE.
Table det nombre* .trig^nométriques naturels.
SINUS
TANG
COTANG
COSINUS
Of9994
]4j3oo7
ii,43oi
0, ïo/|5
o,io5i
en M
COSINUS
