CHAPITRE IL

EXPRESSION DES. LIEUX GÉOMÉTRIQUES PAR LEUlis ÉQUATIONS.

§ I. GtNfiKAUTtS SUS CI SOJBT.

i"". Coordonnées parallèles à des axes concourants.

88. L'emploi des coordonnées, qui (n^* 7 et 13) sert à désigner la position d'un point dans un plan ou dans l'espace, fournit aussi le moyen d^exprimer algébriquement la situation d'une suite de points soumis à une même loi, et formant soit une ligne, soit une surface : il suffit pour cela d'écrire en une ou plusieurs équations les relations qui lient entre elles les coordonnées algébriques d'un même point pris arbitrairement parmi ceux dont il s'agit. C'est ce qui va s'éclaircir en considérant les divers cas renfermés dans cet énoncé général.

.89* S'il s'agit d'une courbe plane, ou imaginera dans sou plan deux axes coordonnés Ox, Oy, et l'on tàcbera de tirer de la définition de la courbe une équation qui exprime la relation entre les coordonnées J?, ^, d'un point quelconque de cette courbe* Cette équation entre les variables x^Jt et les quantités constantes fournies par la question, s'appelle Véquation de la courbe rapportée aux axes coordonnés Ox,Oy.

Exemples, i°. Un cercle dont le rayon est r, et dont le centre est à l'origine des coordonnées rectangulaires, a pour équation (12)

j* -f- X? = r* ou JK = dt ^r* — x*.

PARALLÈLES A DCS AXES. ^*]

2^. Un cercle tangent à Taice des Xy au point pris pour origine des axes rectangulaires, a pour équation

[y — r)* 4- X* = /^ ou j^' — 2 yy + a;* = o,

oa encore

Cette équation peut servir à tracer par points sur le terrain un arc de cercle, d'un très-grand rayon connu, tangent à une droite donnée.

Lorsque, pour aider le raisonnement, on veut exprimer de U manière la plus générale l'équation d'une courbe en coordonnées x , j* , on la représente par le symbole F (a:, y) = o, dont Ténoncé est : fonction de x et de j égale zéroj ou par j^ =: F (x), dont Ténoncé est ly égale fonction de x. Dans ce second cas, on suppose que Téqua^ tien est résolue par rapport à y.

Généralement on entend par une fonction- d^ une ou de plusieurs ^variables Fexpression d'opérations quelconques à faire sur ces variables, combinées soit entr^ elles, soit avec des constantes.

90. S'il s'agit d'exprimer algébriquement une ligne à* double courbure (c'est-à-dire non située dans un plan), ou plus généralement une courbe située d'une manière <juel-^ conque par rapport à trois axes coordonnés, la question se réduit à trouver deux équations auxquelles doivent satisfaire les trois coordonnées a:,^'", «, de tout point de cette courbe. Si Tune des équations ne renferme que deux coordonnées^ elle est l'équation de la projection de la courbe sur le plan des deux axes coordonnés correspondants : car, pour fin. point quelconque d^a courbe dans l'espace, les coordonnées X, j^, par exemple, sont les mêmes que celles de sa projection sur le plan des x ety^.

Eùcemple. Si la courbe est située sur une sphère dont le

y 8 COORDONNÉES PAHlLLELES À DE9 AXES.

rayon est r, et dont le centre est à Torigine de trois axes

rectangulaires, et si sa projection sur le plan des xy est un

cercle dont le rayon est r', et dont le centre est sur Taxe

des x, à la distance a de Vorigine, la première condition

donnera (19)

puisque la distance d'un point quelconque de la courbe i Forigine est r/ et la seconde condition s'exprimera par Vé^ quation du cercle, projection de la courbe (89) ^

j"-+- (x — fl)« = r'*.

91. En général, étant données les deux équations d'une courbe dans l'espace, rapportée à trois axes coordonnés^ l'élimination d'une des coordonnées fournit l'équation de la projection de la courbe sur le plan des axes parallèles aux deux autres coordonnées.

En général aussi, quand on se donne l'une des coordonnées d'un point de la courbe, les équations dé cette courbe deviennent deux équations. à deux inconnues servant à déterminer les deux, autres coordonnées du point dont il s'agit.

92. Si l'on a à exprimer algébriquement une surface, on tire de même de sa définition ia relation qui existe pour tout point de celte surface entre ses coordonnées parallèles à trois axes.

Exemples. i°. Une sphère dont le rayon est ;*, et dont le

centre est à l'origine de trois axes rectangulaires, a pour

équation (19)

j?* -hy* 4- ^* = r*.

2^. Soit mue surface cylindrique engendrée par une droite qui se met parallèlement à une même direction en 8*appuyant sur la circonférence d'un cercle. Son équation

COORDQHKÉES POLAIRES. ^g

aura la iforme la plus simple si run des plans coordonnés est le plan du cercle, et si Ton prend Tun des axes coordonnés, par exemple celui des z^ passant par le centre du cercle, et parallèle à la génératrice rectiligne. Dans ce cas, tous les points d^uBe même position de cette génératrice auront le même x et le même y ^ d'où il suit qu'entre les coordonnées X, yj d*un point quelconque de la surface, existe la même relation qu'entre l'a: et Vy d'un point de sa trace sur le plan des x cl y. Cette trace est un cercle ayant son centre à ForigineO^ et si Tangle xOy est droit, l'équation de la trace, et en même temps l'équation de la surface cylindrique, est

93L L'équation d'une surface quelconque en coordonnées x, y^ z, se représente eu général par le symbole F (x^y^ z) = o, dont l'énoncé est '.fonction de x, dey et de z, égale zéro •, ou par z = F [x^y)y si l'on suppose l'équation résolue par rapport k z.

Le deuxième exemple prouve que l'équation d'une surface, rapportée à trçîs axes, peut ne renfermer que deux des coordonnées, et appartient alors à une surface cylindrique. Elle pourrait même n en renfermer qu'une : l'équation X == a serait celle d'un plan parallèle au plan des j' et 2, et coupant l'axe des x à une distance a de l'origine. On voit, eu effet, que pour tout point de ce plan l'abscisse x est égale à a, et réciproquement.

a°. Coordonnées polaires.

94. La position d'un point dans un plan peut être désignée autrement que par ses coordonnées parallèles à deux axes.

Soit Taxe Ox supposé connu (^^. 19), ainsi qu'un certain plan passant par cet axe, plan qui est celui de la Bgurc.

8o COORDONlS'éES

La position du point M dans ce plan sera déterminée par dealc quantités, savoir :

1°. L'angle uOx ou a que décrirait une droite Ou pour passer de la direction Ox à la direction OM^

a^. L'abscisse u, du point M, sur la droite Ou : cette ab^ scisse prend le nom de rayon vecteur.

Ces deux quantités^ a^ u^ s'appellent coordonnées po" laites. On peut, en les prenant toutes deux positives, exprimei' la position d'un point donné quelconque dans le plan ^ mais rien .n'empêche d'admettre aussi des coordonnées polaires négatives, et, moyennant cette convention, la position d'tm même point peut être exprimée par quatre systèmes équivalents de deux coordonnées. Exemple :

a==iao*^, («= 3oo°, |a = — 240**? la = — 60°, ,a^o"*,5, 1 II = — o",5, \u= o"*,5, |i# = — o^^jS.