XIX. Torsion (d'un cylindre cirealaire). Ooalomli

— La torsion est au glissement ce que la flexion est aux extensions et compressions des fibres. La résistance ou réaction élastique qui lui est propre n'est que celle qu'opposent ensemble les éléments d'une section à glisser devant les éléments correspondants d'une section voisine lors de leur rotation Tune devant l'autre, ou, ce qui revient au môme^ celle qu'opposent à glisser Tune contre l'autre les fibres primitivement droites qui ont ces éléments pour bases^ lorsqu'elles s'inclinent sur Taxe et se courbent pour se changer en hélices toutes du même pas. Tant qu'elle reste très- petite, sa réaction n'est nullement attribuable, comme Font pensé quelques auteurs, à la résistance à rallongement que prennent^ en se courbant ainsi, les fibres les plus éloignées de Taxe^ et à la contraction que doivent prendre simultanément l'axe et les fibres les plus voisines comme le remarque Young; car cette cause^ pour une torsion petite du premier ordre, ne développe^ comme il le prouve, qu'une résistance petite du second ordre et négligeable, et d'ailleurs proportionnelle au ctibe de l'angle do torsion^ ce qui n'est nullement conforme aux observations^ desquelles il résulte que la réaction est proportionnelle à cet angle lui-même (').

Les lignes matérielles dont l'allongement et raccourcissement peuvent être regardés comme engendrant la réaction de torsion sont plutôt celles qui forment, autour de Taxe, des hélices in-

(1) Annales des pools et chaussées, cahier de nofembre el diCQDbre 4856, e| ci-après, note du u° 156, § 45, p. ."89.

(*) Lecturoson natural rhilosopliy, volume I, p. 139.

HISTORIQUE. CXXiX

dÎDées à 45 degrés sur les fibres dans deux sens opposés (').

La torsion a été étudiée pour la première fois par Coulomb (*). Il ne considère que les cylindres à base circulaire; et un raisonnement simple lui montre que les moments, autour de leur axe, des forces qui les font tordre^ sont^ pour même matière^ proportionnels aux rotations par unité de longueur, et aux quatrièmes puissances des diamètres (F. note du n'* 156, § 60, p. 461).

Cest aussi ce qu'on trouve en supposant les résistances proportionnelles aux distances à Taxe^ et ce qu'on aurait généralement en supposant que les sections quelconques restent planes, car il en résulte que le moment de torsion est égal au produit G(I + r)6 du moment d'inertie I + 1' de la section autour de son centre (ou à la somme des moments 1, l' autour des deux axes principaux qui y passent) multiplié par la torsion 0 (l'angle de torsion pour T unité de longueur, estimé en arc d'un rayon=l) et par le même coefficient G qui sert pour la résistance au glissement.

On a cru quelque temps que cette sorte de résistance était exprimée par la même formule quelle que fût la forme de la seotion^ et que les points les plus éloignés de Taxe de torsion étaient ceux où résidait le plus grand danger de désagrégation et de commencement de rupture. Des recherches de M. Cauchy^ dont nous avons modifié et étendu les résultats, et dont nous parlerons aux n" XXXVI et suivants, ont appris qu'il n'en était pas ainsi à beaucoup près; ce qui vient de ce que pour toute autre forme du contour que le cercle les sections primitivement planes ne restent pas planes^ et qu'ainsi les glissements, toujours mesurés par les petites inclinaisons que prennent les fibres sur les noniiflîes aux éléments de ces sections, ne sont point proportionnels aux distances diverses des fibres à Taxe.

Nous y reviendrons après avoir donné (n** XXII et suiv.) rhistorique de la branche nouvelle de la Mécanique appelée la théorie générale de l'élasticité.

(<; Voj. ci-iprés, s 3 <lel> note du d« 456.

{*) Recberebet Ibériques el expérimeDUlet lur It force de tonioo el Péjasiiciié des fils de inélil, lu eo 1784. Aeidémie des sciences, TOlume de 1784, publié eo 1787.

XX. Coarbes élastiques à doaMe coarlraire^ et torsion aiFee ileiKlon. liag^ran^e. BInet. Poissoii^ H^aiitsei^ ete. — Nous pouvons exposer maintenant ce qui a été fait pour .déterminer les courbes Hastiqneê à double courbure,

Lagrange en a donné des équations différentielles du second ordre (^)y mais incomplètes parce que, se bornant à généraliser Inapplication du principe de Jacques Bernoulli, il a basé l'établissement de ces équations sur la supposition implicite que les forces ne s'exerçaient que dans les plans osculateurs à la fibre moyenne de la tige fléchie, ou qu'elles n'avaient de moments qu'autour des normales à ces plans.

Binet a signalé^ en i81/i ('), l'omission du moment, qui existe généralement aussi, autour de la tangente à cette fibre, c'est-àdire du moment ou du couple composant qui fait tordre et qui développe une réaction de torsion, dont est capable toute tige élastique capable de résister à la flexion; et Poisson, en 1816, dans la Correspondance de l'École polytechnique (') et ensuite dans rédition de 1833 de son traité de Mécanique (^), a ajouté pour y avoir égard, à chacune des trois équations de Lagrange, un terme égal à ce moment de torsion multiplié par le cosinus d'un des angles que la tangente à la fibre moyenne fait avec les trois coordonnées (note page suivante).

Mais, bien que présentées comme applicables au cas le plus général, les trois équations difiérentielles ainsi construites ne conviennent réellement qu'à celui où la tige fléchie était primiti-

(1) Mécanique antdyUque, V pariie, aecUoD V, $ UI, trlide 48 el surtout 60.

(*; Sur Vexprettion analytique de Velasticité et de la raideur de* amrbei à double courbure; mémoire lu le 2S août 1814, et inséré au Journal deTËcole polyiechniquo, tome X ou 40* cahier, 4815, p. 418. Il y donne des équations oil outrent des forces s'opposent aux changements respectifs de la longueur, do la courbure des tiges, et de l'inclinaison mutuelle de leurs plans osculateurs.dl y fait, le premier, la rem;irque que l'analyse de Lagrange ne saurait s'appliquer à un ressort en hélice, car la torsion est auUnt en jeu que la fleiion dans aa résistance élastique A une force qui l'allonge ou raccourcit.

(3) Sur les lignes élasUqueê à double courbure; tome ]l|, n" 111, de Janvier 1846, p. 355-360.

(^) Toroel, 0-346 i 348.

HISTORIQUE. CXXXJ

vement rectiligne, et où %i\ section a imoTorme isotrope (no XVI ) ou dont tous les moments d'inertie sont principaux et égaux autour de droites tracées dans son plan par son centre (comme les sections circulaires, carrées, etc.). Dans tout autre cas, c'est-à-dire quand la tige était primitivement courbe, ou bien quand ses sections sont hétérotropes (comme le rectangle, l'ellipse etc.), les forces ont nécessairement, lorsque l'équilibre est établi, un troisième wunnent ou couple composant, s'exerçant autour de la droite qui est perpendiculaire à la fois à la tangente à l'axe et à la normale à son plan osculateur, c'est-^-dire autour du rayon de courbure de Taxe ou fibre moyenne courbe de la tige fléchie et tordue (^);

{^) En eOéi, quand une Mga naUireilemeDl droite i iine fectioo de l'uoe def foripet tMoiropeSy qui sont les seules pour lesquelles le plan de flexion coïncide •fec le plan dn noment des forées qui tendent à fléchir (n« XVI ei-dessus), si l'on déeoapoae le moment de toutes les forces autour d'qn point quelconque de l'aie. de la tige, en deux autres, dont l'un s'exerce autour de cet axe, l'autre moment, qui sera te plus grand autour de droites perpendiculaires au même aie, opérera «no flexion dam* stm plan même, et ce plan se trouvera être ainsi, en cet endroit, !• pian osculateur de la courbe de l'axe fléclii. Mais il en sera autrement si l'axe de la tige avait primitivement une courbure, car elle se composera en chaque poiqt sTee la courbure nouvelle imprimée dans un plan généralement différent; ou bien II, d'après la forme hétérotrope de la section, la courbure imprimée l'est dans un autre plan que celui de ce deuxième moment qui la produit. Si nous représentons par Ux, Uy, Ms les moments, autour des parallèles aux coordonnées ar, y,z menées après la flexion par un point (x, y, z) de l'aie ou de la fibre moyenne, des forées qui agissent depuis ee point Jusqu'à une des deux extrémités de la • tige- par Un, Mp>M|, les momenu des mêmes forces 4* autour de la normale n au pian osculatenr, %' autour au rayon de courbure p, 3** autour de l'élément ds de rare a de la courbe, noua aurons, en appelant X, Y, Z les projections, sur les plans yz, xx, xy, du jHirallélogramme de anUingenct formé lur deux éléments consécutifs ds, da + d*a, c'est-à-dire en faisant

dyd^z — dzdHf = X, dzd^x — dxcPz = Y, dx(fly — dyd'x = Z,

et «raprès les valeurs connues des cosinus des angles faits avec les trois coordonnées par n^p eids:

oX P dx dx

d<3 ^ dB d» 9 d8

da» "^ d» ds P d»

cZ P dz dz

ds^ ^ ds ds 9^ ds Quand la tige élastique esi priniiiivemeot droite et quand sa section est Iso-

CXXXiJ BÊSISTANCE D£S SOLIDES.

et rillustre géomètre omet de tenijr compte de ce moment. Poisson arrive en conséquence à ce résultat, donné comme un théorème général : a Que le moment de torsion est constant d'un bout à Tautre de la tige en équilibre d, ou, plutôt^ de chaque portion de cette tige où il n'y a que des forces pouvant être censées appliquées à son axe ou fibre moyenne (comme la pesanteur], ou^autrementdityde chaqueportion comprise entre des sections où peuvent s'ext rcer des forces dont la résultante est appliquée à une distance iiniede cet axe par l'intermédiaire d'un bras de levier. Mais ce théorème n'est vrai que dans le même cas particulier de tige primitivement droite et de section isotrope ou d'égale inertie en tous sens, pour lequel les équations de Poisson sont complètes et le moment autour du rayon de courbure est nul à l'état d'équilibre définitif. Pour tout autre cas^ le moment de torsion est variable; sa dérivée , par rapporta Pare de la courbe d'axe y est égale au quotient ^ par le rayon de cour* bure après la flexion ^ du ?noment des forces autour de ce rayon; théorème aperçu par Wantzel en lisant une de nos notes, et qui doit remplacer celui de Poisson, pour chaque portion de tige définie et limitée comme on vient de dire (').

irope ou d'égale ineriie, la fleiion n'a lieu, comme on vient de dire, que dans le

plan du plus graud moment dei Torccfi autour des diverses perpendiculaires i son

axe ou i sa Ubre moyenne; en sorte que Mp = o ; et il Tant effacer les seconds

termes des premiers membres de ces trois équations, qui ne sont alors autre cbosif,

aux notations près, que les trois équations de Poisson, numérotées (1) i l'articie

de la Correspondance, et (6) i la fin du n** 317 du Traité de Mécanique, car M,

est bien ce qu'il appelle le moment de torsion. Mais les termes en Mp subsistunl

dans tous les autres cas, et devraient fl^jurer dans les équations que uous citons,

prcseniées par Hnisson comme générales.

dx du dz

(1) En effet, on a le moment de torsion M, = Mr ^ + M^ ~- -f Mi -- (no-

ds ds as

talions comme tout à l'heure), d'où

dx dij . rf^ .

cfM. = M.rrf -- -{- Uud -f •\- M,rf --■ + ds ds ds

. dx du dz

ds ds ds

1.0 premier trinôme du second membre, muUipliè par -^, eft égal à M., car

HISTORIQUE. CWXiij

XXL Suite. MUie en eompte da troinlèine ment. Déplacement angulaire dn rayon de eonr- Imre. — Pour établir des équations générales et complètes de l'équilibre des tiges élastiques sur lesquelles agissent des forces extérieures, et qui affectaient avant cette action ou qui affectent maintenant une forme courbe non plane, il faut tenir compte de ce que les forces peuvent avoir, après la déformation éprouvée, le troisième moment dont on a parlé, qui tend à faire tourner une portion de la tige par rapport à l'autre portion autour du rayon de courbure de sa fibre moyenne au point où elles se joignent; moment dont l'existence peut provenir^ avons-nous dit^ ou de la courbure primitive cette fibre, ou de Tinégale flexibilité de la tige autour de ses diverses lignes normales, qui lient elle-u)éme à la forme non isotrope ou d'inégale inertie des sections transversales.

Alors les trois équations d'équilibre de rotation qu'il convient de poser comme les plus simples, sont celles où Ton exprime les moments des forces autour de la tangente à la fibre moyenne en un point quelconque et autour des deux axes principaux d'inertie de la section au même point Comme les rayons de courbure font généralement avec les axes d'inertie, après la déformation de la tige, des angles un peu différents de ceux qu'ils faisaient primitivement, ces rayons ont éprouvé, sur le plan des sections, un déplacement angulaire , ou, ce qui revient

p -T — -j- — représente les tiois cosinus des angles faili par le rayon p areo o dt

les ar, y, i; et le second trindme est nul, comae on le reconnaît facilement arec

poisson par l'analjse (Mécanique, 4833, n* 348) ou afee M. Bertrand par un rai-

flonoem^nt synthétique (note III de la nouTelle édition de Lagrange), pour chacune

éet portions de tige limitées comme on a dit, ou qui ne sont sollicitées qu'à

leurs extrémités p<r des forces autres que celles dont les résultantes partielles

coupent Taxe courbe. Donc

ds p

relation donnée pour la première fois aui Comptes rendus, 46 Juillet 4844. t. XIX, p 489, dans une Note dont nous arions communiqué le contenu i Wantxcl, qui, le jour même, y a ajouté ce théorème nouTcau.

au môme, les sections ont changé d'orientation ou d'azinmt par rapport aux plans osculateurs qui les coupent suivant ces mêmes rayons. Ce déplacement angulaire est même lié aux deux autres éléments sur lesquels nous venons d'appeler l'attention, car il a toujours lieu quand les forces ont un moment autour du rayon de courbure et quand la tige de forme non plane a une section non isotrope (^).

Ce même déplacement angulaire relatif des sections et des rayons de courbure correspondants a autant d'influence sur la flexion d'une tige que le changement de sa première courbure, seul élément considéré par Lagrange^ et sur la torsion que le changement de sa cambrure ou seconde courbure, ou des inclinaisons mutuelles de ses pians osculateurs, introduit par Binet.

La torsion, en efiet, dans l'étendue d'un élément de la fibre moyenne, ou la rotation relative» autour de cet élément^ des deux sections qu'il sépare^ se compose de deux parties^ dont l'une est l'augmentation qu'a éprouvée l'angle de camÙ9iire

(*) On t'en rend compte dairemenl par deux eiemple^ SoU d'abord «a demianneau horiionlal ou une lige élastique mince dont la fibre moyenne eai un

demi-cercle ABA', encastrée et serrée solldement à sea extrémités A, A', M sollldtée à son milieu D par nn poids P. U courbe à double courbure ARjA' dani laquelle se cbaoge cette fibre moyenne aura, auprès de Tencastrement A od A', pour projection (oriionlale le demi-oerde lui-même, et pour projection snr un plan rertf cal perpendiculaire au dlamAtre AOA\ la courbe suivant laquelle flécMrait «m lige droite boriioniale de nsème sediM et d'une longueur OB, tollicilée an boni par la moitié du poida P. Son eenlM de courbure, pour le point A, aéra 0'\ pied de L perpendiculaire abaissée de A tnr la ligne de Jonction 00' des centres de courbure de ses deux projections, car le carré de l'inverse de AO" est égal A la somme des carrés des inverses de AO et AO'. Il y a donc eu un déplacement angulaire OAO" du rayon de courbure, et il est dû i ce que la force P a im moment autour de ce rayon AO devenu AO", indépendamment, dans ce eu, de It forme de la section, qui pouvait être circulaire aussi bien que rectangulaire. En second lieu, aupposons qu*une pièce droite trés-mioce, telle qu'une lame de

HISTOBIQUB. CXXXV

formé par les ckmx plans oscillateurs de la fibre aux extrémités de cet élément, et dont Tautre est la différence» aux deux mêmes extrémités, des déplacements angulaires qu'ont éprouvés les traces de ces plans sur les sections. Et, dans la même étendue, la flexion autour de chacun des deux axes principaux d'inertie d'une des deux sections voisines, a pour mesure l'augmentation éprouvée par Tangle de contingence de la projection de la fibre moyenne sur un plan perpendiculaire à cet axe; or celte augmentation dépend nécessairement de Tangle nouveau que fait le plan en question avec le plan osculateur qui contient les deux éléments consécutifs de la fibre qu'on y projette. La flexion dépend donc aussi du déplacement angu-

fer-Uaoe dont la fibre moyenoe horizontale le projette en 0, et dont les faces sont inclinèei i l'horizon, toit sollicitée, i rezlrëmité opposée i celle où elle est supposée encastrée, par nna Force DP ferticale et agissant par conséquent dans un sens oblique aux côtés de la section àbcd. Cette fibre fléchira, non pas dans le plan vertical de sollicitation se projeunt suivant DP, mais dans un plan oblique se projetant suivant D0| presque perpendiculaire aux grands côtés a6, dc^ d'après ce qu'on a dit page txi\ ou note du n" 83 ci-après) pour la flexion plane déviét. Or, supposons qu'au lieu d'une lame droite on ait une lame primitivement courbe dont la section encastrée soit toujours abcd^el dont la fibre moyenne soit une courbe plane se projetant suivant la verticale OP, ayant sa tangente horizontale en 0 ; le rayon de conrburo au même point 0 sera, après la flexion, dirigé suivant une ligne oblique telle que 00|. Il aura doncéprou- ▼é, sur le plan de la 8ecti«Ba&cd,iifi déplacement an^uluirt POO^quisefa dû, dans cet exemple, non au moment M , mais i ce que la section n'est pas ce que nous appelons isotrope, ou iila grande inégalité de ses deux moments d'inertieprincipaux. Bb génial, si t est l'angle dn déplacement do rayon snr nne section, si I et I' sont tes dent ttiomenis d'Inertie princlpaiix, e l'angle primitif et par eonsèqoeDt «4- e l'angle ultérieur du rayon de courbure avec l'axe du moment 1', et B le module d'élasticité, on troufe

,in .=|[Mp ('-îp + ^) -M..lneco.e(l-l)].

expression nontrant bien comment le déplaeeaiettt angulaire e dépend i la fols da Bornent M autour du rayon de courbure^ et de rinégalité de I et V, qui «institue

ce que noua appelons l'hétérotrople de U section.

CXXXVJ UÉSISTANCE DES SOLIDES.

laire qu'a pu subir^ sur la section, la trace du plan osculateur; c'est-à-dire le rayon de la courbe non projetée {*).

Il en résulte qu'une tige courbe peut éprouver une flexion ou une torsion considérable sans que ses courbures ou sans que la forme de la fibre moyenne changent aucunement. Il suflSt pour cela que ses sections tournent par rapport aux plans osculateurs, ou que ses rayons de courbure ne passent pas finalement par les mêmes points des sections que primitivement (').

