XLI. Tl^es fiiilnlineiit minceii, M. tLtftlitaolf

Ces formules sont d'ailleurs exactes quel que soit le mode d'application des forces aux extrémités des prismes, lorsque cettx-ci ont des dimensions transversales infiniment petites par rapport à leur longueur. M. Kirchhoff l'a démontré au moyen de considérations délicates appartenant, à proprement parler, plutôt à la cinématique qu'à la mécanique, car elles lui servent à exprimer analytiquement (voy. Appendice complémentaire §§ 95 et 96^ p. 830 à 844) les déformations qu'un pareil solide est susceptible d'éprouver indépendamment des forces capables de les produire, en mettant pour seule condition que certaines quantités se deviennent pas infinies vis-à-vis d'autres, ce qui revient à ce qu'il n'y ait rien de brusque dans les variations des diverses quantités d'un bout à l'autre de la tige dont on s'occupe.

Ces déformations ne peuvent être, comme le prouve son analyse, que des combinaisons de celles des espèces qui ont été considérées ci-dessus, c'est-à-dire, pour chaque tranche ou tronçon infiniment court, une extension ou contraction longitudinale commune à tous les éléments du second ordre, des extensions ou contractions transversales, aussi communes à tous, enfin des flexions en deux sens, et une torsion. Or on déduit de là, en y joignant toujours notre supposition, ultérieurement vérifiée, de pressions intérieures transversales nulles . mil les sections longitudinales quand les forces ne sont appliquées qu'aux extrémités, la vérification de toutes nos formules (hors ceUes des glissements sans torsion, car ils sont infiniment petits du second ordre et négligeables dans un pareil solide). Nous avons déjà parlé (à une note du n** XXI) de l'extension possible de l'analyse de l'éminent géomètre-physicien de

I ' Heidelberg, à des tiges naturellement un peu courbes, et un peu tordues ou torses, et, aussi^ de grosseur variable lentement et graduellement.

XLII. Emploi du potentiel des forces moléculaires, ou de leur travail entre l'état naturel et un état de torsion déterminé* IVawier. Qreen. Qanss. Thomson. M. Clapejron. — C'est, comme nous avons dit au n^ XXIII, en se servant de la méthode de la mécanique analytique de Lagrange, légèrement perfectionnée au moyen du calcul préalable du potentiel ou du travail virtuel^ fini de toutes les forces en jeu, pratiqué par Navier dès i82i,' que les savants de l'Angleterre et de l'Allemagne ont traité les questions de l'élasticité. Green^ d'abord^ en 1837-1839, dans ses deux célèbres mémoires sur la lumière^ a réduit par cette considération et en usant d'un raisonnement original (tiré de l'impossibilité du mouvement perpétuel), les coefficients des formules à vingt-un comme nous avons dit, ce qui ne préjudicie nullement à leur réduction à un nombre encore moindre par d'autres considérations qui sont toujours inévitablement invoquées^ et il a posé et ingénieusement mis en œuvre les formules exprimant jusqu'aux quantités très-petites du second ordre, ces six quantités que nous appelons dilatations et ^/tVsements qui se présentent dans tous les calculs, et que le savant M. Macquorn-Rankine appelle strains [foulures^ déformations), tandis qu'il nomme stresses les six composantes de pression suivant les mêmes axes rectangulaires. On doit^ sur le même sujets à MM. Mac-Cullagh^ Haughton, W. Thomson, Stokes, Maxwell^ Kirchhoff, Clausius, Charles Neumann, Glebsch^ et, antérieurement^ à l'illustre Gauss, des vues nouvelles et d'utiles considérations que nous avons citées et. dû discuter à l'Appendice V et à l'Appendice complémentaire. M. Rankine, surtout, a fait sur les lignes qu'il appelle axes» d'élasticité j par rapport auxquelles certaines forces élastiques se distiîbuent symétriquement, un travail digne de remarque, où il classe les coefficients des formules (au point de vue où l'on en compte 21 distincts] et où il généralise, pour des axes coordonnés obliques, la considération des glissements, qu'il appelle

HISTORIQUE. CXCVij

alors quasi-distorsions (^], et celle des composantes de pressions, ce qui lui permet d'expliquer diverses formes cristallines.

