I. PRINCIPES DE LA STATIQUE. COMPOSITION DES FORCES

1. L’idée que l’on attache au mot force est celle d’une cause qui tend à mettre un corps en mouvement. Si le corps ne peut céder à celte action , parce qu’il est retenu par un obstacle qui s’oppose à son déplacement, l'effet de la force consiste alors dans la production d’un effort ou pression.

La notion de l’efïort ou pression est identique ayec celle du poids. Divers efforts, pressions ou poids, sont des quantités comparables entre elles , dont la considération a exigé l’etablissement d’une unité spéciale. Dans les calculs de statique, les nombres qui expriment les valeurs des forces représentent des unités de poids.

Les lois suivant lesquelles les forces se combinent

entre elles pour produire un eflort déterminé , ou se détruisent réciproquement , c’est-à-dire se font mutuellement équilibre , sont l’objet de la statique.

2. La considération des phénomènes d’équilibre , devenue l’objet d’une théorie mathématique , a nécessairement exigé plusieurs abstractions. Ainsi , dans les premières études , on ne considère pas la figure des corps , mais seulement les points auxquels les forces sont appliquées; on fait abstraction du poids propre des corps dû à l’action de la gravité; enfin on ne considère pas la propriété des corps solides de changer en partie de figure par l’eflet des efforts auxquels ils sont soumis. Les corps naturels sont remplacés par la conception purement mathématique d’un système de points matériels réunis par des lignes ou des plans parfaitement rigides et inextensibles , et quelquefois par des fils également inextensibles, mais parfaitement flexibles. De telles abstractions n’empêchent pas que la théorie dont il s’agit ne donne les lois véritables d’un ordre important de phénomènes, et ne devienne un guide nécessaire dans les travaux des arts.

3. Les principes de la statique sont fondés sur un petit nombre d’axiomes dont la vérité doit être admise comme une conséquence immédiate de l’observation des faits naturels. Lorsque plusieurs forces sont dirigées suivant une même ligne , l’effort quelles produisent est égal à la somme des eflorts qui seraient produits séparément par les forces agissant dans un sens , moins la somme des efforts qui seraient produits par les forces agissant dans le sens opposé. Une force peut être regardée comme appliquée

à un point quelconque de sa direction, la ligne suivant laquelle agit cette force étant supposée parfaitement rigide et inextensible. Lorsqu’un système de forces appliquées à plusieurs points est en équilibre , l’équilibre n’est pas troublé lorsque quelques-uns de ces points deviennent fixes. Deux systèmes en équilibre peuvent être superposés , c’est-à-dire qu’ayant placé l’un des systèmes sur l’autre, de manière à faire coïncider quelques-unes de leurs parties, on peut admettre que ces parties soient ensuite réunies et assujetties les unes aux autres : l’équilibre subsistera dans le nouveau système comme il subsistait séparément dans chacun de ceux qui ont servi à le former.

4. Il existe dans la statique plusieurs principes. c’est-à-dire plusieurs propositions primordiales qui peuvent être établies immédiatement, et servir de point de départ pour développer les vérités dont cette science se

compose.

Le principe du levier consiste en ce qu’une ligne inflexible horizontale étant supportée au milieu, et chargée aux extrémités de deux poids égaux , l°il y a équilibre ; 2" l'effort exercé sur le point d’appui est égal à la somme de deux poids. La première partie de cette proposition est évidente , mais on peut demander que la seconde partie soit démontrée. Pour y parvenir, on remarque que trois forces égales appliquées à un même point, et dirigées suivant trois rayons qui divisent le cercle en secteurs égaux, sont évidemmen* en équilibre. Soit maintenantla ligne horizontale AB {fi g 1). Traçons le parallélogramme ABCD , dont les angles sont égaux

au et au 6 :t

de la circonférence. Appliquons à chacun des

quatre angles de cette figure , et dans la direction des côtés, trois forces égales entre elles qui se feront réciproquement équilibre -, puis au milieu de la ligne AB quatre forces éga,es aux précédentes et opposées deux à deux. La figure étant considérée comme un plan rigide , le système sera en équilibre ; et si l’on supprime les forces qui se détruisent comme étant égales et opposées , il reste les forces qui doivent se faire équilibre conformément au principe du levier.

5- L’équilibre du levier, dans le cas où le point fixe n’est pas placé au milieu , se déduit immédiatement de la proposition précédente. En effet , soit une ligne horizontale chargée de poids uniformément distribués sur sa longueur, et supportée par un point fixe placé au milieu. Ce système sera en équilibre. 2 a étant la longueur de la ligne , prenons à l’une des extrémités une longueur 2 h. On pourra , sans détruire l’équilibre , réunir au milieu de chaque partie 2 h et 2 a — 2 h les poids dont elle est chargée , et l’on aura alors un levier dont les bras égaux à a — h et h supportent respectivement à leurs extrémités des poids proportionnels à h et a— h.