Toute analyse dans laquelle on voudra embrasser le cas le plus général de double courbure et de sections quelconques, et

(1) Si e est le déplacement angulaire, ou ai, e étant l'angle fait a?oc un des deux axes principaux par le rayon de courbure primitif po, e-\-t est Tangle que fait

cos e cos (e 4- e)

arec le même axe principal le rayon nouteau p, l'on a «fa et ^ dt

pour les angles de contingence primitif et ultérieur de la projection de la fibre moyenne sur le plan passant par œt axe a'inerlie et par l'élément ds de li flbre; en sorte que la flexion autour de Vautre axe principal de la section corr«apoadanle, rapportée i l'unité de distance, est

cos (g + s) cose

et la flexion autour du premier axe est, de même

sin(f-{-E) , iïne

ce qui donne

Scose 4 ■1

PPo ' Po«

pour la flexion résnlunte, égale i la racine de la somme de leurs carrés, et non pas comme l'ont cru d'illustres auteurs.

P Po

Et, quant i la torsion, ou à la rotation d'une section devant la précédente aatoor de la tangente, rapportée i l'unité de leur distance ds, elle est, d'après ce que nous avons dit des deux parties dont elle se compose

4 1 de

x^'Z'^di'

et non pas seulement ; t/oet t/ étant les rayons de cambrure afanlel après

ds ds la déformation, ou — , — étant les angles primitif et ultérieur des deux plans osco-

lateurs en deux points voisins distants de ds,

(*) Par exemple, si Ton flécbit une tige en arc de cercle ABC de manière i Utrani-

HISTORIQUE. CXXXVij

OÙ l'on fera entrer les rayons de première et de seconde courbure, devra donc contenir aussi le déplacement angulaire dont nous parlons.

On ne pourra se passer de sa considération pour obtenir la forme finale de la fibre moyenne que dans les cas où il sera possible de se passer aussi de la considération des courbures, et de déterminer cumulativement ce qui vient à la fois de ces deux sortes d'éléments, à savoir les rotations^ les unes relativement aux autres, des sections^ ou plutôt de leurs éléments centraux puisqu'elles ne restent généralement pas planes.

C'est heureusement ce qui peut se faire dans le cas le plus usuels celui des très-petits déplacements, où Tétat nouveau-de la tige est peu différent de Tétat ancien , si ces déplacements n'influent pas sensiblement sur les grandeurs des bras de levier des forces qui font fléchir. Nous sommes parvenu, en 1843, à la suite de longs calculs où s'est trouvée comprise l'intégration de trois équations différentielles simultanées du troisième ordre non linéaires (^), à trois formules très-simples fournissant finalement^ par des quadratures, les petits déplacements des points de la fibre moyenne d'une tige de forme quel-

former en un second arc A'BC' de même rayon et ayant, avec le même point mi- ^. „ lieu B et la même tangente en ce point, «a cour-

~ bure dirigée en sens opposé, et si, en maintenant la tige dans son état nouveau, on la ramène en ABC par une demi -révolution autour de la tangenlc, elle sera restée fléchie, car ses fibres primitives les plus ^ longues seront devenues les plus courtes et récipro- ^ quement, et cependant sa fibre moyenne sera revenue i sa situation première. Et le même effet de fleiiun aurait pu être obtenu sans changer celte situation ; il sufiisait pour cela de faire tourner simultanément les deux sections extrêmes A,C d'une demi -circonférence autour de leurs centres, en contenant le« sections intermédiaires entre des arrêts qui les empêchent de s'écarter latéralement sans les empêcher de tourner. Cette flexion tient i ce qu'il y a eu déplacement angulaire relatif des rayons et des sections, et il s'élève dans ce cas à deux angles droits.

On obtiendra de même une torsion, aussi considérable qu'on voudra, sans aucun changement de la seconde courbure ou des inclinaisons mutuelles des plans osculateurs, en fixant une des deux sections extrêmes d'une lige i double courbure ainsi contenue latéralement, et en faisant tourner, autour de son centre, l'autre section extrême, qui aura ainsi changé d'orientation ou d'aximut, comme toutes les sections Intermédiaires, par rapport aux plans oscnlateurs ou aux rayons de première courbure.

0) Mém. du 30 octobre 4843, Compte» rendu», t. XVII, p. 969.

CUXViiJ RÉSISTANCE DES SOLIDES.

conque ('j; elles ne contiennent plus ces angles et ces rayons que nous avions fait entrer dans notre analyse pour y arriver. Elles comprennent et redonnent celles de Navier relatives aux pièces courbes planes quand on néglige les extensions et les glissements dont il ne tenait pas compte (*) ; et nous les avons appliquées à divers exemples de flexion et torsion d'un anneau par des forces perpendiculaires à son plan, et d'un ressort en hélice par des forces parallèles à son axe (').

Nous avons dit, alors, qu'elles pouvaient être vérifiées et établies directement, en remarquant que leurs divers termes ^présentent de petites rotations des éléments de la fibre moyenne autour des axes coordonnés en vertu des forces extérieures. Cet établissement direct a été effectué par M. Bresse^ qui a considéré et composé ensemble les effets des rotations relatives^ non de ces éléments linéaires^ mais des sections auxquelles ils étaient primitivement normaux (*), comme il avait fait pour la flexion plane dans son ouvrage sur les pièces courbes. Ses formules reviennent aux nôtres de 1843, car on les obtient immédiatement de celles-ci si Ton fait une intégration par parties et si Ton compose ensemble en une flexion unique^ autour d'un axe à déterminer^ les deux flexions que nous préférons toujours prendre séparément autour de deux axes connus, savoir les axes principaux d'inertie des sections. On doit à M. Bresse d'autres formules basées sur le môme principe pour évaluer directement les rotations totales éprouvées par une quelconque des sections ('), ce qui permet ordinairement d*exprimer les conditions d'encastrementy de raccordement^ etc.^ et de trouver la situation finale des points de la tige hors de sa fibre moyenne, d'une manière plus simple que par la considération, toujours sûre, des deux courbures et du déplacement angulaire des rayons de la première sur les sections.

Mais lorsque les déplacements des points de la tige sont

(i} Uèm. du 6 noT. 1843, et note du 4" JuUleH844. Comptes rendue^ l, XVU, p. 4024, et XIX, p. 46.

(*)Mèine mémoire de 4843, p. 4093. (>) Idem, p. 4096 i 4034.

(^) Cours de Méc.appl. Rèsisl. dos malcriaui. 4859, p. 86.

(■) Idem^ p. 94. Les formules de M. Bresse soni A modilier en ce qui regarde la lorsiou quand les seclionsne sont pas circulaires; ei, tu la courbure quelMiecUons prenneni, les routions obtenues sont leuleneot eelles de lears élèoieiiU ceairatx

HISTORIQUE. ClXXix

grands^ en sorte que sa forme change considérablement^ comme dans les cas de simple courbure traités par Euler et déjà par Jacques Bernoulli (ce qui peut avoir lieu sans altération de l'élasticité si la tige est mince), les rotations de ses diverses tranches ou sections successives ne peuvent plus être composées ensemble par simple addition, et il faut renoncer à cette simplifica«* tion et aux formules qui en résultent, qui cessent çncore d'être applicables lorsque les déplacements, bien que petits, ont une grande influence sur les bras de levier, comme dans le cas des pièces chargées debout ou très-obliquement, et qui peuvent être en même temps sollicitées par un couple qui donne une dolible courbure. Le problème de la détermination des changements sensibles que peut subir ainsi la forme des tiges a été ramené aux quadratures par M. Binet, et ensuite plus simplement par M. Wautzel, mais seulement pour le cas de tiges primitivement droites à section isotrope, où nous avons dit que les trois équations différentielles se réduisent à celles de Poisson, et en supposant que les forces n'agissent qu'aux extrémités et que la section soit constante. L'intégration dépend alors des fonctions elliptiques (^). On peut aussi résoudre le problème, et d'une manière simple, quand la tige, ayant une section même non isotrope, mais constante, a pour forme une hélice primitivement et finalement (') ; et il serait résoluble sans doute encore, en tirant parti d'une remarque de M. Kirchhoff, pour divers cas où la forme primitive serait une de celles dans lesquelles une tige droite à section constante et isotrope est changée par

0) U note de M. Btnet te troure aux Compter rendus, 47 Juin 48U, t. XVUI, p. 4445. Il exprimait les incUnaisont de la tangente par des fonctions elliptiques, et les coordonnées par des quadratures plus compliquées. Mais Wanteei, le 34 du même mois (idem, p. 4497], en prenant pour axe d'une des coordonnées la résulunte des forces, simplifle et ramène tout aux fonctions ellipii(|ues, même qoand \\j a/avec la résultante, un couple perpendiculaire, qu'il a rétabli sur une obserration de M. Binet. (Voir aussi la note de M. Bertrand i la nourelle édition de U Mécanique tinalff tique), l\ serait curieux d'étudier les intégrales, réduites au besoin en série, ut d'en tirer un classement des courbes élastiques é double courbure prorenant d'une tige primitiTement droite et isotrope, comme a fait Euler pour les courbe» planes.

(>) Comptes rendue, 6 ooTembrs 4843, t. XVII, p. 40)9, et surtout 45 juillet 1844, t. XIX, p. 486.

GXl BÊSISTANCE DES SOLIDES.

des forces qui agissent à ses extrémités (^]. Od ramène encore aux quadratures le cas d'une tige primitivement droite à section isotrope, mais variable graduellement, sollicitée seulement par des couples qui coupent sa fibre moyenne primitive sous un angle constant, ce qui embrasse le cas plus particulier d'une tige droite à section constante sollicitée par des couples à ses extrémités seulement^ et pour lequel Wanlzel a trouvé que la forme finale est une hélice; ce qui a également lieu si la section et le couple variables se trouvent dans un rapport tel que le moment de torsion soit constant. Ce résultat généralise celui d'Euler relatif aux tiges droites, quMi a reconnues prendre constamment la forme d'un arc de cercle sous Faction d'un couple quand la courbe dans laquelle il les change est plane.

Pour les cas de déformation considérable que nous venons d'énumérer, la forme définitive de la fibre moyenne peut être trouvée sans considérer l'orientation ou l'azimut des sections sur les plans osculateurs quand la tige n'est encastrée qu'en un seul endroit; mais il faut la considérer si la tige est assujettie en un second point où la section doive observer, comme à celui d'encastrement, une certaine polarité, ainsi qu'il arriverait si une tige à section carrée devait^ quelque part, passer par un trou carré de même dimension que celte section. Et il faut déterminer cette rotation des sections de toute manière pour connaître ce que deviennent les points hors de la fibre moyenne, ou avoir l'état final complet de la tige et pouvoir calculer sa résistance.

(^) U. Kircbhoff remarque, en effet, qu'alors on p<ut faire subir i la lige une première déformation qui la rectifie, et partir de lé pour arrirer i la foitM

floale. (Ucbcr das Gleichgewicht , Sur ViquUibrt et le mouvement d'une tige

infiniment mince, au Journal de Crelle, t. LVI, p. 308; et t. j4pp, compL p. 846).

Le même illustre professeur, i la suite d'une analyse sur laquelle nous rerieadrons au n" XLI, qui offre plusieurs points d'analogie a?ec celle du problème de Il rotation d'un corps solide pesant autour d'un point fixe (voir V Appendice complémentaire ci-après, p. 848) a remarqué que le problème statique de l'équilibre d'une tige mince se rèsolralt dans les mêmes cas que le problème dynamique, en remplaçant l'élément dt du temps par l'élément da de la fibre moyeuDe de la tige, et deux des moments d'inertie principaux du corps par les mooieBU d'ioertic principaux des sections de la tige, comme le problème dynamique ne se résout que quand le solide est de rcrolution, le problème statique ne se fèMttdrait par cette analogie que lorsque la section a ses deux moments d'inertie égaux, c'est-à-dire dans le cas traité en 1844 par Binet et Wanttel.

HISTORIQUE. CXlj

XXII. Mécanique moléciilalre. IVeivion. BoscoriéÊk. Clairant. Ijaplaee. Poisson et Mavier (pour la ^ PLAQUE ÉLASTIQUE d*aboiid). — Maîs à toutes ces recherches fondées ' sur des hypothèses dont rien n'avait justifié encore l'approximation^ et dont plusieurs même sont entachées d*erreurs heurausement sans influence ordinairement quant aux flexions^ devait succéder un jour quelque chose de plus exact et de plus en rapport avec la manière dont la mécanique s'est constituée comme science ^^om^/rt^z/e, ou intimement liée à celle de l'étendue.

Longtemps elle ne s'est occupée que de poids ou d'efforts agissant d'une manière un peu vague sur les parties de divers appareils. Mais, plus tard, tout y fut mathématiquement déterminé : les efforts complexes furent géométriquement décomposés et remplacés par des forces partielles ou composantes ; chaque force partielle eut une ligne unique pour direction; elle eut par conséquent un point d'application ou sur lequel elle agil^ et la doctrine de l'action au seul contact venant à perdre faveur et à céder laplace^ sous l'empire des faits^ à celle de l'action à distance que les anciens avaient déjà entrevue, chaque force eut nécessairement aussi un point dont elle émane ou dont elle tend à rapprocher ou éloigner l'autre. Les forces naturelles n'agissent en effet sur les corps que par d'autres corps. On ne juge même que l'un d'eux commence ou cesse d'éprouver telle ou telle action qu'eu voyant d'autres corps le presser, le heurter, le quitter, en un mot changer de position par rapport à lui ; en sorte que, dans l'ordre matériel, l'idée d'une action déterminée sur un point est pour nous inséparable de l'idée de situation relative, ou de distances à d'autres points (^).

(^) Ce n'est pas ici le lieu de développer la remarque que la loi (Tinertie, ainsi eiprimée : a la viiesse possédée par un corps ne change que quand une cause étrangère vient produire son changement,» ne fait qu'exprimer le principe de causalité^ ou, ce principe ébnt admi^, que cetle identité; c la vitesse De change que quand elle chaoge; » à moins qu'on ne Tasse consister ce que cet énoncé a d'essentiel dans la qualité ^'étrangère exigée' pour la cause. Or, cette cause étrangère survenue no peut être, pour nos sens, ou hors des profondeurs do la métaphysique, fu*un changement de iituation d'autres corps relativement à celui dont nous nous occupons. Les changements de vitesse, ou ce qu'on appelle aujourd'hui les accélérations f cITets sensibles des (orçes que la science moderne a

CXli BÊSISTANGE DES SOUDES.

Et Newton ayant appuyé de preuves le principes de Tégalité et de ropposition directe d'une réaction à toute action, tous les phénomènes du monde physique furent désormais expliqués par des attractions et répulsions mutuelles de points matériels s^exerçant dans les directions de leurs lignes de jonction deux à deuXy avec des intensités et un sens dépendant des distances qm les séparent; car il est bien manifeste que l'action n'a pas la même grandeur quand ils sont éloignés que quand ils sont proches, que les très-petits changements de la distance n'en produisent que de très-petits aussi dans cette grandeur ou intensité, enfin que les points très-voisins, tels que ceux qui semblent contigus, se repoussent quand on les approche davantage eu les pressant Tun vers l'autre^ et s'attirent ou s'entraînent mutuellement, lorsqu'ils font partie d*un même ensemble et qu'on fait effort pour les écarter. Les liaisons mêmes des diverses parties d'un corps devaient être finalement ramenées à de pareilles forces, qu'on était au reste obligé toujours de leur substituer quand il s'agissait d'exposer la mécanique des systèmes. Dès lors les abstractions purent être bannies, et Ton conçut mieux ce qu'il fallait entendre par la dureté, l'impénétrabilité^ etc., et, aussi, par ces forces fictives appelées des résultantes de forces non concourantes ou appliquées à des points différents d'un même système de points.

Vainement cette grande loi des actions réciproques fonctions continues des distances est-elle contestée de temps en temps par des auteurs qui veulent repousser quelques-unes de ses conséquences. La rejeter nous semble supprimer la mécanique en tant que science mathématique, et tomber inévitablement dans des conti*adictions, car pour peu qu'on sorte du domaine de Tempirisme pur et qu'on présente quelque théorie, on l'invoque toujours, au moins tacitement, qu'on s'en aperçoive ou non [voyez Appendice V) ; et, ici comme toujours, le scepticisme embrassé systématiquement conduit à un dogmatisme plus arbitraire que celui qu'on a voulu éluder.

conlinué de Taire iotcrreDir dans tes calculs de* effets, dépeodeDt donc des dls- UDces muiuelles des poids des corps; en sorle que la loi liiToqiiée par ooui reviendrai l à celle d'inerlie, que tout le monde invoque.

HISTORIQUE. CXllfj

Newton, après Tavoir merveilleusement appliquée aux mouvements des corps célestes, que de grandes distances séparent, a indiqué son extension aux dernières particules situées à des distances mutuelles imperceptibles, comme pouvant rendre compte des phénomènes terrestres^ tels que les combinaisons chimiques, la cohésion, la capillarité ('), enfin la réflexion et la réfraction de la lumière ('); et, dans deux passages ('), il parle du changement des attractions en répulsions^ mais sans dire dans quelle circonstance ce changement peut avoir lieu.

En 4743, un physicien nommé Gourn Knight, cité par son compatriote Robison (^), faisant revivre cette grande idée^ tenta d'expliquer la cohésion, le magnétisme, Pélectricité, etc., par des forces d'attraction entre certains atomes en y joignant des forces de répulsion entre d'autres.

Mais^ ainsi que le même Robison le reconnaît^ ce fut le cé<lèbieP. Boscovich qui, eu. 1755^ donna sa vraie forme à cette dualité de causes, prise comme base des explications ("). Il y fut conduit par ses réflexions sur la loi de continuité, qui se trouvait mise en cause dans la dispute sur les forces vives et sur la communication du mouvement par le choc. Dès 1745^ il disait {*) que la force répuhive^ prouvée par Télasticité et les vibrations^ s'oppose à la contiguïté des particules des corps^ etc., et son observation intelligente des faits l'amenait à professer qu'il n'y a pas^ dans la nature, de corps rigide, ni de verge inflexible ou inextensible, ni d'appui absolument fixe, ni de force agissant instantanément, pas plus que de force simplement ré-

(') Oplique, Question XXXI e( dernière.

(^} Principes, livre I, U' seclion, propositions XCIV i XOVIII.

(S) Optique, même Question ; p. S69 et 679-584 de la traduction de Coste, in-4% deuxième édition, 471).

(*) J System ofmechanical Philosophy. Edinburgh, 4822, n'-SÔî, t. I, p. 266.

(S) De lege virium in natiird exUlentium duterialio, liabila in collegio romano t patribus Soc. Jesu, 4 septerobris 47S6. Et ensuite : Phiiosophia natu^ ralis theoria ad unicam le§em virium in naturd exiêlentium reducta, 4" édition. Vienne, 1758 et 2% Venise, 4 763.

(^) De viribus vivis dissertation au tome II' des Commentaires De Bononienti scieniiarum et artium instituio atque academtâ, p. 389. Il l'eiposa plus amplement en 4748 et en 4754 dans ses dissertations De lumine et De contintntnttM leye et ejuê cmueetarOê,

GXliV RÉSISTANCE DES SOUDES.

sistante et non motrice, s'exerçant au contact; que les vitesses ne s'acquièrent qu'avec continuité et par degrés insensibles. D'où il déduisit le premier et soutint fortement que les points matériels envisagés deux à deux devaient tous être doués d'attraction pour certaine distance et de répulsion pour d'autres» ces distances passant interinédiaireinent par une ou plusieurs grandeurs pour lesquelles il y a équilibre ou action nulle, et que la répulsion croît indéfiniment pour les distances les plus petites, de manière à devenir insurmontable, et à s'opposer à tout contact entre points matériels, ce qui est le vrai sens à attribuer à V impénétrabilité.