Le potentiel n'est autre chose, en ce qui regarde les forces moléculaires^ que le travail qu'elles sont capables de fournir par détente jusqu'à annulation de leurs diverses résultantes ou des pressions à travers les faces des éléments, c'est-à-dire jusqu'à retour à l'état naturel ou sans pression ni tension ('). Comme sa valeur est égale à celle du travail de déformation du corps élastique dont on s'occupe, depuis son état naturel jusquà celui ou on l'envisage, elle est la moitié de cette quantité dont la considération et le calcul, par M. Clapeyron, lui ont servi à résoudre quelques questions de pratique, principalement en ce qui regarde la résistance des ressorts (voy. n"* LII] (').

(Pour l'historique du problème des surfaces, vases ou plaques élastiques, voy. n" LVIII, LIX, LX.)

(*) n lei mesare, en coniidérant on petit paraUélogrimme dont le^ côtés sont des lignes matérielles parallèles à deoi des axes coordonnés obliques, par le petit cheminement ou glissement d*an des cotés dcTant le coté opposé, ditisé, non par leur distance, mais par la longueur d'un des autres cotés, ce qui

dv dw donne toujours des expressions telles que t "^^"^V ®' ^ ^^^^ '®* coordonnées

dz dy

obliques, v, w les composantes ou projections obliques du déplacement d'un point dans leurs sens. {On Axe% of EUuticity and cryttalline Fomu, Trans. of the Royal Society 1855.)

(*) Sa considération donne, par exemple, le trai sens à ce que nous afons dit au n<* XVIII, que la résistance à un glissement équlTaut ou peut être attribuée aux résistances à une extension et i une compression simultanées dans des sens diagonaux o\x obliques. {F, aulsi$6 de la note du n" 453, p. 493, et-Appen dioe eompl., p. 768.] On trouTe bien en effet, au moyen de Fexpression (499

4^ = - ^g^xx^^K + ...) p. 788, du potentiel ou du trarail par unité de tolume

pour des déformations d^, ..., gjey, et de la formule symbolique (S35) ^mtytKt^t = [(axCxxr+ayCyx/j (*«Cjpy/-f ayCyy/)]' dc Is page SOS, de transformation des coefficients pour de nouteaux axes cordonnés a[f, y' (l'axez restant le même), que le trarail mo*

lécolalre de déformation <fr^ par unité de Tolume, dû à des dilatations d« = - g,

^ y =r - g dans les deux directions rectangulaires anciennes x, y, est égal à celui

qui est dû au glissement gx\>=g pour les deux nouTelles x\ y', supposées faire an angle demi-droit aiec celles-li.

O Le théorème de M. Clapeyron consiste, à proprement parler, en rà que le

CXCViij BÉSISTANGB DES SOLIDES.

XUIL IVombre dem ceeflleleiifs des toriii«le« de Télmmiieité. — Nous ne reproduirons pas ici l'hiçtorique^ fort détaillé à notre Appendice V, de l'opinion qui s*est formée de la dualité des coefficients dans les formules des corps isotropes; et de l'indépendance des trente-six coefficients de ceUes des corps hétérotropes^ ou au moins de vingt-un d'entre eux, sans qu'on ait jamais réfuté l'analyse par laquelle Gauchy a prouvé que ces coefficients ne sont qu'au nombre de quinze indépendants dans le cas le plus général docontcxture, et se rédui< sent à un seul pour la contexture isotrope. Nous ne rappellerons pas que la loi des actions moléculaires, sur laquelle Gauchy et Poisson n'ont jamais cessé de se baser, et dont la mise en œuvre^ même sans calcul^ conduit infailliblement à cette réduction, est inévitablement invoquée dans toute la mécanique, spécialement lorsqu'on pose des formules linéaires pour ks composantes des pressions, car, sans cette invocation au moins tacite, il serait illogique d'cxciper de la petitesse des variables qui y entrent pour donner à leurs fonctions cette forme plutôt qu'une foule d'autres. Nous renvoyons donc surtout au résumé^

