Tangente à la spirale d'' Archimède

Soit M [fig- 61) le point de contact donné, M' un point voisin sur la spifale, PMN un arc de cercle ayant O pour centre, OP la direction initiale du rayon vecteur. Parla définition de la courbe on a OM' et OM proportionnels aux qngles M'OP et MOP, et par conséquent à PN et PM ; d'où

M'IN : arc MN : : OM : arc PM.

Soita ce dernier rapport indépendant de la distance M'N. A mesure que M' se rapproche de M, Tangle MNM' approche d'être droit; l'arc MN approche d'être égal à sa corde; dope le rapport a approche d'être lai tangente trigono* métrique de l'angle M'MN des deux: sécantes MS, MR. Mais ces deux sécantes approchent en même temps des tangentes , l'une MT à la spirale ; l'autre MU au cercle PMN. Donc a. est la tangente trigonométrique de l'angle TMU.

Si OT' est perpendiculaire sur OM, on a ,

-g;j^ = tangUMT=a; mais a=:--^pj^;

donc OT' qu'on appelle sons-tangente y est égale k l'arc PM.

233. Tangente à la cycloïde (157). SoitM (yî^. 62) le point de contact donné ; M' un point voisin sur la courbe 5