On peut combattre son opinion de l'unité d'espèce des atomes, ainsi que celle de la pluralité de leurs états ou distances d'équilibre, c est-à-dire des intersections (et il en propose sept), par Taxe des abscisses ou des distances, do la courbe dont les in* tensités des actions sont les ordonnées, et qui a pour asymptotes les deux axes coordonnés des disUmces et des actions. On peut aussi ajourner, jusqu'à ce qu'on y soit logiquement contraint^ son acquiescement à Vinétendue des dernières piirticules, ou à la non -divisibilité géométrique de la matière à l'infini, bien que cette doctrine ne répugne point à la raison et ne puisse être repoussée que par l'imagination temporairement, car elle n'anéantit aucunement le monde matériel. Ces trois points étant écartés ou réservés, le système des attractions et répulsions suivant les distances, mis ei^ lumière par Boscovich, reste toujours comme étant le seul qui se concilie avec tous les faits et qui constitue rationnellement la mécanique comme science physico-mathématique. Il est le seul aussi qui laisse intacte la loi de continuité quant au temps et à l'espace, et par conséquent au mouvement, et qui, même dans ce qu'il a de plus hardi, ne la viole pas quant à la constitution de la matière, comme fait le système des corpuscules ou du vide passant brusquement au plein étendu^ car un rebroussement ou un passage instantané par l'infini n'est pas l'egardé en mathématiques comme contraire à cette grande loi.

Clairaut fut le premier qui tenta d'appliquer, par le calcul» l'idée de Newton, c'est-à-dire les actions à dç petites distances.

HISTORIQUE. CXlv

à un certain ordre de phénomènes, savoir, à ceux de Tascension de l'eau dans les tubes capillaires. 11 pose une formule, mais il se borne à énoncer (^), qu'il y a une telle loi inconnue d'attraction du verre sur l'eau qui donnerait des hauteurs en raison inverse des diamètres des tubes^ conformément aux faits observés. Laplace la détermina en ce qu'elle a d'essentiel^ car il prouva (*) que toute loi telle que l'action moléculaire devienne insensible quand la distance acquiert une grandeur perceptible satisfait à ce phénomène. Au moyen de cette simple supposition du décroissement extrêmement rapide de l'attraction du verre sur Teau et aussi de Teau sur elle-même quand les distances où elles s'exercent augmentent, la fonction des distances moléculaires qui représente cette action mutuelle ne se trouve engagée finalement que dans des intégrales définies^ se réduisant à des constantes qui sont censées des données de Texpérience (^), en sorte qu'il n'est pas nécessaire de connaître plus amplement la forme de cette fonction.

C'est ce que Laplace a observé également en appliquant à la théorie de la réfraction de la lumière la considération des mêmes forces devenant insensibles à des distances sensibles.

La loi moléculaire régissant les phénomènes terrestres se trouvant ainsi consti|uée^ fut appliquée pour la première fois à ceux de l'élasticité dans les recherches relatives aux plaques élastiques, sur lesquelles nous aurons à revenir (n"*" LIX^ LX). Poisson^ en réduisant un solide de ce genra à un système de points matériels uniformément disséminés sur un seul plan (^) et auxquels il attribuait des masses proportionnelles à l'épaisseur de la plaque au droit de chacun, en sorte que leurs rapprochements les uns des autres, supposés développer entrjB eux des forces répulsives, n'étaient, dans son analyse, que ce qui

(') Théorie de la figure de la terre.

(') Méc. cél., supp). au 40* livre. Et ensuite : Considérations sur la théorie des pbén. capillaires, luea le 43 septembre 4819. t. XII des Jnn. de ch, et de ph.

(') DéjA llauksbec, ayant la publication de TOplique de Newton, avait conclu, de ce que l'élévation de l'eau est indépendante de l épaisseur du /aii«, que l'attraction ne doit être sensible qu'A des distances excefsiveroeni petites.

\^) Mémoire sur la surface élastique, insérée ceux del'lPsliiulpourrannée4RI9 (publiés en 4844). Et Annales de chimie H de physique.

CXiTJ RÉSISTANCE DES SOLIDES.

vient du changement du plan en une surface courbe, parvint pourtant à une équation différentielle indéfinie du quatrième ordre, d'une forme exacte^ mais dans les coefficients de laquelle répaisseur de la plaque n'entre qu'au carré tandis qu'elle devrait entrer au cube.

Navier, après ses beaux travaux sur les lames ou les tiges conçues comme composées de fibres qui s'allongent ou s'accourcissent, devait naturellement passer à des recherches sur les plaques^ où il y avait à considérer des changements de deux dimensions à la fois.

Son analyse relative à ces sortes de solides (^) fut plus complète que celle de Poisson^ et presque exacte (voyez n* LIX), car en supposant, ce qui est très-approximativement vrai , que les lignes matérielles menées primitivement dans une direction perpendiculaire aux deux faces de la plaque restent normales à ces faces devenues courbes, il tint compte de changements de distance moléculaire bien plus considérables que ceux qu'avait calculés cet illustre géomètre, savoir de c-eux qui résultent de ce que les deux faces extérieures, et les plans intérieurs qui leur sont parallèles, s'étendent du côté devenu convexe et se contractent du côté devenu concave. Aussi l'épaisseur entret*elle au cube, comme elle doit le faire, 4fms les coefficients de son équation différentielle indéfinie, ainsi que dans ceux des équations définies au contour, qu'il donne pour la première (ois (voyez idem), ce qui lui permet de présenter de remarquables solutions de plusieurs problèmes particuliers.

Ce mémoire sur les plans élastiques, du 14 août 4820, bien que peu connu et n'ayant été l'objet d'aucun rapport, signale cependant une remarquable époque, car, non-seulement, par la manière dont son auteur calcula le moment virtuel total des actions qu'exercent sur chaque molécule toutes celles qui l'environnent dans l'étendue de sa sphère d'activité, son auteur préluda à

(*} Recherches sur la flexion des plans élastiques; présentées le 14 toât 4SfO (et dont plusieurs meroSres de TAcadémie reçurent des copies lithograpblées}. Il n'en a été publié qu'un extrait au Bulletin de la Soe, phil, pour 48f3, pafo 9t.

niSTORIQUE. cxlvij

sa brillante découverte de Tannée suivante dont nous allons parler^ mais encore il fut l'occasion principale de celles de Gauchy sur la théorie des pressions dans l'intérieur des corps solides et des travaux ultérieurs de ce grand analyste sur le môme sujet.

XXIII. Fondation de la tliéorie i;énérale de rélastieité. IVa^ier. — Ce fut. le U avril 4821 que Navier présenta son célèbre Mémoire iur les lois de V équilibre et du mouvement des corps solides élastiques ('), qui a fondé la Méca^ nique moléculaire ou la théorie générale de TËlasticité.

En considérant que les actions intérieures sont en équilibre^ ou se détruisent sur chacune des molécules avant les déplacements relatifs que des forces extérieures font éprouver à cellesci, Navier se bornait à calculer les augmentations et diminutions que ces actions subissent. Il leur attribuait^ par une sorte d'extension du principe de Hooke et de Mariette (n* IV}^ des intensités proportionnelles aux petits changements des distances mutuelles moléculaires, et aussi h une fonction de ces distances, d'une valeur sensible seulement pour des distances imperceptibles. Entre ces actions il posait les équations de l'équilibre sur une molécële^ en exprimant son changement de distance à une quelconque de celles qui l'environnent, au moyen des trois coordonnées nouvelles de celle-ci^ exprimées ellesmêmes par des développements de Taylor à trois variables, qui sont les trois projections rectangulaires de la distance primitive, et dont les puissances et produits du premier et du second ordre sont affectés par les dérivées des mêmes ordres des déplacements moléculaires par rapport aux coordonnées. Gomme on peut, en formant les trois sommes de composantes rectangulaires des actions de toutes les molécules sur une seule, faire passer ces dérivées hors du signe de sommation ou d'ad'dition 2 ou S, vu qu'elles sont sensiblement les mêmes, par hypothèse, pour tçutes les molécules comprises dans une

(f) Tome vn des Mémoiret de Vliutitut,

CXlvilJ RÉSISTANCE DBS SOLIDKS.

portion imperceptible du corps, les trois équations d'équilibre indéfinies, ou à satisfaire pour tous les points du corps, sont assez faciles à établir (^). Il ne reste plus qu'à déterminer les rapports mutuels des coefficients constants représentés par les diverses sommes 2 ou S dégagées ou débarrassées comme on vient de dire; c'est ce que fait Navier en les convertissant en in-

tégrales triples Jjj , qu'il effectue par coordonnées polaires ou sphériques pour le seul cas de ces solides que Cauchy a nommés isotropes parce qu'ils offrent la même élasticité en quelque sens qu'on les envisage ou qu'on les tourne autour de chacun de leurs points. Les coefficients à déterminer au moyen de l'expérience se trouvent ainsi réduits de quinze à un seul par la nullité reconnue de neuf d'entre eux et l'égalité démon-trée de trois autres au triple des trois derniers, égaux entre eux comme sont ceux-ci.

Mais il fallait, en outre, obtenir les équations d'équilibre définies y ou relatives aux limites, c'est-à-dire à la surface-enveloppe du corps élastique considéré.

Navier y arriva par une belle applfcation^ sous une forme nouvelle, de la méthode de la Mécanique analytique de Lagrange qui a, comme on sait, l'avantage d» donner à la fois ces deux sortes d'équations, et qu'il avait déjà employée au même usage pour le problème de la plaque; méthode qui, à peu près abandonnée depuis en France, revit avec avantage dans les travaux publiés à l'étranger depuis trente ans. Pour cela, en posant (*) l'expression du moment ou travail virtuel de l'action de deux molécules, il en déduit ce qu'on appelle aujourd'hui le potentiel de cette action, c'est-à-dire le travail fini dont elle est capable, ou la quantité dont la variation ou différentielle par l donne le travail virtuel élémentaire en question; puis, après avoir composé la somme des potentiels de toutes les actions^ sur une même molécule, de celles qui se trouvent dans sa sphère

(1) Voyez Appendice V^g 60, p. 694.

(«) Voy. le commeDcemeol du $ 85- à VAppendiee complémentaire cUaprèf, p. 796, où l'on a complété el généralisé l'analyse de Navier.

HISTORIQUE. CXUX

d'activité^ et exprimé, par suite, la somme de ceux des actions intérieures pour tout le corps, il en égale la différentielle par $ à la somme^ prise en signe contraire , des travaux virtuels des forces extérieures motrices, en y joignant ceux des forces dlnertie s'il y a mouvement, ce qui revient à chercher les conditions du minimum de la somme des potentiels de toutes ces forces. Les intégrations par parties, suivant la méthode connue^ lui redonnent, par les termes restés sous le signe d'intégration triple^ les trois équations d'équilibre indéfinies déjà obtenues d'une autre manière ; et les termes sortis de ce signe, ou restant affectés seulement d'intégrations doubles, facilement transformables en intégrations simples relatives aux éléments de la surface-enveloppe, lui fournissent les trois équations d*équilibre définies ou aux limites, à satisfaire pour les points de cette surface.

Celles-ci sont particulièrement dignes de remarque, car elles comprennent implicitement, dans leurs divers groupes de termes, les formules exprimant ce qu'on a depuis appelé les pressions ou tensions, forces élastiques. Aussi, bien que Navier n'ait point parlé de pressions dans les solides, nul n'est arrivé plus loin que lui quant aux conditions d'équilibre et aux équations du mouvemen^des solides élastiques isotropes ou d'égale contexture en tous sens, quand ils sont supposés se trouver avant les déplacements de leurs points dans l'état naturel (*) où aucune force extérieure n'y agissait.

XXrV. i^nite. Fresnel. — De la même époque datent les mémorables travaux, sur la lumière, de ce grand physicien, et notamment Texplication qu'il a donnée des phénomènes de la double réfraction par le jeu des actions mutuelles des molécules du fluide éthéré, qu'il regarde, ainsi que Navier, comme proportionnelles aux changements très-petits qu'éprouvent, à partir de l'état d'équilibre, les distances mutuelles de ces molécules, nécessairement séparées les unes des autres , car, comme il le montre très-bien, si elles se touchaient ou si elles formaient

}) Appendice \^%%,xi. 560, et App. compUmeniaire^ fi 80, p. 774,

cl BÊSISTANGE DES SOLIDES.

par leur ensemble une matière continue, elles ne pourraient pas propager^ par une sorte de frottement de tranches parallèles, leurs vibrations, qui ne sont lumineuses que lorsqu'elles ont des directions transversales ou perpendiculaires au sens de propagation (comme Tont prouvé ses expériences de non-interférence de deux rayons polarisés à angle droit). Ce qu'il y a d'étonnant, c'est que malgré plusieurs erreurs, et quoique Fresnel ne calcule que les réactions qui sont opposées en di^ vers sens au déplacement d'un seul point du milieu éthéré de la part de ceux qui l'environnent, considération insuffisante, et malgré plusieurs autres défectuosités de sa théorie, il en déduit des conséquences qui sont exactes, ou du moins extrômement approchées, et dont plusieurs étaient imprévues, et, depuis, ont été merveilleusement vérifiées par des expériences délicates. On peut Tattribuer à la grande force d'intuition et on pourrait dire de divination de l'illustre ingénieur-physicien; et aussi^ sans doute, à ce qu'il y a entre les quantité qui varient d'une manière continue suivant les trois dimensions de l'espace, et qui sont susceptibles de se composer et de se décomposer géométriquement, telles que les petites réactions dont nous venons de parler, et telles aussi que les pressions, les dilatations, les moments d'inertie, les courbures, etc., certaines relations gé« nérales, dont Fresnel a donné un des premiers spécimens, et qui se retrouvent à peu près sous les mêmes formes dans des recherches sur des sujets très-différents, au moins lorsqu'on se borne aux approximations linéaires ; d'où il suit que les résultats de raisonnements faits sur l'une d'elles peuvent contenir à d'autres qu'il eût fallu plutôt considérer.

Nous ne pensons pas pour cela qu'on doive attribuer à Fresnel, non plus qu^à Ampère, qui a présenté à ce sujet quelques considérations élevées, l'invention de la théorie de Télasticité^ qui, après Navier, doit être regardée comme appartenant à Cauchy.

XXY. llliiiie. Tliéorie des premiioiis daiui le» mh lldes. Dllaiatioiii» en divers sens. Cauehy. — Ce

grand analyste, en jBffet, n'attendit môme pas les publications du mémoire de Navier, d'avril 1821 » et de celui de Fresnel,

ffiSTORIQDE. clj

dont la première communication à l'Académie est du 20 novembre de la même année, pour entrer dans cette carrière où il devait laisser de profondes traces de son passage. Le mémoire d'août 4820 sur les plans élastiques suffit pour éveiller son ima-* gination inventive. Gauchy remarqua^ dans une Note lue à TAcadémie le 30 septembre i822 ('), que Navier y avait considéré entre les points matériels deux espèces de forces, les unes développées par Vextension du plan moyen de la plaque, et dont il exprimait le moment ou travail virtuel comme avait fait Lagrançe pour une simple membrane^ sans l'affecter d'aucun coefficient constant dépendant de la nature ou de l'élasticité de U matière; les autres, développées par la fleonon qui consiste dans les écartements des molécules du c<5té devenu con<* vexe et les rapprochements du côté devenu concave, celles-ci calculées plus rationnellement de manière que leur expression se trouve finalement affectée d'un coefficient d*élasticité représentant la valeur inconnue, et déterminable par Texpérience^ d'une intégrale définie comme on a dit. Les dernières forces étaient comme les premières, quant à leurs directions, per* pendiculaires aux faces taillées normalement à la plaque, ce qui venait de Thypothèse permise, mais simplement approxima* tive, de la conservation de la normalité de ces faces. Or Gauchy observa c que ces deux espèces de forces pouvaient être ré*'^ duites à une seule, qui devait s'appeler tension ou pression, étant de même nature que la pression d'un fluide en repos...,» à Texception qu'elle peut être oblique aux faces sur lesquelles elle s'exerce, et qu'elle est, par consécpient, généralement inégale dans les divers sens ou sur les diverses faces se croisant en un même point de Tintérieur d'un corps.

Tel fut le point de départ de la théorie générale des pressions on tensions dans des corps quelconques solides ou fluides, élastiques ou mous, en repos ou animés d'un mouvement intérieur. Leurs grandeurs sur diverses petites faces ayant leurs centres en un même point ont entre elles des relations régies

{}) Cette note, parafée parle secrétaire perpétuel à la daleiBiliqnéedefSfl, A été imprimée an BulUHn de U Soeiéié jiMIomôlAlgiM d«|aBvier 4S13, page 9,

Clij KÉSISTANŒ DES hOLIDtS. .

par ces deux théorèmes très-généraux dus à M. Cauchy : r La pression sur une face est résultante des pressions que supportent ses projections rectangulaires ou obliques sur trois plans quelcpnques passant par son centre. 2"* Quand deux faces qui se coupent rectangulaireinent ou même obliquement ont le ' même centre et la même superfidle^ la pression sur l'une^ décomposée dans un sens perpendiculaire à Tautre, est égale à la pression sur celle-ci décomposée perpendiculairement à c^Uelà(*); théorèmes qu'il ne faut point confondre avec ceux de même forme, presque évidents, qui ont été aperçus et employés par Fresnel, car ceux-ci pe sont, comme on a dit, relatif^ qu'aux forces qui tendent à ramener à sa position d'équilibre un point unique qu'on en a écarté.

Le second réduit à six les neuf composantes, en un point quelconque, suivant les directions de trois coordonnées rectangles, des pressions sur l'unité /le trois faces perpendiculaires à ces coordonnées, car il en résulte que les six composantes tangentielles sur ces faces sont égales deux à deux. Le premier permet d'exprimer, en fonction de ces six composantes, celle de la pression sur une face oblique quelconque, décomposée dans une direction aussi quelconque ( V. App. III, p. 548).

Une première conséquence est que si l'on imagine une infinité de petites faces planes de même superficie ayant leurs centres en un même point, on a des ellipsoïdes pour lieux des extrémités de droites tirées de ce point perpendiculairement aux faces, en leur donnant pour longueurs soit les pressions que celles-ci supportent, soit les racines carrées des inverses de leurs composantes normales aux faces ('). MM. Lamé et

(') Ils tonl impUcilemeot comprii lous deux dans rindication donnée, i la page 40 de la note citée du 30 teplenibre 4823, d'une relalion enlre It pretikw flur un plan quelconque et les pressions sur trois autres plans, et d*ane première conséquence de cette relation, au bas de la même page.

lisse irouvenldémontrés tous deux à la page 48 ûefiExercicetdemathématipimt deuxième année (4837), bien que le second seul y soit énoncé en langage ordi» naire. Le premier n'a été énoncéque sous Torme analytique, même par Poisson qui l'a démontré plus tard d'une autre manière sans citer Caucby(llém. du44afril 4SÎ8, au I. VIII de Pinstitut).

(S) Mêmes mémoires de 48i3 et 48S7.