travail eu quetiion eil exprimé, avec dos uouUoDf , par

J {Pxx^x -f Pyj^y + Pzi^z + Pytiyt + P«*f ix + P*vixy),

Nous mclloDs 4/2 parce que ce travail est produit par des forces dont les intensites commencent par téro et croissent uniformément.

Il est facile de voir que si la distribution des élasticités est elUptoiiale^ comme au § 89, p. 811, de l'Appendice complémentaire» et ainsi qu'on doitgéDèraleoient le supposer dans les corps amorphes ou i cristallisation confuse, et si 1*od particularise Texpresslon (190) p. 788 de «^* en conséquence de (2i9) p. 805, en élisant a = (2-f »)a*, i)=C^-f «)*S c=(S+Oc«, d=6c, e=ca, f=<0 d'=sbc, e'=ka^ V = iabf qui satisfont à ce mode de distribution (page 81 1 ), on a pour le poieutiei 4»\ en mettant i la place dei dilatations et glisaenaQia louis valtura tiréea des formules do composantes de pression y relatives

2(8 + 3;)V a "^ 6 "^ c j "*■ 26c ■*" tca "*" %ab

expression qui est identique avec celle de M. Clapejron quand a* = 6*;=c*={it

s = - (7* kçon de M, Lamé, 1852, § 32, p. 82), et qui montre que l'expression

du travail moléculiiire est aussi simple quand il y a distribution ellipsoïdale que quand il y a distribution sphérique ou Isotropie.

liiSTOIIlQUK. CXCiX

$ 75 4a l'Appendice oité, p, 746-762; et li^ dans nos formules, QQUS oonservons dos coefficients en plus grand nombre (au aK>yen d'accents)^ ce n'est pas que nous doutions de la réduotibUité soutenue par nous, c'est afin de montrer que nos résultats ne sont point subordonnés à Topinion controversée, et, aussî^ parce que les calculs présentés en conservant Si coefficients contribuent peut-être à avancer quelque branche de Tanalyse, un jour applicable à d'autres sujets analogues à la théorie de l'élasticité.

XUV. Mfiiiièresi succefl^lTemevit proposées d'é||i« bllr les çondlUoiis de 1» réfllstunee è I» mpiuro élQtgnée. Préfércnee à doiuier à 1» |lmI<A4toii des dllutnUons positlTes. 9li^rlo4te. Hi Pooeelef. Cas où 11 j » slmaltuiiémeitil Qeiilop et torston, e(e. — Le problème pratique le plus impoiitant sur les solides em** ployés comme matériaux est celui de l'établissement dpf cçn«ditiQi)§ de leur résistance i la rupture prochaine ou éloignécf^ et même h une altération nuisible de la forme. C'est môme, comme le remarque M. Lamé (^), la nécessité d'établir complet tement ces conditions qui a^ si ce n'est donné naissance à la théorie de l'élasticité, au moins déterminé les recherches pour sa constitution la plus complète»

Galilée, Leibnitz, etc., ont imposé^ pour cette stabilité de la cohésion des pièces solides, la condition que nulle part, i^ travers leurs faces intérieures, les ien$i<ms éprouvées n'excèdent uw COr? taina intensité qui varie, par unité superficielle, avec la matière.

Presque tous leurs successeurs jusqu'à nos jours, y compris Coulomb, ont adopté cette manière de voir, en limitant aussi le9 pâmions dans la vue de prévenir Vécrasenmi des fibres cQimne leur rupture par séparation longitudinale.