6. La proposition précédente s’étend facilement au cas où les deux bras du levier ne sont pas en ligne droite. En général , deux forces dirigées dans un même plan se font mutuellement équilibre autour d’un point fixe , lorsqu’elles sont entre elles en raison inverse des longueurs des perpendiculaires abaissées du point fixe sur leurs directions respectives. Le produit d’une force par la longueur de la perpendiculaire abaissée d’un point fixe sur sa direction est la mesure de l’action de cette

force pour faire tourner, le système autour du point fixe. C’est ce qu’on nomme le moment de la force.

7. Le principe du plan incliné consiste en ce qu’un poids étant placé sur un plan incliné à l’horizon, et retenu par une force dirigée parallèlement au plan , il y a équilibre lorsque le poids est à la force comme la longueur du plan est à sa hauteur. Ce principe a été démontré par Stevin en considérant une chaîne pesante sans fin placée sur un triangle solide qui repose sur sa base horizontale. Cette chaîne se maintient évidemment en repos. Or, la partie inférieure qui pend au-dessous de la base du triangle est elle-même en équilibre. Les deux parties qui reposent sur les deux côtés inclinés du triangle doivent donc faire équilibre l'une à l’autre; d’où l’on conclut la proposition énoncée.

8. La proposition précédente peut servir à démontrer la loi de l’équilibre du levier. Soiten effet un point matériel M placé sur le plan incliné AB(/?g\2) , et sollicité par la force verticale P et par la force Q dirigée dans le sens du plan. L’équilibre subsiste si ces forces sont entre elles dans le rapport des lignes AB, AC. Plaçons la ligne inflexible MD , perpendiculaire sur AB, et qui peut tourner autour du poiut D supposé fixe ; l’équilibre ne sera pas troublé. Supposons ensuite que l’on anéantisse le plan incliné; l’équilibre subsistera encore, car ce plan s’opposait seulement à ce que le point matériel ne pût se mouvoir dans toute autre direction que AB , et le même effet sera produitpar la verge MD. Or, lesforces P, Q agissent maintenant sur un levier dont le point fixe est en D , et leurs bras de levier respectifs sont les lignes DE et DM , dont le rapport est le même que celui

des lignes AC et AB , c’est-à-dire l’inverse du rapport des forces.

9. Le principe des moufles peut également servir de base aux théories de la statique. Un poids P étant soutenu par une moufle mobile à laquelle aboutissent n cordons parallèles entre eux, la force Q, appliquée

à l’extrémité du dernier cordon , est égale à — lorsque le système est en équilibre. Cette proposition résulte évidemment de ce que la tension du cordon doit être uniforme dans toute sa longueur.

10. Le principe du levier peut en être déduit de la manière suivante. Concevons que l’on ait appliqué sur la moufle le levier BAC (fig.S), dont le point fixe A est placé de manière que AB soit à AC dans le rapport de l’unité au nombre des cordons qui soutiennent le poids P, et admettons que les extrémités B, C du levier soient unies aux points correspondants du fil. La réunion des systèmes du levier et de la moufle formera un système composé , dans lequel les points B et C peuvent prendre les mêmes déplacements infini ment petits qu’ils prendraient si chaque système était seul. Donc si ch- .jue système est en équilibre, ou n’est pas en équilibre sous l’action de forces quelconques, le système composé sera également en équilibre, ou n’y sera pas, sous l’action des mêmes forces.

Cela posé , considérant le système composé auquel aucune force n’est appliquée , appliquons au point B deux forces égales et opposées agissant dans le sens du fil; et appliquons également au point C deux forces égales et opposées agissant dans le sens du fil , moindres que les

précédentes dans le rapport de l’unité au nombre des cordons delà moufle. Le système sera en équilibre, puisque l’on n’a ajouté que des forces qui se détruisent réciproquement. Mais puisque les deux forces tirant de haut en bas appliquées respectivementaux points B,C se font mutuellement équilibre au moyen de la moufle seule , on peut supprimer ces forces sans altérer l’équilibre subsistant. Donc les forces restantes tirant de bas en haut doivent alors se faire équilibre au moyen du levier seul , puisque la réunion de la moufle au levier ne pourrait établir l’équilibre s’il n’existait pas.

11. On peut, au moyen du principe du levier, composer deux forces parallèles , c’est-à-dire trouver une force résultante qui produise sur un système la même action que deux forces parallèles données. Soient deux forces parallèles P,Q agissant aux deux extrémités de la ligne rigide AB (fig.k). On conclut de ce qui précède que l’action de ces forces sera entièrement détruite si cette ligne est retenue par un point fixe C , placé de manière