HlS'iX)RIQUE. cliij

Glapeyron ont composé un troisième ellipsoïde en prenant pour rayons vecteurs les pressions elles-mêmes portées dans leurs propres directions. Les axes de ces trois ellipsoïdes ont les mêmes directions, et fournissent ce que ('.auchy a appelé les trois pressions ou tensions principales j qui sont perpendiculaires aux faces sur lesquelles elles s'exercent, ce qui a encore de l'analogie avec un théorème de Fresnel (V. App, comp., p. 776).

Ces théorèmes sont des généralisations de celui de l'égalité et de la normalité des pressions en tous sens, s'observant dans les seuls fluides en repos, pourvu encore que ce soit hors des espaces capillaires, ou suffisamment loin des parois qui les contiennent. Cauchy, en exprimant aussi l'équilibre d'im élément ' parallélipipède, adonné, sous \ei\ire Relations entre les pressions et les forces accélératrices, trois équations qui de même généralisent celles de l'équilibre des fluides, et dont les premiers membres, au lieu de contenir seulement la dérivée de la pression par rapport à une des trois coordonnées rectangles, contiennent les sommes des trois dérivées, par rapport à ces coordonnées, des trois composantes, suivant une seule, des pressions sur l'unité de trois faces parallèles à celles de l'élément, et passant par son centre ( V. App. III, p. 585).

En considérant ensuite, indépendamment de leurs causes, les proportions diverses des dilatations et condensations linéaires qui s'opèrent en tous sens autour d'un même point dans un corps que l'on déforme, Cauchy a trouvé qu'un élément primitivement sphérique prenait toujours la forme d'un ellipsoïde, et qu*on obtenait un autre ellipsoïde, remplacé quelquefois par deux hyperboloïdes conjugués, en portant sur les diverses droites tracées par un même point des longueurs égales aux racines carrées des inverses des dilatations dans leurs directions. *D'où trois dilatations principales, suivant trois droites matérielles rectangulaires entre elles. Ces droites sont en chaque point les seules qui restent perpendiculaires aux plans matériels qu'elles coupaient déjà primitivement à angle droit ; toutes les autres s'y inclinent un peu, d'où il suit que généralement deux petites faces parallèles et proches glissent plus ou moins l'une devant l'autre par l'eflet des déformations int^ieures du corps que Ton considère ( V. App. comp., p. 780.).

CliV BÉSISTANGB DES SOUDES.

De la distribution symétrique soit des autres pressions, soit des autres dilatations autour de celles qu'il vient de déterminer ainsi^ Cauchy conclut que dans les corps isotropes les pressions principales doivent avoir les trois mêmes directions que les dilatations linéaires principales. Il regardait^ en 1822, celles-là comme proportionnelles à celles-ci supposées très-petites $ maisy en i828, il dut^ après une nouvelle tentative, modifier cette hypothèse et composer chacune des pressions principales de deux parties. Tune égale à la dilatation linéaire de même sens multipliée par un coefficient constant, l'autre égale à la dilatation cubique (la somme des trois dilatations linéaires principales] multipliée par un deuxième coefficient, dépendant^ comme le premier, de la nature du corps (*) ; ce qui revient à supposer (comme fait maintenant M. Kirchhoff) que chaque pression principale est mesurée par la somme des trois petites dilatations principales multipliées par des coefficients qui, de neuf, doivent se réduire à deux inégaux, vu la symétrie nécessaire de composition des trois formules. A chacune des trois expressions, Cauchy ajoutait une constante représentant la pression, égale en tous sens, qui pouvait exister dans le corps isotrope antérieurement aux déformations qui en ont altâ^ risotropie. Il en déduisit analytiquement des expressions toutes semblables pour les trois composantes normales de pressions sur des faces quelconques non principales; et, pour les trois composantes tangentielles*(qui alors ont des grandeurs finies), des expressions proportionnelles aux trois glissements correspondants, c'est-à-dire aux cosinus des angles légèrement aigus dans lesquels les petites déformations changent les'trois angles droits des faces adjacentes d'un élément parallélipipède ; cosinus qui reviennent aux quantités dont ces angles se sont rétrécis, ou à celles dont les côtés opposés des mêmes faces ont glissé les' unes devant les autres pour l'unité des distances de ces côtés.

Cette première manière d'établir les formules des pressions, applicable, comme le pensait Cauchy, aux masses continues s41 en existe, n'est pas irréprochable. On ne voit pas en effet de

P) Bxercieet (ft mathématiquet, 3* thnée, p. IT7» 478, formiilei (67) et (70).

HISTOBIQUE. ClV

raison de supposer â priori que les pressions principales ne dépendent que Jinéairement des dilatations principales, car toute fonction n'est pas développable suivant les puissances entières et ascendantes de ses variables en commençant par la puissance 1 ; et une fonction de variables supposées être assez petites pour qu'on puisse ne conserver que leurs puissances les plus basses^ n'est pas^ ainsi, nécessairement algébrique du premier degré (7. App. V, p. 663). Il était plus rationnel de partir du principe physique des actions exercées par les points matériels les uns sur les autres dans les directions de leurs lignes de jonction^ et avec des intensités dépendant de leurs distances^ ce qui se réduit^ comme on a dit, à soumettre à la géométrie les forces qui agissent et réagissent, et à admettre les lois d'inertie et de réaction appliquées à des points matériels.

XXVI. Fonmiles ^éwkérmlem peur ïïem eorp« liétéretropcs. — C'est ce que fit Gauchy dans deux admirables Mémoires insérés aux Exercices immédiatement après celui dont nous venons de parler. Dans le premier, qui a été pour la plus grande partie présenté à l'Académie le !•' octobre i827 (*), et dont l'objet est d'établir les équations de Véquilibre d'un système de points matériels, Gauchy opère comme a fait Navier à la première partie du sien (de 1821), mais avec cette différence essentielle qu'il fait entrer dans son analyse les actions mutuelles totales des points^ fonctions de leurs distances nouvelles, au lieu de se borner comme Navier à ne considérer que les accroissements subis par ces actions, en abstrayant ce qui vient de leurs valeurs primitives. Gomme il a soin de tenir compte de ce que les lignes de jonction des points matériels deux à deux ont changé non-seulement de grandeur, mais aussi de direction ou d'inclinaison sur les axes fixes des coordonnées, la fonction des distances nouvelles représentant l'action ultérieure des points n'apparaît dans ses calculs que divisée par ces distances-, et c'est le quotient, et non pas la fonction elle-même,

(1) Exercices, 3* année (4838), p. 300.

Clvj RÉSISTANCE DES SOLIDES.

qu'il développe suivant les puissances du très-petit accroisse* ment de celle-ci (*).

Par Ik, Cauchy fait un calcul exact (à cela près des quantités d'ordre supérieur qu'on veut négliger), et embrasse le cas général où il y avait à Tinterieur des corps, avant les déplacements opérés^ des pressions absolument quelconques, égales ou inégales en divers sens. Son analyse embrasse aussi les corps hétérotropes ou de contexture inégale quelconque autour de chaque point, parce qu'il conserve, outre les six constantes qui sont les valeurs des composantes des pressions primitives, quinze coefficients distincts régissant Télasticité, et se présentant sous la forme de sommes d'un très-grand nombre de produits de fonctions des di:itances d*un point matériel dans l'état primitif, par des puissances des cosinus des angles que ces distances aux points environnants formaient avec les axe^ coordonnés fixes. Il prouve ensuite que ces quinze coefficients se réduisent à six distincts dans le cas particulier et fréquent, considéré pour la première fois par lui, de trois plans rectangulaires de symétrie de contexture (*), et à un seul dans le cas plus particulier d'isotropie ou d'égale contexture en tous sens (*), cas où les équations se réduisent identiquement à celles de Navier quand on suppose nulle la pression antérieure aux déplacements; et il démontre ces réductions sans avoir besoin de convertir en intégrales autour d'un point les sommes de composantes d'actions, qu'il ne cesse jamais de représenter par un signe d'addition 2 ou S d'un nombre extrêmement grand, mais fini, de termes partiels.

{}) Celle remarque esi essenlielle. Si ft%\. la ciraclérislique de la foDcUon, et si r el fj 8onl les dif lances primiiive et uUèrieure, Cauchy fait ainsi :

ce qui donne autre chose que si Ton te bornaitifaire ^| = ^4-(r| — r)— + ....

ce qui serait mettre r au lieu de T] au dénominateur du premier membre. (») Exercices^ Z* année, p. 498.

(S) /d^. p. SOI.

HISTORIQUE. Clvij

Dans son second mémoire, Caucby calcule la pression oa tension de Tinlérieiir du même système de points matériels en y faisant entrer, comme dans les équations du premier mémqire, l'action nouvelle totale de deux quelconques des points sans abstraire leur action primitive, et en supi)osant encore quelconque la contexture du système dans les divers sens. 11 obtient ainsi des formules très -générales, affectées des mêmes quinze coefficients (réductibles à six et à un dans les mêmes cas particuliers) que les équations du mémoire précédent, non compris les six composantes des pressions primitives, pressions qu'il ne suffit pas d'ajouter à celles que les déplacements développeraient si celles-ci étaient nulles , pour avoir les. pressions ultérieures totales; en effets ces pressions antérieures aux déplacements éprouvés entrent aussi dans les termes affectés des dérivées des déplacements des points, ce qui se conçoit sans peine si Ton considère que ceux-ci font tourner, dans l'intérieur du corps, la situation des plans menés parallèlement aux coordonnées, et changent par conséquent les grandeurs de la partie antérieure des composantes de pressions, qui étaient généralement inégales en divers sens (').

Dans ce mémoire, Gauchy donne de la pression sur une petite face, pour la calculer, la défmition mathématique suivante : « L'action totale exercée sur un petit cylindre matériel indéfini ayant cette fuce pour base, par toute la matière qui est de l'autre côté du plan prolongé de celle-ci. » Il en résulte la même chose dans le calcul en question, à cela près de quantités de Tordre de celles qu'on néglige, que lorsqu'on donne de la pression cette autre définition plus simple, et que Gauchy a depuis trouvée meilleure : « La résultante de toutes les actions qui

(<) En neilant dans les formules de la p. 2SS de ce mémoire, numérotées (S5) à (30), à la place de la densilé nouvelle p, la densité ancienne à divisée par la dilatation cubique, on obtiennes sii formules de pression s</us la forme définitive qu*a dû en donner Gauchy, à la p. 138 de la 4* année (1829) des Exercices. Voyei ci-après Appendice III, $ 33 (note) p. 564 et 574, et, surtout. Appendice complénenuire, §84, p. 795, les formules (212), complétées par les formules (19) et (42) des pages 556 et 591.

Civiij RÉSISTANCE DES SOLIDES.

s'exercent d'un côté à T autre à travers la face (^) ; » résultante facile à exprimer analytiquement, car on peut voir qu'elle est la ^ôme que a celle des actions qu'exercerait, sur chaque molécule m située d'un des deux côtés du plan de la face, un pareil nombre de masses concentrées au centre M de celle- ci, et égales^ pour chaque molécule m^ à la masse du cylindre oblique taillé dans la matière du côté opposé, ayant la même faœ pour base, et des arêtes égales et parallèles ù la ligne de jonction Mm du centre M à la molécule m (*)• d

Ces fonnules des neuf composantes de pressions, réduites à six (conformément au deuxième théorème du n*" XXV) sur des plans perpendiculaires aux coordonnées, et d'où l'on déduit facilement (par le premier théorème) la pression sur une face oblique quelconque, donnent le moyen de construire immédiatement les équations d'équilibre (/e/m{'e«, ou relatives à la surface» enveloppe des corps élastiques. Elles dispensent ainsi de l'emploi delaméthodedeLagrangeet de l'équution des travaux virtuek, traitée par le calcul des variations, que Navier a employée.

Elles donnent aussi, en substituant dans les relations entre les pressions et les forces accélératrices^ tirées, avons-nous dit, (n°XXV), de l'équilibre de l'élément parallèlipipède, les troiséqua^ tions indéfinies^ toutes semblables à celles qui se trouvent construites directement au premier des deux mémoires cités de Cauchy, en mettant en équilibre les actions sur une molécule unique.

(1) Gomptci rendus, 33 juin 1845, t. X\, p. 4765.

M. Duhamel a, le premier, proposé comme possible cotte deuxième définitloB» mais lan» s'j arrêter (1828, Journal de V École polytechnique^ 91* cahier, p. 94S). Mous avons montré (Société philomathique, 30 décembre 4843, ou Jovnial Vlnstitul^ n*> 534j qu'elle permettait seule da remplacer identiquement la rétnltante des action^ moléculaires du dehors au dedans d*un élément polyédrique quelconque parla résultante des pressions sur ses Taces. L'autre définition amène l'omission de certaines actions, et le double ou triple emploi d'un cerlain nombre d'autres. 'J'oy. aussi Appendice III^ §46, p. 544, note.} Cette définition évileaasfl les diOicultés des arêtes vives^ rencontrées par Poisson i son mémoire da 42 octobre 4829 \fJournal de r École polyUcfmique, âû* cahier, n«* 25, 49, 50, 53).

(*) Car le cylindre contient évidemment toutes les molécules, siluéet de tOB côté, qui agissent sur des molécules siiuéei du c6té opposé de la face i des diiUnces égales et parallèles i Mm (Comptes rendus, 7 juillet 4845, l, XXI, p. 94. Foyez aussi Noie du n* 462, $ 8, p. 497, et, surtout, Appendice III, note 4« § 23, p. 5G5).

HISTORIQUE. dix

XXVfl. fitailto. Poisson. — Aussi^ en traitant le même sujets Poisson s'est-il dispensé de construire directement les équations de l'équilibre intérieur^ et a-t-il commencé par rétablissement des formules de pression ses recherches^ communiquées en partie à l'Académie le T' octobre 1827 (^)» ou le même jour que le premier mémoire de Cauchy^ puis réunies dans son mémoire du il avril 18i8 ('), modifié en plusieurs points par celui du i% octobre de l'année suivante 1820 (*)• Au grand mémoire de 4828, remarquable surtout par la partie philosophique et par de magnifiques applications^ Poisson considère, comme faisait en même temps Gauchy (n** précédent), les actions totales^ fonctions des distances moléculaires modifiées par les déplacements^ et il calcule de suite la pression produite sur une face quelconque^ oblique aux plans coordonnés, que Cauchy n'exprime qu'ultérieurement au moyen des pressions sur des faces parallèles à ceux-ci. Du reste, il est moins heureux que Gauchy, sQÎtduns jes raisonnements, soit dans les résultats obtemis; car^ outre que les siens ne sont applicables qu'aux corps isotropes^ on peut remarquer que dans les coefficients, qui sont des sommes triples prises par rapport aux grandeurs des distances moléculaires et par rapport à deux angles qui déterminent leurs directions. Poisson convertit en intégrations les deux sommations relatives aux angles ; ce qui le détermine à supposer que Ja sphère d'activité, bien qu'imperceptible, comprend un nombre tellement immense de molécules que les actions qui s'exercent aux plus petites distances soient tout à fait négligeables devant les actions bien plus faibles, mais plus nombreuses, s'exerçant aux distances moins petites; hypothèse toute gratuite et même improbable, que Gauchy n'est point obligé de faire, car il laisse ses quinze coefficients sous forme de sommes de produits, com-

(f) CD extrait en a paru au Jnn. de ch. et de pk, auui eu 48S7, puig en janvier 4 838 au Bulletin Fèruisac, t. IX, p. 27.

O Mémoire lur Téquilibre et le moufement des corps solides élastiques (qui a paru in extenso Tannée suivante, au t. VHI de ceux de l'Institut).

(*) Mémoire sur les équations générales de l'équilibre et du roouTeroenl des corps élastiques ei des fluides {Journal de V École polytechnique, W catiier].

Clx RÊSTSTANCE DES SOLIDES.

posés comme on a dit tout à Theure. On peut remarquer aussi, comme le reconnaît Poisson au mémoire de Tannée suivante (i829), où il reprend tous ses calculs (en évitant les deux' conversions de sommes en intégrales dont nous venons de parler), que ses formules du mériioire de 4828 et du commencement de celui de 4829 représentent les neuf composantes, toutes inégales^ des pressions qui s'exercent^ non pas sur trois faces d'une superficie = 4 perpendiculaires aux coordonnées fixes, mais sur trois faces qui avaient cette superficie et ces directions avant les déplacements des points ; formules qui prêtent ainsi à des erreurs (*), et auxquelles il est obligé de faire subir une^transformation compliquée pour en tirer les six formules vraiment utiles de composantes (*)^ auxquelles Gaucby arrive très-directement et pour des corps de contexture quelconque^ isotrope ou non.

Poisson consacre cependant aussi, au même Mémoire de 4899^ un chapitre aux corps non-isotropes, qu'il réduit à ceux qui sont régulièrement cristallisés. Mais il se borne à poser, pour les six composantes, des expressions ayant une forme linéaire en fonction des neuf dérivées du premier ordre des déplacements dans les sens des trois coordonnées, par rapport à ces coordonnées; forme justifiée implicitement, pour ses lecteurs, par les considérations moléculaires des autres chapitres. Puis il montre la réduction à trente-six de leurs cinquante-quatre coeftîcients, sans apercevoir leur réductibilité à vingt -un inégaux au plus comme l'a montré Green ('), et même à quinze comme l'avait déjà prouvé Cauchy (n** précédent), et comme Poisson Ta reconnu plus tard en lisant à l'Académie, le 28 octobre 4839; son Mémoire sur l'équilibre et le mouvement de$ corps cristallisés, où il considère cependant les molécules non

(t) Comptes rendus, S8 Juillet 1862, t. LV, p. iOS.

(>) Mém. au 20* cahier du J. de VÈc. poL, de la page 47, où sont reproduites les form. de 1828 avec un signe difTéreot [parce qu'au contraire de 4 8t8 il attribue le signe -f aux répulsions et le signe — aux attractions), i la page 5S oà tom les formules déflnitives, conformes i celles do Caachj du cas d'itotropk*.

p) Voy. .V Appendice ci-après, <( 70, p. 712.

HISTORIQUE. Clx]

plus comme de simples points, mais comme des groupes de points ou atomes pouvant tourner sur eux-ménies (^].

Au môme Mémoire du 12 octobre 4829, Poisson s'occupe des fluides et arrive^ par un raisonnement dififérent, quant à la seule forme^ de celui de Navier^ aux équations trouvées en 18^ par celui-ci pour leur mouvement (') en tenant compte, non pas, comme il le dit, de leur viscosité ou de V adhérence de leurs parties (car les gaz n'en offrent aucune et ont cependant un frottement], mais de l'engrènement réciproque de leurs molécules ou du frottement mutuel de leurs couches; équations données aussi par Cauchy en 1828 comme pouvant représenter le mouvement intérieur des corps mous ou plastiques dénués d'élasticité ('), et pouvant encore s'obtenir par un autre moyen très-simple (*). Mais ces équations ne sont applicables que pour les mouvements extrêmement lents et réguliers que prennent les fluides dans des cas exceptionnels, par exemple lors de leur écoulement par des tubes ou des vaisseaux capillaires. ( V. App. V, p. 734.)

Poisson y prélude aussi aux recherches originales et dignes d'attention publiées en i83i, sous le titre : « Nouvelle théorie de l'action capillaire, • et qui doivent être étudiées, au moins dans leurs généralités, pour se faire une idée des questions que soulèvent les considérations de mécanique moléculaire, applicables aux solides comme aux liquides.