Cela peut suffire dans les circonstances ordinaires où les SO" lides, de forme allongée, ne sont que fléchis en même temps que tirés ou pressés dans le sens de la longueur, leurs faces latérales étant libres, en sorte que chaque fibre se comporte

(*)<'• leçon, 8 3.

ce RÉSISTANCE DES SOUDES.

comme un prisme isolé. Et c'est de cette manièreque Navierpose, dans tout son article IV, les équations de non-rupture par flexion, qu'il établit même directement sans les déduire, comme il l'aurait pu^ des équations de l'article lU où il traite de la flexion.

C'est aussi^ par analogie, à l'article YI, en limitant l'intensité des efforts tangentiels sur les éléments des sections transversales, qu'il établit comme Coulomb la condition de résistance à la rupture par pure torsion.

^ais, dès 1T82, Mariotte posait un autre principe, car il re- , marquait que a les parties étendues ne rompent que parce que leur extension vient à dépasser une certaine proportion {*), » et ce principe est évidemment plus vrai, car les molécules ne se séparent tout à fait que parce qu'on les a écartées à un certain degré de manière à diminuer l'intensité des attractions qui les tenaient unies. Navier invoque ce même principe de limitation des dilatations ou extensions en divers endroits, par exemple au n* 112 ci-après, où il dit que la rupture a lieu quand les flbres étendues ne peuvent plus l'être davantage sans séparation^ ce qu'il répète au n* 152 en tentant de traiter un cas nouveau; et il l'applique, même, dans la note (a) du n» 167 (p. 507) comme seul capable de conduire à comparer théoriquement entre elles les deux limites [U et T) des intensités des résistances spécifiques à la flexion et à la torsion.

Ces deux principes, ou ces deux manières de poser Véquation de cohésion (*), donnent (ainsi qu'il a été montré dès 1837^38 par des exemples à notre cours lithographie) des résultaisforldifféreuts dans plusieurs cas^ et ce ne sont pas seulement les cas où il y a simultanémf'nt flexion et glissement ou torsion, on peut en donner aussi des exemples où il n'y a que des tractions; car si l'on imagine deux cubes égaux et de même matière, dont l'un est tiré sur ses six faces normalement et également, et le second seulement sur deux faces opposées, par des forces de même intensité que celles qui sont appliquées à toutes les faces

(») Traité du mouvement des eaux, 5« partie, 6* eH3« alinét du fécond discoun.

(>) Nous «Toos préféré reUe dénominaiion i celle ^équation d'écarrjpage employée dans def Cours de l'Ëcole de Metz. Celle qui ne donne que les flexions, eic. y est appelée équation d^élaslicité.

HISTORIQUE. CCJ

du premier^ un calcul facile^ fondé $ur la théorie des corps ' élastiques isotropes, montre que la dilatation maximum sera deux fois moindre dans le premier cube que dans le second, en sorte que celui-ci éprouvera un danger de rupture double de celui-là, bien que la tension intérieure la plus grande soit la même pour tous deux.

Aussi M. Poncelet, dans son cours de mécanique industrielle professé en 1839, où il a bien voulu nous citer, a conseillé de préférer décidément la seconde manière^ celle qui impose une limite aux dilatations éprouvées. On lui doit, à cette occasion, comme nous avons déjà dit au n° XVlï , d'avoir ramené théoriquement la résistance aux compressions longitudinales à la résistance aux extensions transversales qui les accompagnent quand les faces latérales sont libres (^); et cette explication est d'accord avec les faits, car, outre ceux que nous avons cités à ce numéro, et celui de la séparation d'une sorte de coin de pièces de fonte du cdté devenu concave, l'expérience des effets d'une puissante machine à courber les bois en les contenant de manière à empêcher, comme on a dit lors de son exposition en i 854, les fibres comprimées de se boursoufler latéralement, vient bien à l'appui de la remarque de l'illustre académicien a que le rapprochement moléculaire ne peut être une cause de désagrégation, d ( F. p. 6.)