XXVni. Salie. PoIasou et .Canehy (pour les •onuncai non rcmplafables par. de<ii Intéifrales. ) —

On voit en effet à cet ouvrage, entre autres choses remar* quables, que Poisson insiste (comme dans ses écrits de 1828 et 18i9) sur la nécessité de laisser sous forme de sommes d'un nombre fini quoique considérable de termes, les coefiicients des formules, et, si l'on y remplace par des intégrations les sommations relatives aux angles (comme il faisait en 1828), de se bien

((} Mèm. de rintlitui, t. XVIII.

(*) Mëmoire sur le mouTemenl dei fluides en tenant compte de leur Tiscosite, etc. Institut, t. VU (>) Rierclees, 3* innée.

(^) Comptes rendus, 37 noTembre 1843, t. XVII, p. 4S40.

Clxy RÉSISTANCE DBS SOLIDES.

garder de faire de même pour les sommations relatives aux distances; car si ces coefficients étaient convertis en intégrales définies depuis une valeur zéro de la distance, une intégration par parties donnerait des pressions intérieures nulles après les déplacements quand elles le sont avant (^), et l'on déduirait encore, des coefficients ainsi convertis, d'autres conséquences tout à fait contraires aux faits, savoir que les pressions ne varieraient que comme les carrés des densités, et qu'elles seraient toujours normales aux faces, ou qu'elles n'auraient pas de composantes tangentielles. Ces considérations, bien que d'une apparence purement analytique, sont d'une haute portée pour la philosophie de la science. Elles prouvent, comme Fresnel l'avait déjà remarqué avec une grande sagacité pour l'éther (n*XX[V) que les corps, même fluides, avec les propriétés que tous les faits dénotent, ne sauraient être formés d'une matière continue; conclusion qui, étendue à la constitution des dernières particules, fait disparaître même les atomes étendus et figurés, mais insécables et invariables, de Leucippe et de Démocrite, conservés jusqu'à nos jours, pour faire place à ceux du système dont nous avons parlé au n° XXll ; système préconisé par divers physiciens anglais et allemands qui n'y voient nullement un idéalisme négateur de la matière, et adopté, parmi nous, pour d'autres raisons encore, par Ampère, ainsi que par Cauchy qui en a

(^) Ed elTet, r étant la plus petite Yaleur des distances r entre les molécolet, et r la plut grande de celles pour lesquelles leur action fr a une grandeur seaiible, IMniégration par rapport aux angles donne pour la pression priniUre K ei pour le coefficient d'élasticité k aflfeciant les dériTèes des déplacements

jr

X =— \ r^fr.dr, k (ou « de NaTier)= -^ \* r» --rfr. 3 Jr iR 1 ^-

. 2lt f r r

Or la deuxième expression, intégrée par parties, donne :

A=--lr*Ar-r*rr)-K.

Le premier terme entre parenthèses est nul puisque fr derient tout à fait insettsibie ayant que r ne soit grand, et le deuxième est nul aussi pour la limite infi. rieure r= o à moins qu'il n'y ait des répulsions ioRnies du quatrième ordre ta contact, et que ce ne soient ces répulsions- là qui seules déterminent 11 Ttlear ÛB k lorsque la pressign primitiTe K est nulle; ce qui exclurait limte èlisUdlé.

HISTORIQUE. Clxiij

fait ie sujet d'une de ses leçons de physique supérieure» à Turin en 1832 (0-

Cauchy avait montré en effet, aussi en 1828» mais sans y appuyer autant que Poisson (')» que Ton tombe dans les conséquences signalées, si contraires aux faits (proportionnalité des pressions aux carrés des densités, et nullité des composantes tangentielles) si, sans même supposer la continuité de la matière., on admet seulement comme Poisson « qu'on puisse abstraire l'action» sur une molécule, de celles des molécules environnantes qui en sont le plus proches, b vis-à-vis de l'action des autres, supposées en nombre immense malgré la petitesse de la sphère d'activité; opinion émise pour la première fois par Poisson dans une lettre d'octobre 1827 ('), et où l'on s'étonne de le voir persister en 1829 (^) et 1830 quand il n'en a plus besoin» puisque alors il n'intègre pas plus par rapport aux angles que par rapport aui^ distances.

Au reste» les calculs qui ont pour base la loi moléculaire des actions fonctions des distances ne supposent pas admis nécessairement, comme quelques auteurs anglais l'ont pensé, le système de Boscovich ou des atomes inétendus. Ces calculs n'exigent même pas que les dimensions des atomes» si on leur en attribue» soient supi)osées très-petites par rapport aux distances mutuelles de leurs centres de gravité; car ces sommes relatives aux distances d'un point à tous les points environnants ('), qui forment les coefficients constants des formules»

(1) Dn écrit de treixe paget, sur ce lujel, a été inféré i la date du iO jao« vier 4844 au Bullelia de la Société pbilomatbique de Paris. Un court extrait en a paru aussi au n<* 5i8 du Journal VItulitutf du 7 février, p. 48.

(*) Exercices, 3* année, p. 203, 204 de son premier mémoire cité, et p. MS, 330, 231 du second.

O Annaie» de Chimie et de Physique.

(*) Mémoire du 42 octobre 4829, au 20* cahier du Journal, de F École pthlytechmque^ art. 3 ou p. 7.

(»j C*ef t-à-dlre ces sommet C~- F(r)c08« (r,a;)cos*»' [r^y) co8»»"(r,z), où p

est U densité du corps, r sont les distances d'un point i tous les atomes ou éléments d'atomes dont les masses sont m et qui se trouvent compris dans sa tréspeUte spbére d'activité sensible; »» n',n" sont des exposants entiers dont la ■onae est 4 pour les principaux des coefflcients ainsi exprimés; enfin F(r) est

ClxiV RÉSISTANCE DES SOLIDES.

peuvent tout aussi bien être composées d'un nombre infini de termes, même pour chaque atome^ que d'un nombre total tini. Il suffit, pour pouvoir établir les équations, que les atomes ne se touchent pas^ ou ne soient point fondus en une masse ininterrompue.

Ce n'est môme pas précisément dans la conversion de chaque somme 2 ou S en une intégrale que git le danger des conséquences fausses; c'est, comme Ta très-bien remarqué M. Qausius ('), dans la supposition que la limite inférieure de rintégration pour les distances soit zéro. Dès qu'on prend une limite inférieure finie, si petite qu'elle soit, qui sauvegarde la non* contiguïté des dernières parties, rien n*empéche d'intégrer si cela est commode pour obtenir des résultats d'une certaine forme; car si une intégrale ne peut guère être substituée à une somme particulière relative aux diverses molécules qui en entourent une seule, elle peut très-bien V&ive à une moyenne d'un très-grand nombre de pareilles sommes, vu la compensation qui s'opère alors entre les inégalités ou irrégularités individuelles; et cette moyenne est, après tout, seule à considérer dans les applications, comme dit le même savant. DchïTaccord des équations trouvées par Cauchy et par Poisson avec celles auxquelles Navier était arrivé sans discuter ce qui résulterait des transformations analytiques du coefficient qu*il trouve, et qui se présente sous forme d'intégrale définie. De là aussi la possibilité, malgré quelques objections de Poisson, de continuer de se servir, dans ces sortes de recherches, comme font encore les géomètres anglais et allemands, des méthodes de la mécanique analytique de Lagrange, qui, d'ailleurs, permettent très-bien de laisser subsister sous forme de simple sommet ou S, les coefficients ressortant des résultantes d*actions sur chaque point matériel, tout en faisant entrer ensuite, dans l'analyse, des intégrales triples prises pour toute l'étendue du système; ce qui n'a

une fonction qui se déduit de celle f[r) représentant Taclion nutaelle à It dlatnnce et dan^ la direction r pour l'unité de masse des points maiériels qnl Texercent l'un iiur l'autre.

(1) Ueber die Veranderungen, etc., aux Annale» de Poggeniarff, toI. LXXVI, p. 56-68.

HISTOBIQUE. ClXV

pas plus d'inconvénients queTusage, fait aussi par Laplace, des intégrales dans la théorie capillaire, et que tout autre emploi du calcul différentiel et intégral pour les corps solides ou fluides qu'on sait très-bien être discontinus ou composés d'un nombre fini^ quoique très-grand^ de molécules isolées (^).

XXXTX. Sotte. Polémique entre Poisson et IVa- Tler. Remarques de M. Clauslus. — Ici doit trouver place la mention de cette vive polémique soutenue en 4828 et 1829. Poisson, dans son premier mémoire^ d'avril 1828, en donnant un historique du problème des corps élastiques, n'avait fait nulle mention de Navier qui, le premier, Ta mis en équation; mais, faisant cependant à son travail une allusion évidente, il avançait que des recherches où les résultantes d'actions entre molécules, étaient exprimées par des intégrales, et même toute analyse où Ton opérait des intégrations, comme celles que comporte Tusage du calcul des variations appliqué suivant les règles de la mécanique analytique de Lagrange, n'était bonne que pour les masses continues s'il en existe, et était tout à fait impropre à donner les conditions d'équilibre des corps élastiques tels qu'ils sont dans la nature, c'est-à-dire formés de molécules disjointes (*)• Dans ses répliques aux réponses de Navier qui trouvait étrange une pareille exclusion, il reprochait encore à celui-ci d'avoir abstrait les actions primitives entre les molécules pour ne faire entrer dans son calcul que leurs changements de grandeur. Et Arago, rédacteur du recueil qui servait d'arène à cette discussion , la fermait par une Note (*) où il demandait à Navier comment il pouvait concevoir un corps dont tous les points matériels seraient sans action les uns sur les autres dans l'état naturel, etc.

Tous ces reproches étaient ou sans fondement ou exagérés.

(*) Voyei 6* Appendice, S 74, p. 743, et Appendice complémeotaîre, $$ 84, 86.

(*) Note sur les Tibrations des corps sonores, aux Annales de Chimie et de Physique^ 4** octobre 48S7, — on Bulletin Fernssac, 4828, t. IX, p. 37.— Et Mémoire du 44 avril 4828 au t. VIU de ceux de rinsiitut, art. 44, p. 400.

Vojei, pour le reste de la discussion, les Annales de Chimie et de Physique, t. XXXVU, XXXVIIl, XXXIXJuillet, août et octobre 4828, et jaoTier 4829.

(S) Mêmes AnnaUs, t. XL, 4829,

ClxyJ RÉSISTANCE DES SOLIDES.

Ail dernier, Navier répondit très-bien, dans une Note récapitulative insérée au Bulletin des sciences de M.deFenissac(*),qu^l avait regardé comme nulles, non pas les actions antérieures aux déplacements, mais leurs résultantes^ ce qui est en effet possible quand on suppose qu'il n'y avait pas primitivement de pressions (']• 11 est bien vrai (comme nous avons dit tout à Tbeure) qu*on ne doit pas prendre les intégrales figurant comme coefficients depuis des valeurs nulles des distances^ comme si la matière était continue, mais cela n'empêche pas d'être exactes les équations de Navier, où ces intégrales définies restent ineffectuées et donnenl des expressions qui n'auraient plus rien d'impossible en prenant une autre limite inférieure que zéro, comme nous avons vu [n" précédent] que l'a très-bien remarqué &L Clausius; et cela empêche encore moins, comme nous avons dit aussi, d'appliquer aux systèmes moléculaires le calcul intégral et le calcul des variations (')•

A cette discussion se trouvent mêlées des considérations des deux illustres savants sur la question des plaques élastiques, qui n'aurait pas dû les diviser, car Poisson y reconnaît que la méthode de son mémoire du 1" août 4814^ où il supposait la plaque sans épaisseur, ne mettait pas en jeu les véritables forces; et celle dont il fait usage en 18^8, comme application des formules générales nouvelles, le conduit précisément aux mêmes équations que Navier avait obtenues en 4820, sauf Tune des équations aux limites ou aux bords de la plaque. (Voyex n'-XXlïetLIX.)

On y trouve aussi de lumineuses observations sur la forme possible de la fonction des distances entre deux molécules» capable d'exprimer leur action mutuelle. Si on la représente par un seul terme affecté d'une exponentielle, comme avait fait Poisson à son mémoire de 1828, on satisfera bien à la condition de la diminution rapide de l'action pour peu que la distance

(yi Bulletin univerêel dei Science» et de Vlnduttric, 4<~ secUoii, marf 48t9. (S) Voyex ci-après, Appendice oomplémenUire, $ 80, p. 774. (>) Vojei idem, $$ 83, 84, 85, p. 783 i 800.

HISTORIQUE. CUvij

augmente {*), mais elle restera toujours de même signe quelle que soit la distance, et l'équilibre naturel ou sans forces extérieures sera impossible; car, comme le rappelle Navier, cet équilibre exige que les actions mutuelles soient répulsives pour certaines distances, et attractives pour d'autres. Aussi Poisson reconnaît (') qu'il aurait dû prendre pour Taôtion moléculaire une différence de deux fonctions de cette forme (').

XXX. Skilte. Mm. liamé et Clapeyron. — Pendant la* même année d828 fut envoyé à l'Académie, sur le même sujet, un mémoire remarquable de lucidité et de sagacité, où ces deux ingénieurs français,. alors en mission en Russie^ arrivèrent aux mêmes équations indéfinies que Navier, en exprimant^ comme lui, mais sans avoir eu connaissance de ses recherches, l'équilibre, sur une seule molécule, des actions développées par les petits changements de distance des molécules environnantes, et supposées proportionnelles à ces changements ; en abstrayant, comme Navier, les actions antérieures, supposées se faire équilibre naturellement ou sans forces extérieures dans Tétat qui a précédé les déplacements des points. Et les mêmes considérations les conduisirent directement aux formules dés pressions pour les corps isotropes.

La manière dont ils en déduisirent un grand nombre de théorèmes sur les pressions prouverait qu'ils n'avaient pas non plus pris connaissance des mémoires présentés en i82S et 1827 par Gauchy, qui était arrivé à une grande partie de ces théorèmes pour des corps d'une contexture absolument quelconque en repos ou en mouvement.

Nous reviendrons sur ce mémoire aux n" XXUI et XXV.

-fâ"

(^] Li forme que Poiiion donnait comme eiemple était 0*6 ,aet

b étant deux consuntei, r la diitance, a le plus peUt interyalle moléculaire, n an nombre très-grand, et m un irét-grand exposant poiitir, afin que, conror« niément i son idée (n** XXVll) l'action restât presque constante et égale i a tant que r ne comprend pas un grand nombre de fois a, et décrût rapidement qutnd r devient plus grand que na.

(<) Note de U. Arago (Jnn, de Chimie et de Physique^ Janfier 4829, p. 403); et Deuxième mémoire de M. Poisson, '43 octobre 4S39, p. 6 et 45«

O Voyez ci-après, 3* Appendice, $ 46 (note), p. 543; et 5* Appendice^ p. 739.

ClXViiJ RÉSISTANCE DES SOLIDES.

XXXI. lialte. M. Bahamel (Prise c» coiuiMér»tion des températnrefl). — Peu de temps après furent présentés et publiés au Journal de r École polytechnique plusieurs mémoires remarquables de mécanique moléculaire, approuvés par l'Académie, où M. Duhamel^ aujourd'hui membre de ce corps savant^ tenait compte des changements de température développés par les changements de volume des diverses parties des corps élastiques (*). M. Wertheim [en a tiré des conséquences relatives aux diflférences qu'on trouve constamment entre les valeurs des coefficients d'élasticité déduits du mesurage statique, et ceux que Ton conclut (le l'observation du nombre des vibrations dans l'état dynamique.

Au re^te, les effets mécaniques de la variation de température des barres soumises à un effort de traction peuvent être évalués approximativement d'une manière élémentaire dans beaucoup de cas, comme a fait M. Poncelet au n*" 308 de Y Introduction à la mécanique industrielle.

XXXn. Premières applications deeette ntMiTelle branelie de la mécanique, par Poisson et Oanoliy.

-» La découverte ainsi faite d une nouvelle branche de la science de l'équilibre et du mouvement eut une influence marquée sur la manière dont cette science en général fut bientôt enseignée. Le beau préambule du mémoire de Poisson de 1828 contribua sans doute pour beaucoup, avec les travaux de Navier, et avec quelques passages d'un livre de Ck)riolis ('), et, aussi, des premières le-

(*) Mémoire cur les équations de la propagation de la chaleur dans les rarfit solides doDl la conductibilité n*esl pas la même dans tous les sens; 7 avril 4818 {Joum, de l'École polyt,^ SI* cahier). — Second mémoire sur les phénomènes Ihermo-mécaniques, lu le 33 février 4835 (idem, 25* cahier). — Sur le calcul des actions moléculaires développées par les changemenU de température {Savetntt étrangers, U V).

(«) Du Calcul des effeU des machines, ^'• édition, 48Î9, ch. III. — A U V édition (4844, posthume) de ce livre, on a ajouté, entre antres chowt, la matière d'un *t Mémoire sur la manière d'établir les prineipet de la mécanique pour des systèmes de corps en les coniidèrant comme des assemblaget de mole-

HISTORIQUE. Clxix

çoDS de M. Ponceiet aux ouvriers- de Metz, à faire substituer désormais les réalités physiques, c'esl-à-dire la compressibilité^ rélasticité, l'action à distance et sa transmission graduelle par les tiges et les liens ^ etc. , aux abstractions de dureté absolue dans les solides, d*inextensibilité dans les liens, d'action instantanée au seul contact, etc., en sorte que, bien que les savants cités ici n'aient pas toujours écrit à ce point de vue, on met aujourd'hui généralement en pratique une pensée qu'avait eue Laplace dès 1825 (^], d'introduire dans les démonstrations de la mécanique, pour leur donner plus de clarté et pour se rapprocher de la nature, la considération des actions réciproques à de petites distances, qui régissent les phénomènes terrestres.

Mais la mécanique moléculaire ou la théorie de l'élasticité des solides eut aussi pour application, presque immédiatement, la solution de divers problèmes utiles. Pour nous borner ici à ceux d'équilibre (devant parler plus loin de ceux de mouvement), Poisson reconnut dès i827, comme conséquence évidente des formules de composantes normales de pressions, que lorsqu'un prisme élastique est dilaté dans le sens de sa longueur par une force de traction parallèle à ses arêtes, distribuée uniformément sur ses bases, et que ses faces latérales sont libres, il y a, dans les sens transversaux, une contraction dont la proportion est le quart de celle de la dilatation pour les corps d'égale élasticité en tous sens ('), résultat auquel arrivèrent M. Cauchy (') et MM. Lamé et Clapeyron Tannée suivante (% et qui a été aussitôt confirmé par une expérience de M. Cagniard de Latour, autant que le permettait le degré d'exactitude du mode d'observation employé.

ealei, » iotérè en 4835 au Journal de l'École polytechnique (24* cahier), et où Coriolis feul bien citer (page 94, note] un mémoire du 44 avril 4834, trouTé alors hardi par lui et par M. Ponceiet, présenté par nous à l'Académie sur cette même manière de démontrer les théorèmes génériux du mouvement et de l'èqullibre des systèmes.

(1) Mécanique céle$te. An du chapitre 4*' du livre XII.

(S) Jnnalet de Chimie et de Phyâigue, 4 8^7.

(1) Exercice» de mathémaiiquet, 3* année.

C») SavanU étranger», t. IV, p. 608 (n* 40).

dix BÉSISTANCE DES SOUDES.

Poisson déterminait aussi les rapports de ces deux effets à celui de contraction générale produit par une pression de même intensité, appliquée sur toute la surface d*un corps isotrope de forme quelconque ; et il résolvait divers problèmes élémentaires sur les sphères creuses en mémo temps que MM. Lamé et Clapcyron, qui en résolvaient d'analogues sur les cylindres creux (n« LVIII ci-après).

Passant aux problèmes de la torsion et de la flexion des cylindres, qu'il suppose à base circulaire^ et de dimensions finies en tous sens, Poisson, faute de pouvoir donner, des équations différentielles de leur équilibre, des intégrales qui ne sont point encore trouvées pour tous les modes de sollicitation, môme aux seuh^s extrémités, tente de résoudre le problème d'une manière approchée quand les dimensions transversales sont très-petites. Pour cela il fait une supposition difficile à justifier, et qui conduit à des résultats souvent justes, mais quelquefois faux, à savoir que les pressions intérieures, ainsi que les déplacements des points, sont exprimables en séries convergentes procédant suivant les puissances entières des petites coordonnées transversales (*). Ces séries, à coefiicients indéterminés, étant mises dans les équations différentielles définies et indéfinies à la place des quantités inconnues, donnent, par la comparaison des termes affectés d'une même puissance, et eu égard à la nullité supposée des pressions sur les faces latérales, une suite d'autres équations plus simples, qu'il combine de manière à en tirer les coefficients, en effaçant finalement les termes d'un degré supérieur tantôt au premier, tantôt au second degré. Il arrive ainsi aux formules connues de la flexion et de la torsion des cylindres à base circulaire, formules dont la démonstration ordinaire est fondée, en effet, sur des suppositions qui reviennent à celles de Poisson mais où l'on se borne à des termes du premier degré. Nous parlerons au n** LIX de la solution que le même illustre savant a donnée, au moyen d'une hypothèse analogue, du problème de l'équilibre et du mouvement des plaques.

(>} Mémoire 4to 4838, ii«« 34, p. 447, et 44, p. 461. .

HISTORIQUE. Clxxj

Vel*s la fin de la même année 18%, sans connaître les travaux de Poisson autrement que par deux courts extraits nMndiquant pas ses procédés, Cauchy appliquait également le développement supposé possible en séries entières, à' la détermination de la flexion des lames minces, d'une largeur indéterminée ou indéfinie (en supprimant la considération de la dimension ou de la coordonnée dans son sens); et, ensuite, des tiges à section rectangulaire finie, d'une épaisseur cx)nstante ou variable, dont la fibre moyenne est primitivement droite ou courbe^ et dont la matière est isotrope ou hétérotrope; et il arrivait ainsi aux formules fournies par leshy pothèses, un peu plus restreintes, de la théorie ordinaire (*). (Voyez n** XLI.)

XXXIII. — Applications, par MM. liamé et Oapcyron. — Ils ne s'occupèrent pas de la flexion, pour laquelle Poisson et Caucby n'ont trouvé que des résultats simplement approchés et discutables. Mais dans leur grand mémoire , où rien, dans les applications, n*est donné .^ Thypothèse, ils arrivèrent, sous le titre de Cas généraux^ à de belles solutions de problèmes où toutes les ressources actuelles de l'analyse aux différences partielles sont mises en œuvre. L'une est relative à un solide de dimensions infinies en longueur, largeur et épaisseur, mais terminé d'un côté par un plan indéfini sur lequel agissent des pressions distribuées d'une manière absolument quelconque, continue ou discontinue ; l'autre à un solide compris entre deux plans parallèles indéfinis, comprenant entre eux une épaisseur finie, l'autre enfin à un cylindre droit, de longueur infinie, sollicité sur sa surface latérale par des forces quelconques. Bien que M. Lamé ne les ait pas reproduites dans ses leçons sur la théorie mathématique de l'élasticité, de i 852, en disant avec modestie (*) que ce n'étaient que des essais entrepris dans le but de chercher une solution générale, et ne parais-

(1) Exercices, 3« année (1S9S), p. S43 à 328 et 356 à 36S ; et 4« année (4839), p. 36. Nous croyons avoir résumé ce qui t'y trouve de plus essentiel (sauf l'applieatioo aux vibrations) au n* 43 de notre Mémoire de 4854 sur la flexion des priamef (Journal LiouviUe, 4856).

(>) Fin de la 4S« leçon, S ^- *

ClXXij RÊSlSrANGK DES SOLIDES.

sant pas placés sur la route qui doit y conduire, elles sont remarquables et il n'est pas impossible qu'un jour elles fournissent d'utiles applications [*),

XXXIV. Isolation aliérleure, par M. liamé, «ta problème de la sphère pleine on creuse sollieitée d'une manière quelconque. Ol facultés pour le prisme. — Quant aux solides de dimensions finies en tous sens^ c'est seulement pour une sphère pleine ou creuse qu'a été résolu le problème de l'état d'équilibre déterminé par des pressions appliquées et distribuées d'une manière quelconque sur la surface. C'est à M. Lamé qu'on doit cette belle solution^ publiée en i853^ ou un an après ses leçons sur l'élasticité C). (Voyez n"* LVIII pour le cas particulier de pressions constantes, traité à la 16* leçon et déjà en 4828.)

On peut, aux mêmes leçons, où l'illustre analyste s*est efforcé de réduire la théorie de l'élasticité à des termes simples, prendre une idée de la longue recherche qu'il a faite d'une solution semblable pour un solide prismatique, et voir quel point diflicile (') empêche et empêchera d'y arriver longtemps encore, et peut-être même toujours, si l'on en peut juger par l'insuccès du persévérant appel fait par l'Académie, sur sa proposition, aux géomètres des deux mondes, en mettant au concours, depuis 1846, ce grand problème de calcul intégral aux différences partielles, qu'elle en a définitivement retiré en 4858 en désespoir de cause.

(*) Il a bien touIu nout commuDiqaer un mémoire manuscrit oA m troofeat défeloppées « en lèrief numériqaet et immédiatement calculables » ses eipre^ sloDi (97) du cas de deux plans parallèles, au moyen de la décompositkm des

fractions sous le quadruple signe ), en fractions partielles dont chacune i po«r dénominateur un des facteurs imaginaires, en nombre infini, des dénominatrart

(de

U forme ±: ar I de ces fractions. H est fâcheux qu'il ait

i les publier par la raison que ces sortes de décompositions sont comprit le calcul des résidus de M. Caucby.

(t) Mémoire sur l'équilibre d'élasticité des en? einppes sphériques, lu le l'^anôl 1SS3, et inséré au Journal de M. Lioufille, t. XI&, 4S54.

(*) Douxiéme leçon, $66, p. 455 et soifanles.

HISTORIQUE. Cixxiij

XXXV. !Véccsslté de se contenter de solntlons qui supposent un mode particulier de distribution des forces sur les bases. Méthode Inverse. MM. liamé et dapeyron. — On ne doit pas se dissimuler, à ce sujet, que si môme un succès aujourd'hui inespéré venait un jour vaincre celte difficulté si grande, c'est-à-dire si ^ Ton parvenait à intégrer les équations d'équilibre pour des pressions quelconques agissant sur les bases et les fic^s d'un parallélipipède, cylindre ou prisme^ une autre difficulté peut- ; être plus désespérante viendrait^ indépendamment de l'immense ' complication des calculs^ se dresser devant ceux qui cherche- ' raient à tirer quelque parti de la solution trouvée. Ce serait de savoir quelles sont, dans chaque cas^ ces pressions que le problème prend pour ses données. On n'agit en efiet sur la surface d'un corps que par Tintermédiaire d'autres corps en contact avecJui; or on ne sait point^ et Ton ne saura de longtemps comment se distribuent les pressions sur la surface de contact de deux corps élastiques, même lorsque le second de ces deux corps se réduit à un lacet enroulé autoulr du premier, et auquel le poids est suspendu. Le fait est que si l'on excepte les pressions exercées par un fluide en repos, on ne connaît jamais, des forces qui agissent sur la surface d'un corps, que leurs résultantes et leurs couples ou moments résultants; on ignore, hors de là^ leur mode de distribution sur les divei*s éléments de cette surface.

D'où il suit qu'en général il importe peu de savoir déterminer réquilibre d'élasticité d'un solide plutôt sous l'action des forces qui agissent réellement, que sous celle d'autres forces statiquement équivalentes, ou qui ont même résultante et môme moment, mais un autre mode d'application et de distribution, bien qu'on ne puisse pas dire absolument que ce mode soit dénué de toute influence sur la grandeur des déplacements des points.

Sous tous ces rapports il faut se contenter, pour l'équilibre d'élasticité et pour les conditions de résistance des pièces prismatiques, supposées sollicitées d'abord aux extrémités seulement, de solutions relatives à un mode déterminé de distribution des forces extérieures sur leurs deux bases.

ClXXlV RÉSISTANCE DBS SOLIDES.

MM. Lamé et Clapeyron ont donné, les premiers^ deux exemples simples de ce genre de solution. Il consiste à prendre pour donnée la loi des déplacements de tous les points, et à déterminer la loi correspondante de distribution des forces à la surface, ce qui permet ensuite de déterminer les grandeurs de ceux-là connaissant les intensités des résultantes et des moments résultants de celles-ci, supposées distribuées suivant le mode trouvé.

La loi de déplacement qu'ils se donnèrent à cet effet pour le prisme à base quelconque consiste ea ce que les dilatations linéaires (positives ou négatives) soient partout lesjiiémes dans le sens longitudinal, et partout les mêmes aussi, mais d'une autre grandeur, dans les sons transversaux. Les équations leur montrèrent immédiatement que cette loi est possible quand on néglige les effets tros-petits de la pesanteur; et que les forces qui la donnent sont îine traction ou une pression uniforme aux divers points des deux bases, et une pression normale constante (comme la pression atmosphérique) sur les faces latérales. D'où se déduisent immédiatement les résultats trouvés par Poisson (n" XXXI 1) d'une manière moins simple.

Celle qu'ils se donnent pour le cylindre droit, de manière qu'il soit tordu en même temps qu'étendu ou comprimé, est qu'il y ait, outre des dilatations uniformes en trois sens, des rotations relatives des sections, égales d'un bout à l'autre pour mêmes intervalles entre ces sections supposées rester planes et perpendiculaires à l'axe autour duquel elles tournent. Les équations indétinies prouvent encore que ces sortes de déplacement sont possibles san» forces agissant sur la ma^e, et les équations définies montrent qu'outre les tractions et pressions normales du cas précédent (et qui peuvent être toutes nulles) il faut , sur les éléments égaux de chacune des deux bases circulaires des forces dirigées dans leurs plans, perpendiculairei aux rayons vecteurs, et proportionnelles à ces rayons ou aux distances des éléments à l'axe de torsion (^).

(1) N* 51 oa page S97 du Mémoire cité.

HISTORIQUE. ClXXV

XXXVI. Httilirff ""I^^T plMM éiendnc dans ses applications. Torsion. Flcmlon Inén^alc avee ^lisacmcnis. — A la méthode inverse qu'ils ont employée pour cela et qui consiste, au moyen d'une simple diiférentiation^ à déduire les forces des déplacements qu'on se donne^ il faut^ pour des cas plus composés^ comme ceux de flexion, ou comme ceux de torsion de prismes à base non circulaire, substituer une méthode semi-inverse ou mixte, consistant à se donner à la fois une partie des déplacements et une partie des forces, et à chercher les autres forces et les autres déplacements, méthode qui ne dispense pas d'intégrer, mais qui permet de réduire la part de Tintégration à ce que les procédés connus de l'analyse aux diflërences partielles permettent d'aborder.

Cette méthode mixte a d'abord été appliquée par nous au problème de la torsion de prismes à bases non circulaû*es, de formes indéfiniment variées ('}.

Jusqu'au mémoire publié en i829 par M. Caucby sur la tor^ sion et les vibrations tournantes As verges rectangulaires ('), on avait cru (n° XIX) que les résistances opposées par les diverses, fibres d'un prisme à cette sorte de déformation étaient, comme pour le cylindre à base circulaire, proportionnelles aux inclinaisons que ces fibres prennent sur Taxe de torsion en devenant des hélices, et par conséquent à leurs distances à cet axe. Mais, au lieu de la formule G(I -f- 1')^ ^u moment de réaction de torsion qui en résulte, comme nous avons dit (même n<>), I et V étant les moments d'inertie principaux de la section autour de droites tracées sur son plan, Cauchy trouva, pour le prisme

rectangle, G - — - 6 ('), expression qui ne coïncide avec la pré?

(») Mémoire tur la torsion des prismes lu le 13 iuin 1833 et inséré au l. XIV (4855) des Savants étrangers. El rapport~Be M. Lamé sur ce mémoire, du 86 décembre 4853 (aux Com/»/M rend»/*, l. XXXVIl, p. 984). Plusieurs des résultais «▼aieDlélé publiés en 4847 aux numéros des ii fèfrier, 9S mars et 40 mai des Comptes rendus, l. XXIV, p. 262, 485, 847, el au Bulletin de la Société phii, Seréfrier 4853.

(•) Exercices, 4* année.

(S) Ou plutôt ,car Caocbj embrassa le cas où rélasticité de glisse-

clXIVJ RÉSISTANCE DES SOLIDES.

cédente que quand I = T ou quand la base est carrée^ mais qui est infiniment moindre lorsque le prisme tordu est plat ou se réduit à une lame mince ; car^ alors^ si V est le moment autour de la grande médiane^ on peut le négliger au dénominateur comme du second ordre devant le moment I autour de la petite médiane, et il reste G.4r.O. Nous reproduisons l'analyse de Cauchy à une note du § 39 de notre 4** Appendice (p. 62i), en observant qu'elle est fondée, comme celle qu'il a employée ainsi que Poisson pour la flexion, sur la supposition gratuite que les pressions intérieures sont exprimables en séries convergentes suivant les puissances entières des deux coordonnées transversales, et sur des suppressions, non justifiées, de termes dont on ne connaît pas le rapport de grandeur avec ceux que Ton conserve; et nous avons dû même, à cette note, signaler ia suppression d'un terme négatif auquel on peut assigner une valeur égale au tiers de ce qui est conservé, en sorte qu'en en tenant compte le moment de torsion se trouve réduit aux deux tiers, ce qui donnerait manifestement trop peu, tandis qu'on a trop avec la formule non réduite de cette manière (^).

Aussi Caucby a renoncé, en 4854, à son analyse ('), pour adopter la nôtre. Si nous avons discuté celle-là, c'est à cause de l'insistance mise par un physicien à l'invoquer pour ne pas adopter celle-ci (Appendice IV, § 38, p. 619).

Son mémoire de 1829 a néanmoins fait faire un grand pas à la théorie de la torsion, car, outre que la formule à laquelle il arrive est exacte pour les prismes plats (V négligeable devant I], l'analyse qu'il y développe fait apercevoir un rapport nécessaire entre la torsion 6 et la dérivée seconde du déplacement longitudinal des points de chaque section par rapport aux deux coordonnées transversales (') ; dérivée dont l'existence annonce

ment à des cœfflcienli différeolt C, G' dans les leot parallèles aui deux eolét da rectangle de base.

(*) Vojei aussi, même Appendice*, la note du § 43, p. 611.

(<) Comptes rendus, SO féTrier 4854, t. XXXVIIl, p. 396.

d>tf 1 — 1' (*] Cette relation est — ^ :=: , 0, u étant le petit déplaceneal en qnes*

tion ; elle n*est eiacie que pour une section elliptique.

HISTORIQUE. cIiItQ

que les divers points des sections d'un prisme rectangle tordu , v/ H

se déplacent inégalement dans un sens parallèle aux arêtes, ou que ces sections ne restent pas planes, mais se gauchissent pour 1 prendre une forme analogue à celle d'un paraboloïde hyperbolique, ou d'une double aile de moulin à vent (% d'autant plus prononcée que les deux côtés des sections sont plus inégaux.

La nécessité de cette courbure de la section primitivement plane s'aperçoit facilement si Ton prend, pour le corps tordu

autour d'un axe central, l'ensemble de deux prismes ou cylindres parallèles et égaux, rendus solidaires par deux liens rigides de manière que

iy^~~~; T^^Tn' '^"^^ sections o', o" se regardent

( ^^^r- - I ^^^ J constamment par les mêmes points o^y a", astreints à rester sur une même droite passant par l'axe 0 autour desquels on les tord simultanément. Les axes particuliers des deux cylindres se changeront en deux hélices, auxquelles les sections o', o" resteront sensiblement normales; en sorte que si chacune de ces deux sections partielles est supposée rester plane, leur ensemble, ou la section totale, ne pourra faire un seul plan. Or quelque chose de semblable doit avoir lieu, on le conçoit, pour les deux extrémités d'une section rectangle très-allongée; le plan de cette section se changeni donc en une sorte de surface gauche si l'on tord le prisme auquel elle appartient.

Une section carrée elle-même ne saurait rester plane; elle doit nécessairement s'infléchir de manière à couper normalement, à ses quatre angles, les quatre arêtes saillantes du prisme, devenues des hélices. Remarquons en effet généralement que lorsqu'un prisme ou cylindre tordu ou fléchi, etc., est sollicité seulement vers ses extrénntés, ses faces latérales n'éprouvent, intermédiairement, que la pression de l'atmosphère; et conmie celle-ci, qui n'agit que normalement, ne tend nullement à faire

(^) Celte iolerpréUlioD géométrique a été donnée pour la première fols i an llémoire du SO nofembre 4843 {Compiei rendus, t. XXin, p. 4488). 11 n'y a pu lien de s'arrêter à ce qui y est dit du prisme à base losange, Terreor reconnue y ëlanl plus grande que pour le prisme rectangle.

chniflij RÊsisTAHCK m% solides.

glisser les éiéinents de ces faces extérieures devftnt les petites faces parallèles intérieures (si la contexture est d'égale élasticité en tous sens], les petites lignes matérielles intérieures qui leur étaient normales leur sont encore normales après la déformation. Les sections primitivement planes doivent donc affec* ter la forme de surfaces courbes^ normales aux surfaces latérales déformées, et par conséquent aux arêtes vives saillantes ou rentrantes devenues des hélices, suivant lesquelles se coupent deux parties adjacentes de cos faces devenues courbes.

Et toutes les autres hélices^ dans lesquelles se sont transformées les arêtes non vives^ doivent se projeter^ sur les éléments superficiels correspondants de la section, tangentieilement à son contour, puisque le contour et chaque arête ont une normale commune, qui est dans le plan de cet élément

Il en résulte de suite que c'est seulement quand son contour est circulaire que la section reste plane et perpendiculaire à Taxe de torsion, car toute hélice projetée sur un plan perpendiculaire à son axe, donne un cercle dont le centre est sur cet axe. ( V. note du n* 156, § 4, p. 244.)

C'est aussi, par conséquent, uniquement sur une section circulaire que les inclinaisons des fibres, ou les glissements et par conséquent les résistances partielles développées, sont propoKionnelles aux distances des fibres à l'axe; en sorte que c'est seulement pour les cylindres à base de cercle que G(I -f r)6 donne le moment de torsion. Pour tout autre cylindre ou prisme cette formule donne un moment trop fort, parce que les fibres, en s'inclinant sur le plan primitif des sections, entraînent avec elles les éléments superficiels qui leur servent de base, de manière que les inclinaisons mutuelles des fibres et des éléments sont généralement moins considérables que si ceox-d étaient restés dans leur plan primitif commun.

Les fibres et les éléments superficiels restent même toat k fait perpendiculaires les unes aux autres, comme on vient de voir,* aux quatre angles des sections rectangulaires, en sorte que le danger de désagrégation et de rupture est nul en ces endroitS; au lieu d'y être à son maximum comme le voulait Tancienne théorie, qui conseiTe aux sections leur forme plane

HISTORIQUE. dttix

primitive, et même celle de Cauchy qui, an lieu de leur vraie fonne> revient à leur attribuer constamment celle d'un plan gauche ou paraboloide hyperbolique (^).

Pour trouver la forme réelle de la surface courbe affectée par les sections, et, par suite, les glissements et la vraie valeur du moment, la méthode nouvelle dont ce grand analyste a approuvé la substitution à la sienne, a consisté, comme nous avons dit, à se donner en partie les déplacements, en ce qu'on les prend tels que le prisme éprouve une torsion uniforme, ou que les diverses sections transversales tournent les unes devant les autres d'angles proportionnels à leurs distances mutuelles, en se déformant toutes de la môme manière, laissée 'd'abord inconnue, et qui est à déterminer par la condition que les faces latérales n'éprouvent aucune action dans le sens longitudinal; Ce qui est, comme où voit, pose?' ausàipour donnée une partie des forces.

E^ introduisant dans les équations d'équilibre les données aiûsl choisies ou établies^ la première des trois équations indéttniea et la première des trois équations définies d'équilibre sont réduites à ne plus contenir que le déplacement longitudinaty qui môme n^y entre que diiférentié par rapport aux deux coordonnées transversales si Ton ajoute. aux données la supposition (ultérieurement justifiée) que la dilatation des fibres dans le sens de leur longueur est nulle ou constante (*).

(t) VoyM s S4 d« la bom da n« 41^, p. SS9.

(*) Car si u, v^ w sont les projcciions du dôplacemenl d'un point sur la coor-

doBfliëe longlttidlnale t et sur les ebordonnées transferdales y, 2, et si 0 est la

torsion par unité de longueur du prisme, la donnée sur les déplacements s'ei-

dv . dw

prime par •-- = — dz, -- =:0v; eipressions qui^ [substituées dans la première dx dx

du é^nalloii iadétaie, en j ijoaunt la luppotliloD **b MalillMi -r- ^ toatUitt, It

dx

dht dhâ dhê

lédnil i U fonMO-T^ + ttl'-t'^-e'^-:!^^ ^ G, 0', II MNlt dta ooeflldy« dydz dz*

iàtùïÊ dépmidaot de la eoaleitnrv sMppoeéw symétri^Hi» ptr ray^oA MB McaoM;

•I la émiUe sur let foreei réduit la premiétv 4f«tliott déttl» â

CllXX RÊSISTANC£ DES SOUDES.

Non-seulement on reconnaît que de pareilles données sont compatibles entre elles, mais encore on obtient ce déplacement longitudinal au moyen d'une intégration, qui se trouve ramenée ainsi aux méthodes connues du calcul aux dérivées partielles; et comme on déduit de ce déplacement^ par difiTérentiation, les glissements sur les bases, et par suite les composantes de pression à appliquer sur leurs divers éléments pour obtenir Téquilibre^ tout ce qu'on ne s'est pas donné en fait de déplacements comme en fait de forces se trouve déterminé.

En égalant, au moment supposé connu des forces extérieures autour de Taxe de torsion^ le moment des pressions extrêmes dont a ainsi trouvé Texpression analytique, on tire la valeur cherchée de la torsion 6, par unité de longueur, du cylindre ou prisme.

Cette méthode, appliquée à un cylindre elliptique, fournit

précisément l'expression très-simple G 6 que Gauchy

avait trouvée pour le prisme rectangle. Mais en employant la même méthode pour ce dernier solide, on obtient des expressions en séries convergentes de sinus circulaires et de sinus hyperboliques dont les divers termes sont faciles à calculer en s'aidant des tables dressées par M. Guderman pour ces dernières transcendantes. Le moment de torsion auquel on arrive ainsi pour le prisme rectangle s'accorde avec celui que donne la formule Cauchy quand ce prisme est très-plat; mais il n'en est que les 0,843, ou il a pour valeur 0,843 0(1+1')^ quand la section est un carré. Si l'on a donc deux barres, l'une ronde, l'autre carrée, de même matière et dont les deux sections ont le

dz du

où -r- est tiré de rëqoalion du contour d'une leelion ; car eoaime — — tr.

du

•p + Oy expriment let gliuementi longlladiniax lur des fioet perpeadicalairet

az

aux y et aux z, lei quantités entre crochets représentent les compoiantet, aui- Tsnt les JT, des pressions sur l'unité de ces faces. Ces équations peuvent être réduites, par un changement de coordonnées, à la même forme simple qo'ellae prennent quand on a A =0, comme nous Tavons remarqué en 4863 (Appendice complémentaire^ p. 771).

HISTORIQUE. CllIXJ

même moment d'inertie autour de leur centre , la seconde exige, au bout du même levier, une force moindre que Tautre dans le rapport de 0,843 à 1 pour prendre la même torsion 0 ; résultat qu'avaient manifesté, à peu de chose près, les expé- ( [ riences de Duleau et de Sayart, et que Navier ne savait, com.-.. \ ment expliquer, si ce n'est en l'attribuant à une difiTérence pré? • sumée de qualité dans les fers. '

De même que dans l'établissement des conditions de résistance à la rupture éloignée par flexion pure, on doit prendre pour le point dangereux ou le plus exposé celui où se trouve la grandeur la plus considérable de la dilatation linéaire à laquelle il s'agit d'imposer une limite, de même, dans la résistance à la rupture ou à l'énervation par torsion, on doit prendre pour ce point celui où le glissement sur une section est le plus grand, c'est-à-dire où l'inclinaison d'une fibre sur l'élément correspondant de la section est le plus considérable. Ce point est touipurs-sur le contour de la section; mais, tandis que dans la théorie commune, et même dans celle de i829 de Cauchy, ce point serait l'un de ceux qui se trouvent le plus éloignés de l'axe de torsion, et par conséquent serait l'un des angles de la section rectangle ou carrée, la théorie nouvelle le place au contraire à l'endroit du contour le plus proche de l'axe, c'est-à-dire aux milieujL.de3 plus grands côtés si la section est rectangle, ou aux extrémités du petit axe si la section est elliptique, etc., ce. qui s'explique en considérant que c'est en cet endroit que lajiormale à l'élément de la section s'incline sur l'axe de torsion dans le sens le plus directement opposé à celui où s'incline la fibre, en sorte que ces deux inclinaisons sur l'axe s'o/oti/en/ pour composer le glissement, qui est l'inclinaison mutuelle de cette normaTe et delà fibre; au lieu que pour les points les plus éloignés de l'axe, les deux inclinaisons partielles, plus fortes chacune, mais de même sens, se soustraient l'une de l'autre, et donnent pour résultat le glissement minimum ; et même zéro ou une com^ pensation exacte et un glissement nul aux angles saillants comme on a dit.

Le même fait de la situation du plus grand glissement aux points du contour les plus rapprochés de l'axe se reproduit

CUUULij RÉSISTANCE DES SOUDES.

pour plusieurs sections d'une autre forme : par exemple, la aeo* tioa en étoile à quatre pointes et la section en triangle équilatéral ; mais il ne saurait être général, car nous avons vu qu'aux angles rentrants, quand il y en a, le glissement est nul çomaie aux angles saillants, et il serait faible aux endroits offrant un creux arrondi, mais étroit. Môme, dans les sections en double spatule, comme celles des rails de chemin de fer« les points dangereux se trouvent dans des situations intermédiaires entre les points du contour qui sont le plus rapprochés et ceux qui sont le plus éloigués du centre ou de l'axe de torsion.

La même analyse fournit en effet toutes les circonstances de la torsion de prismes ou cylindres ayant une infinité d'autres bases que Tellipse et le rectangle, et l'on pourrait môraei par son moyen, avec un travail suflisanti les déterminer par approximation pour une base de forme donnée quelconque. Qu'on prenne, en effet, pour le petit déplacement longitudinal u, qui détermine la forme nouvelle de la surface primitivement plane des sections, une somme quelconque d'un nombre infini ou fini (le termes, soit algébriques entiers, soit transcendants en y, z (coordonnées transversales appelées u, t; à la note du n° 456); avec la seule condition de satisfaire à Téquation indéfinie du second ordre, ce qui est toujours facile en déterminant une partie des coefficients dont les termes sont affectéSj en fonction des autres qu'on laisse indéterminés; et qu'où substitue cette expression de u dans l'équation générale définie qui exprime la nullité des pressions sur les faces latérales, on a une équation différentielle du premier ordre qui n'est autre chose, en y et 2, que celle des contours répondant à l'expression monôme ou polynôme choisie pour le déplacement longitudinal; et cette équation, qui s^intègre toujours d'ellemême (^), donne^ pour le contour, une équation, ou plutôt une

(>) Em flbi («Ole prèeé4eQU), ea m boraMl au ms H = 0, € =sC', l« pnmfer mmmhn te f ~- -f- ly j rfy — T-î — (te J rfr =bO etl une dffléreniMIe exacte

ti u est uoe des foncUoos de y, z, d'une infinité de forracs, algébriques ou iranii-

d^ d*u eendanlet, qui saiisfoot ^ 7-. + ^^ = 0. (Vojexnol«du b*> 456, § 40, p. S$5,)

HISTORIQUE. CilXXlij

iofinité d'équations non différentielles, différant entre elles \vàf la grandeur de la coastante qui occupe seule le second membre, et dont les valeurs diverses suffisent pour faire varier considé* rablemenl la forme représentée. On a donc une infinité de classes d'un nombre infini de contours de sections planes dont on peut connaître le changement en surfaces courbes, produit par la torsion du prisme ou cylindre auquel elles servent de base, ce qui fournit immédiatement le moment de torsion et les conditions de résistance à la torsion qui leur sont relatifs.

An nombre de ces sections est le triangle équilatéral» qui donne la formule de torsion la plus simple après le contour circulaire. Au nombre est aussi une courbe du huitième degré en forme de croix de Malte ou d'étoile à quatre pointes arrondies^ donnant pour moment de torsion les 0,537 seulement de ce qu'on aurait en prenant l'expression G(I-|-r)6 de Tancienne théorie, ce qui prouve que les axes ou arbres tournants de machine dits emplumés ou à côtes saillantes, qui résistent assez bien à Ta flexion," sont fort .peu propres à résister à la torsion (V. note du n* 156, § 37, p. 335-343). Au nombre est même une section composée de deux orbes séparés, presque circulaires, bases de deux cylindres parallèles supposés tordus simultanément ou solidairement autour d'un axe intermédiaire [idemf § 36, p. 332] ; on voit, par le résultat, qu'ils ne résistent que pour un moment égal à la somme de ceux qui se développeraient si on les tordait séparément autour d'axes inté* rieiurs; et un raisonnement simple et général [idem, § 15, p. 265} vérifie que le moment de réaction de torsion d'un prisme ou cylindre a la même grandeur, quel que soit Taxe intérieur ou extérieur, parallèle à ses arêtes, autour duquel on lui fait éprouver une torsion déterminée tràs-petite.

La môme analyse, appliquée dans un cas fort simple^ donne les 0,84 de G(l-|-1']^ pour le moment de torsion d'un prisme ayant pour base une courbe du quatrième degré, en forme de carré curviligne à angles uu peu arrondis. Gomme le coefficient numérique diffère extrêmement peu de 0,843462 trouvé pour le carré parfait à côtés recliligoes, mais qui a été fourni par tifie analyse transcendante non susceptible d'être exposée dans les cours de oiécanique pratique, on voit que l'un peuf dé^

ChXXi? RÉSISTANCE DES SOUDES.

montrer dans ces sortes de cours, en se bornant à des approximations, les résultats principaux de la théorie nouvelle de la torsion.

XXXVIL Tomlon présentée élémentalrement.

— On peut en effet établir élémentalrement, et même de plusieurs manières (entre lesquelles l'expérience de renseignement pourra seule fixer le choix pour chaque cours] les théorèmes exprimant les équations de cette théorie (^). Ainsi, en concevant le prisme comme partagé en fibres ou éléments parallélipipèdes rectangles dont les quatre arêtes latérales sont parallèles aux siennes ou à Taxe de torsion, on évalue, comme on verra à la note du n*" 156 (§ 5, p. 245)^ les glissements longitudinaux^ ou les petites diminutions éprouvées par les angles primitivement droits de ces arêtes avec les c6tés des bases des éléments* en additionnant les diminutions que ces angles éprouveraient si les arêtes des éléments se déplaçaient seules en vertu de la torsion qui les change en hélicesy avec les diminutions qui auraient lieu si c'étaient seulement les petites bases élémentaires rectangles qui prissent une inclinaison, ou leurs quatre c6tés qui changeassent légèrement de direction en vertu du gauchissement des sections planes dont ces bases font partie. Et comme les actions ou composantes de pression longitudinales sur les quatre faces latérales des éléments solides 'sont proportionnelles à ces glissements, dont les grandeurs ont sur les faces opposées deux à deux une partie commune qui disparaît, on conclura, au § 6 (p. 24B-250), en posant simplement Téquilibre de quatre forces de même direction, la propriété générale ou indéfinie dont doivent jouir toutes les surfaces légèrement courbes dans lesquelles se changent les sections planes des prismes tordus; propriété dont on donne au § 7 (p. 251)

(>) Nooi n« parloni pai do l'esui, fait par Tredgold, do ramener la tonioii d*an priime à une sorte de flexion autour d'une diagonale Joignant an point d'une de tes baies arec un point opposé de l'autre base (section VI de VBê$€i mtr la rériiiance du fer coulé, traduite de la S* édition, 4896, ou n" S33 de la BOi^felle édition anglaise). Cette sorte de considération ou de companison ne conduit à aucun r^ulut qu'on puisse regarder même eomme approché.

HISTORIQUE. * CllXIV

une démonstration plus directe^ mais encore fondée sur le principe ou lemme général d'addition pure et simple des effets trèspetits dus aux deux causes de glissement.

Mais on peut se passer de ce lemme, ou des suppressions, et démontrer très-simplement ou directement, d'une autre manière qu'aux §§ cités de la note du n*" 156, ces deux propriétés de la surface des sections, en faisant usage seulement des considérations rigoureuses et si connues de projections de lignes droites et de lignes brisées (^).

(*) Qu'on prenno en effet pour unité de longueur Ii petite dittanee des deux sections planes tranirersales ? oisines dont faisaient partie les baies rectangulaires B, B' d'un des petits éléments parallélipipèdes considérés. Une rotation, d'un petit angle 0, de la deuiiéme section, inclinera les quatre arêtes de cet élément, de sorte que la projection de Tune d'elles, a, sur un plan perpendiculaire i Taxe de rotation ou de torsion, sera le produit de 0 par la distance de l'arête i cet axe; et les projections de la même arête a = 4 sur les deux côtés adjacents prinltifs c, é de la petite tiase B seront, abstraction faite du signe, les produits de 0 par les distances respecliTCS, au même aie de torsion, de ces côtés c, e' prolongés; tandis que la projection de cette même arête sur une parallèle i l'axe est = 4 , i cela prés d'une quantité de second ordre à négliger.

Or, supposons que le coté c de la petite base B de l'élément se soit eoarbé légèrement i cause du gauchissement possible de la section dont elle fsit partie, et appelons i la projection, sur sa tangente menée au pied de l'arête a, de l'unité de longueur portée sur l'axe de rotation,' nous aurons, pour la projection de l'arête a sur cette même tangente, la somme des projections de ses trots projections rectangulaires ci-dessus; cette somme sera simplement t plus ou moins le produit de 0 par la distance du côté c à i^aie, car la troisième projection de l'arête a, celle qui a été faite sur le deuiième côté sdjscent c', donnera aéro pour quote-part. En appelant t| une projection semblable, faite sur la tangente menée à la deuxième extrémité du même côté c derenu courbe, la projection, sur celte deuxième Ungente, de l'arête a' aussi = 4 , adjacente à cette deuxième extr^ nité du petit coté c, sera <| plus ou moins produit de 0 psr la distance du côté c à Taxe; en sorte qu'à cause de cette dernière partie qui est commune, la diflârence des projections respectives, sur les deux tangentes, des deux arêtes a et of adjacentes aux deux extrémités du côté c, se réduira i t| — t. Or les actions tangentielles qui s'exercent, parallèlement aux arêtes, sur les deux faces latérales perpendiculaires au côté c, ont pour intensité le produit d'un coefficient d'élasticité tangentielle G multiplié par les projections dont on rient de psrler, qui mesurent les glissements estimés dans le sens longitudinal ou des arêtes. Comme ces forces longitudinales doivent être tenues en équilibre par celles qui s'exereenl, dans une direction parallèle, sur les deux autres faces Istérales du même élément parallélipipède dont on abstrait la pesanteur el dont on suppose que les bases oe sont point pressées normalement, on en conclut

dXXXVJ RÉSISTANCE DBS SOLIDES.

XXXVlil. S«lte de 1» méthode mlmte. ne&l#a f^BéraleiiieBt inégale et avee fflissenieBt». ** Ld

problème de la flexion est du même genre que celui de la tor* sion, mais sa solution exacte et complète, par la môme méthode mixte, est plus compliquée, et nous ne l'avons obtenue

Il G' Ml UD second coefficient d'élaalicité de li matière dont on suppose la oontexture symétrique dans les sens de division i)cs éléments, et si j^ j^ représentent la même chose pour le deuxième côté c' de li base, aussi defeon eourbe, que i, i^ pour le premier c. Comme ces quatre petites quautités sont aussi les pentes ou inclinaisons des quatre tangentes sur le plan primitif de la srciion perpendiculaire i l'axe de torsion, on voit que si la conlexluro est la même dans tous les MBS transtersaux, on ai G =G', les surfaees légèrement courbea affecléei par les aeeUons priniitiTeraent planes sont de celles dont la pente eroU dans «naeaa, i partir d'un point quelconque, autant qu'elle dècroli dans nn sens perpenëieulatre. Ml don! /es rayofu de courhnre^ meturéê danê deux pimnt normaux à oafje drotC, êont jmrtmU égaux et oppotéê,

▲ux points du contour des sections, vu la conscrTalion de la aoraaUté dm petites lignes malérirUes primititement normales à la snrfaee latérale (qui n^ prouve que la pression normale de l'atmosphère), il favt que les arè^ en prisBo ou cylindre, comme toutes les autres lignes iraoècs sur œile turCaea latérale après sa déforosation, se projettent ungentielloraent au eontour sur le plan mené au même point tangentiellement à la surface courbe de la section. D'oA l'on déduit, si y et 2 sont les deux coordonnées reetangulaires transversales, suppoiéei prises parallèlement aux directions primiUves des èlëBenU solides dam leequelB on a conçu divisée la tranche naince comprise entre deux seotioos, l'origîM

dz étant prise sur l'axe de torsion, que le rapport^ des projections, sur cci eoor-

14.0V données, d'un élément linéaire du contour, doit être égal au rapport /. ies

s — 8z deux valeurs qu'on vient de trouver pour les projections d'une arête a:=1 sur deux petites droites rectangulaires c, c' qui sont, après les déformations, sur le plan tangent à la section. Si les éiasticités sont différentes dans deux sens y, z regardés comme principaux quant i la conlexture, il faut multiplier respectivement par les coeflBcicnts G et G' le numérateur et le dénominateur de cette fraction, qui représenteront après cette multiplication les composantea longitudinales de pression sur riinltè de petites faces perpendiculaires aux z et aux y; composantes dont les expressions seraient plus compliquées, et produiraient Téquatloe définie de la note précédente (p. cxxxviij) si la contexture n'était sjmétriqae qse par rapport aux sections.

Kous espérons que celte démonstration, de plusieurs manières élémentairea, des deux principes ou des deux équations fondamentales de la théorie nouvelle de la torsion, qui a été approuvée par l'Institut de France, et confirmée par des géiH mètres de rAllemagno comme seule vraie, pourra faciliter son introductioo dans iVn^Hçnrmrnt des savante profosiieiirs, oui feaiiioiil lui ImprimtT leur caclaet d'habituelle lucidité, et qui, en opérant comme aux §$ 10 et suivants de la note ci-après du n** 156, pourront en déduire, sans calcul dilFérentiel, les diverses tau* séquences pratiques.

HISTOBIQUE. Clx»?ij

qu'après de longues recherches ('). Les sections ne restent planes et normales que quand la flexion est égale d'un bout à Fautre ou s'opère en arc de cercle. Dans tout autre cas les sections s'inclinent sur la fibre centrale, et se gauchissent ou se ehaogent en mâme temps en surfaces couii)es. La propriété de ces surfaces, relative aux points du contour, est la même que dans la torsion, car elles coupent encore normalement, en tous ces points, les faces latérales déformées du prisme; mais^ aux points intérieurs, la somme algébrique des deux cour* bures principales de la surface (ou ce (}ue nous avons appelé i\ — t -f-jj —y a la note du n*» précédent), au lieu d'être nulle partout comme dans la torsion, doit avoir une grandeur pro« portionnetle à l'une des deux coordonnées transversales, celle qui se mesure parallèlement au plan de flexion. La donnée sur le$ déplaamentê n'est autre chose que ce qui caractérise ou définit nne flexion^ à savoir qu'à travers chaque section les dilatations das diverses fibres varient uniformément dans un certain sens transversal, ou sont proportionnelles à la même coordonnée dont on vient de parler. La donnée ittr les forces consiste en ce que les faces latérales n'éprouvent aucune action longitudinale ni transversale ni normale. Et il faut, pour rendre le problème déterminé, en joindre une auti*e ; elle consiste à supposer qu'à rintérieur les fibres ou éléments longitudinaux n'exercent mutuellement aucune action iransversaley ou perpendiculaire k leur longueur, tout en pouvant agir les uns sur les autres dans Je sens de celle-ci i supposition ou donnée complémentaire dont l'analyse prouve la compatibilité avec les autres ainsi qu'avec les conditions générales de l'équilibre d'élasticité, et qui se trouve ainsi justifiée ultérieurement.

£n exprimant analytiquement les données choisies comme on vient de dire, on déduit d'abord que le moment de flexion, s'il variSv ne peut le faire que d'une manière uniforme d'un bout à l'autre du prisme ainsi sollicité sur les seules bases extrêmes, en sorte que ce uKmient s'exprime UnéaireaKint ea foaction de l'abscisse comptée longitudinalement. Une pramiàre et fiscîle

■ IIIWI ■■ ■■■» ilil W f ■ Il ■ ■ ■■ ■

{*) Ménolra MT H i«iloD doi pritmei, lur les glisteaieBU, elc.^ lu Iv ÎO oo- «wlvfl 4SS4. MmnÊl I4miviile, hiU,

ClxXXViij RÉSISTANCE DES SOLIDES.

intégration des équations qui en résultent donne les expressions des déplacennents des points dans trois sens, mais avec des fonctions arbitraires. On parvient à réduire ces fonctions à une seule; et la détermination de cette fonction des deux coordonnées transversales dépend de Tintégration d'une équation du second ordre aux dérivées partielles, sous la condition exprimée par une équation au contour. Ces deux équations indéfinie et définie sont celles qui caractérisent, comme nous venons de le spécifier, les surfaces légèrement courbée dans lesquelles se changent les plans des sections, car la fonction inconnue représente la petite ordonnée de cette surface. L'intégration donne une série transcendante quand le contour des sections est un rectangle, mais simplement une fonction entière du troisième degré pour une multitude infinie de contours courbes, au nombre desquels se trouvent l'ellipse et le cercle.

De cette analyse, parfaitement rigoureuse tant que les déformations restent exti*émement petites, et dont les conclusions générales peuvent s'étendre à tout prisme ou cylindre de matière homogène quelles que soient la forme du contour des sections et la variabilité de l'élasticité en divers sens autour de chaque point, l'on déduit que si la surface latérale n'éprouve d'un bout à l'autre qu'une action ou nulle ou normale et constante comme celle de l'atmosphère, et si ses bases sont sollicitées : i« normalement par des forces qui varient, sur leurs divers éléments superficiels, comme une même coordonnée transversale, mais dans deux proportions qui peuvent être difiérentes sur ces deux bases, bien qu'elles y aient des résultantes égales et opposées^ S"" tangentieilement, par d'autres forces, dont les intensités et les directions, les mêmes sur les éléments honMH logues de ces mêmes bases, dépendent, et de la différence des deux proportions dont on vient de parler, et de la forme du contour; le prisme ainsi sollicité fléchira en arc de cercle quand les deux proportions en question seront les mêmes, ou les forces normales égales aux points homologues des deux bases, et quand les forces tangentielles seront nulles ; et, dans tout autre cas, il fléchira suivant .les courbes que fournit la théorie ordinaire (n^* X à XV ci-dessus), dont les formules sont, ainsi, exactement vraies en ce qui concerne les tractions et les dila-

HISTORIQUE. ClXXXlX

talions longitudinales des diverses fibres, ainsi que les moments de flexion (^), sous la condition du mode particulier ici supposé d'application et de distribution des forces sur les bases extrêmes, forces dont les composantes tangentielles ajoutées ensemble pour un certain sens (qui diffère quelquefois de celui de flexion, n» XVI) donnent pour somme Veffort tranchant ou transversal, égal d'un bout à l'autre, et dont le produit par le bras de levier forme le moment de flexion en un point quelconque.

Mais la théorie nouvelle, en offrant une vérification de la théorie ancienne dans ce que celle-ci donne, et sous une condition qu'elle spécifie, révèle des faits que la théorie ancienne ne donne pas, savoir le changement léger de la forme du contour des sections, et, de plus, leur inclinaison sur les fibres, amsi que leur incurvation, et par conséquent Texistence de glùsements transversaux de ces sections les unes devant les antres, ou longitudinaux des fibres les unes contre les autres, circonstances qui augmentent les flèches de flexion, et peuvent influer sur les grandeui*s des réactions de certains appuis (note du n** XVll), et qui, surtout, modifient quelquefois d'une manière sensible l'établissement des conditions de résistance (*).

Ces résultats fournis par l'analyse, mise en œuvre légitimement au moyen de suppositions que la suite justifie, peuvent être vérifiés à posteriori, soit par un calcul, comme on verra

(^) Cesl-à-dire que si, x étinl i^ie eoordODoée IrtntTersale, p» et pi deuiooD- BUnlet lioéairet, £ le modale d'élaitidté d'eUeniioD, les él6meDU dco de§ deux

btset <o lODi follicités aormalemeot par dei forces — zdtù, — zd(ù, el langeotiel-

P» Pi

leseat par des forées dont la somme de composantes dans le sens z est

Pr= — ( ) (I étant le moment d'inertie de ia section et a la longueur

« V P« Pi / du prisme), le moment de flexion sera, à une distance x d*ane des extrémités,

P(a— a?; P(a — f), et la dilatation de la fibre dont Vordonnée est 2 sera

Kl

a V p. pi /

(S) Note du n* 454. p. 216>S36;et, aussi, SS ^^» P- 383, et 5S, p. 453, de la note du n* 466.

CIC BÉSISTANCI DBS SOLIDES.

k rAppendioelH (§$ 36, 37, p. 643, 613), soit d'om manière géométrique et élémentaire comme on verra à la note dn n* 80 (SS 3, 4, 5, p. 34 à 39) en ce qui concerne la flexion proprement dite, et, à celles des n*' 152 (SS 9* 3, 4, p. i89 à 190) et 156 (SS ^y ^6, p. 389 à 413) en ce qui regarde les glissem^its qui l'accompagnent, enfin sous une forme didactique et à peu près synthétique à l'Appendice II (S i3, p. 537). La démonstration élémentaire (*), pour la flexion, est fondée sur ce lemme, que quand des fibres traversant une même section éprouvent, suivant leur longueur, des dilatations ne variant que linéairement avec les coordonnées mesurées sur cette section, il est toujours possible de modifier leurs petites bases de manière que oes fibres, ians cester d'être contiguês, subissent les mêmes contractions transversales, suites de leurs dilatations longitudinales (n' XXXH), que si elles formaient autant de petits prismes isolés, en sorte qu'elle ne se pressent ni ne s'attirent nullement l'une Tautrc par leurs faces latérales dans un sens perpendiculaire à leur longueur. Un lemme semblable a bescûn déjà d'ôtie invoqué, même pour démontrer la loi plus simple et généralement admise, de rallongement d'un prisme, sans flexion, quand il n'est que tiré d'une manière uniforme sur ses deux bases (note du n*» 21, § 3, p. 16).

Et l'on obtient approximativement les grandeurs des glissements, quand une pièce mince est sollicitée de champ à fléchir, lorsque sa largeur est beaucoup plus petite que son épaisseur dans le sens de sollicitation, en posant Téquilibre d'un petit élément longitudinal. On en déduit la forme de la dottcine du troisième degré que les sectioife doivent aflecter, en tenant compte des contractions transversales qui accompagnent les dilatations. On prouve d'une autre manière, aussi fort élémentaire, que les fibres d'une pareille pièce doivent adhérer ensemble et exercer les unes sur les autres, longiludinalement, des actions considérables, sans lesquelles la pièce solide ne résisterait pas plus à la flexion que plusieurs planches minces

(1) Fin du Blémoiro iur la flexion, de 4864, imprimé tu Journal LiouTille 4SS6, art« 31. Voir auMi note ci-aprës du d«» 80, p. 35, et Appeadioe H, p. S34; et aussi. Appendice complémentaire $79, h*>, p. 767.

HTSTORIQUB. CIC]

superpoeées, de même largeur et d'égale épaisseur totale, comme on a dit au n* XVIII, p. cxxv. Or on en déduit la Ta^ nation approchée des glissements, et la nécessité de la courbure des sections en doucine (note du n* 156, S 45, p. 389).

XXXIX. Sor les solotions indirectes en général. Remarque d'Ampère. — Les solutioqs dont on vient de parler^ et même les équations particulières dont on doit les tirer, s'obtiennent, comme Ton voit, d'une manière plus ou moins indirecte, en prenant plusieurs données dont on reconnaît ensuite l'accord mutuel, ou la compatibilité entre elles ainsi qu'avec les lois (\c IVlasiicité, c'est-à-dîre en feisant plusieurs suppositions dont la légitimité est ultérieurement vérifiél* Et môme, le plus souvent, au lieu de déduire, de l'équation supposée donnée du contour des sections, celle des surfaces courbes dans lesquelles leurs plans se changent, on est obligé de poser celle-ci, en les astreignant à satisfaire à leur équation différentielle dite indéfinie, et d'en déduire les contours correspondants.

Cette marche ne doit pas plus étonner qu'empêcher de regarder les résultats comme exacts. En mathématiques, les solutions tout à fait directes, par dégagement des inconnues, sont extrêmement rares. On ne résout le plus souvent les problèmes que par essai et vérification. Cela se voit dès l'arithmétique par les opérations de l'extraction des racines, et même de la division numérique, et par toutes les solutions dites de fausse position, qui conduisent au résultat soit d'un seul coup soit par une suite d'approximations. Le calcul intégral n'est guère qu'une collection de résultats inverses; on peut remarquer spécialement que l'intégration des équations aux dérivées partielles, dans les problèmes analogues à ceux de la chaleur, ne s'obtiennent qu'en choisissant et vérifiant quelque solution particulière dont on part pour composer par addition la solution générale et complète en une série dont on détermine ensuite les coefiicicnts, en montrant finalement que cette solution obtenue est unique par cela seul qu'elle satisfait à toutes les conditions du problème, vu qu'il est complètement déterminé.

CXCfj BÊSISTANCE DES SOLIDES.

C'est précisément ce que nous faisons pour nos solutions de questions d'extension, torsion et flexion des pièces élastiques.

C'est ainsi qu'en physique même la découverte des lois des phénomènes s'opère par la méthode A' explication^ comme disait Ampère, ou de synthèse inverse, bien plus que par la déduction directe ou par l'induction pure que préconisait Bacon sans l'avoir jamais appliquée (^).

XL% Problème le plos fénéral de ce ^enre, traité fiar M. Clebseli. — Ce professeur éminent, qui de Carisruhe vient de passer à l'Université de Giessep^ a eu l'idée d'embrasser dans une même analyse toutes les solutions ci-dessus (*), en partant seulement de nos données sur les actions extérieures latérales, et de ce que nous y ajoutions constamment, sauf vérification, pour l'intérieur; et il a bien voulu donner notre nom au problème général : a Déterminer quels sont les systèmes des forces qu'il faut appliquer aux bases extrêmes d'un prisme pour que, ses faces latérales étant fibres, les sections int^eures longitudinales (ou les faces des fibres) ne supportent rien dans le sens transversal, ou perpendiculaire aux arêtes, et quels sont les déplacements ou les diverses petites déformations qui résultent de cette application. » Il trouve que les déplacements transversaux qui y satisfont sont exprimés par des fonctions entières du troisième degré des coordonnées, et que les déplacenients longitudinaux se composent d'une pareille fonction, plus une autre qui dépend de la solution d'une équation du second ordre aux dérivées partielles à deux variables. Et il remarque que cette dernière fonction peut être décomposée en quatre autres, qui, isolément, seraient relatives aux cas : i" d'extension, S* de torsion, 3** et 4** de flexions simples autour des deux axes prindpaux d'inertie des sections. Ces quatre sortes de déformations sont les seules que puissent prendre les prismes ou cylindres.

(1) Ampère. Buaisur îa philotophie dêt tcienceti 4834et 4S43.

p) Théorie der BlaslicUiU Fetter Kdrper, 4868.

{*) G*etl-à*dire que li x eii li coordonnée longiludioale, on ait, ptrUml, dani l'iotérieur du prisme, comme sur tes faces lat^ales, les compotaotes de pnisloa Pyyi P««f Pys nulles, mais non pas les oompoaanles longitudiiialea p»m, Pyc

HISTORIQUE. CXCiij

sollicités sur leurs bases de manière que, sur les faces longitudinales intérieures, il n'y ait d'actions que parallèlement aux arêtes; et il faut, pour que cela ait lieu ainsi , que les forces soient appliquées et distribuées, sur les bases, des diverses manières que nous avons déterminées dans nos deux mémoires. Mais M. Glebsch observe ensuite, comme nous, que lorsque, au lieu de ces forces, on en applique d'autres qui agiraient de la même manière sur un corps rigide, c'esf- à-dire qui aient la même résultante et le même couple résultant^ que celles-là, mais qui soient autrement appliquées et réparties vers les extrémités des prismes, s'il en résulte quelques actions transversales sur des faces longitudinales intérieures dans de petites étendues à partir de ces mêmes extrémités de prismes d'une certaine longueur, cela n'empêche pas les formules de donner toujours leur extension, leur torsion et leurs flexions avec toute l'approximation désirable.

De nombreuses expériences, ainsi que nous Tavons déjà dit au n" XXXV, prouvent en effet cette presque indifférence du mode d'application et de distribution des forces vers les extrémités; et cela, non-seulement pour les deux cas, cités à ce numéro, d'extension simple d'une tige et de torsion d'un cylindre circulaire, qui se résolvent exactement par la méthode pure^ ment inverse, mais aussi pour ceux de flexion, dont les formules, fournies par la méthode mixte, l'étaient déjà par les hypothèses de la théorie ancienne ; théorie qui supposait tacitement (il faut le remarquer) ce que la nouvelle exige et énonce, à savoir l'action, sur les bases, de forces distribuées suivant le mode assigné pour toutes les sections intermédiaires, et qui n'est jamais réalisé sur les sections extrêmes. La même presque indifférence du mode de distribution doit avoir lieu pour l'emploi des formules nouvelles qu'a fait découvrir la même méthode mixte ou semi-inverse, simple instrument servant à appliquer les mêmes principes à des cas plus complexes.

Les solutions exactes que donnent ces deux méthodes, qui n'en font réellement Qu'une, fournissent pour l'extension, la torsion, les flexions d'un prisme, une sorte d'état-type ou limite, susceptible d'être comparé à celui qui est déterminé en

CXCiV RÉSIBTANGB DK8 SOLIDES.

physique mathématique dans beaucoup de phénomènes d'Un autre genre» Il est, pour les diverses sections, à une dtstanM sensible de chaque extrémité, ce qu'est l'état permaHmt d*un écoulement d'eau, ou l'état de règlement auquel arrive te mouvement d'une machine quelques instants après celui où elle a commencé à se mouvoir, vu que l'action des causes constantes efface promptement l'efiet des causes initiales. C'est un état qui se continue de lui-même une fois qu'il est atteint, et vers \e^ quel converge promptement jusque-là l'état réel du prisme étendu^ tordu ou fléchi, quel que soit le mode d'application des forces données vers les extrémités, à mesure que l'on considère des sections de moins en moins voisines de celles-ci; car^ îd, le r^lement s^opèrc par Vespace et non par le temps.

On le vérifie encore en remarquant que des forces qui se font équilibre sur une petite partie d'un prisme (en caoutchouc^ par exemple), telles que celles qui viennent des mâchoires d'une tenaille^ ne produisent guère d'impression au delà de cette petite partie où elles agissent (note du n» 80, p. 41) 5 d'où il suit, puisque deux Systèmes de forces statiquemcnt équivalents ne diffèrent l'un de l'autre que par des forces qui se font ainsi équilibriez qu'ils doivent ^ appliqués vers une même extrémité d*un prisme^ produire sensiblement le même effet sur toute sa longueur hot^ une portion extrêmement courte vers cette extrémité.

On petit donc, quel que soit le mode d'application et de distribution, vefs les extrémités, do forces ayant une résultante et un moment résultant déterminés, se servir très-approximativement deé fortnules dont la rigoureuse exactitude exigerait un certain mode particulier de distribution et d'application.

Et il est heureux qu'il en soit ainsi, car, comme nous avons dit au n* XXXV^ )ô mode réel lui-même^ ou le mode censé donné, t^t toujours à peu près inconnu; et si le problème des déformations dues fe des pressions connues aux divers points de la surface était résolu pour les prismes, comme M. Lamé Ta résolu pour Itt sphèiie, il resterait inappliqué faule <Pen connaître les données dans chaque caâ. On ne connaît en effet jamais que les résultantes et le^ moments résuttailts des forces qui agissent sur «m «oHde par Hv^termédiaire d^âutres solides. Et la solution