D'où il suit qu'il suffit de limiter, en tous sens, les dilatations positives dans un sens ou transversal ou oblique, comme on fait pour les dilatations longitudinales, mais à un autre taux si la matière n'est pas isotrope, et en ayant égard à ce que les pressions sur deux bases rapprochées empêchent les dilatations transversales de s'opérer librement

Si la pièce dont on veut assurer la cohésion permanente est d'égale contexture dans toutes les directions, il suffit d'imposer une limite déterminée à la plus grande des dilatations qu'elle éprouve; et, pour obtenir la grandeur et le sens de celle-ci en chaque point, le moyen analytique le plus général est de construire, pour ce point, l'ellipsoïde des dilatations. On peut se dispenser de cette construction dans les problèmes usuels de

(*)llotefda n« 3, $ 8, p. 44-42, et du nH56, Mus-DOt« du S 43, p. 381.

CXJj BÊSISTAKGK DES SOLIDES.

flexion avec glissement ou torsion, oii les fibres d'un prisme n'éprouvent que des extensions et contractions longitudinales et transversales, avec ces inclinaisons sur leurs bases qui constituent les glissements, car la plus grande dilatation autour d'un point est fournie alors par une formule asses simple que nous avons trouvée en 1838, et dont M, Poncelet a rendu la démonstration plus élémentaire en la donnant en 1 839-1 i^^^ dans le cours cité (^)«

C'est la dilatation que cette formule donne au point dangereux^ qui est celui pour lequel sa valeur est la plus grande, ou c'est, autrement dit^ le maximum maximorum des dilatations, qu'il convient d'égaler à la limite qu'on no peut dépasser sans danger, pour avoir l'équation de cohésion permanente,

Et, une fois établie, cette formule ou équation peut généralement être débarrassée et des dilatations et des glissements, en leur substituant leurs valeurs en fonction des forces qui les produisent. Par là s'éliminent les coeiBcients d'élasticité (E et Ci)> car on donne généralement à la dilatation-limite une désignation venant de la méthode primitive qui consistait à linnter les forces;

et cette désignation consiste à les exprimer par un quotient ^

ou 2~, en sorte que, bien que dressées avec le principe qui

a prévalu, celui de limitation des dilatations, les équations de cohésion ne contiennent généralement que les coefficients Ra, To dits de cohésion et d'adhésion permanente, c'est<à-dire les limites des forces, ce qui e^tsans inconvénient et rend les applications plus faciles.

XLV. Cad où la Umtte dcn dllatattond m'tmt pas 1» mémo en toaa menm. — Mais quand le corps est d'inégale contexture autour de chaque point* ce n'est pas la plus grande des dilatations qu'il convient d'égaler à une limita déterminée, car la limite des dilatations non dangereuses varie avec la direction, dans un corps même homogène, s'il est héié-

(1) MàiDO Miii-noie du $ S3 Ue la nolo du o* 150, p. 37S.

mSTOKIQUE. cciij

fvirope; elle doit» par exemple, évidemment pour le bois, avoir ' une tout autre grandeur dans le sens de la longueur dea fibres que dans un sens perpendiculaire*

Il faut donc imposer généralement la condition que, dans au* cune direction, la dilatation n'excède une limite relative à cette direction. C'est du rapport de la dilatation à cette limite corrélative qu'il convient de rechercher le maximum, afin d'astreindre ce maximum à ne pas dépasser l'unité.

Comme on ne peut guère détei*miner par expérience ces li- | mites que pour quelques directions principales, on leur suppo- ' sera, pour les directions intermédiaires, une loi de variation ' continue; celle qui se prête le mieux au calcul est que les ra- • cines carrées des inverses des limites soient représentées par les \ rajons vecteurs d'un môme ellipsoïde. La condition de stabilité . sera que cet ellipsoïde reste compris tout entier dans l'intérieur de celui qu'on a vu être formé par les racines carrées des in- > verses des dilatations^ prises aussi pour rayons C). L'expression de cette condition conduit à une équation du troisième degré dont une des trois racines (la plus grande] est le rapport maxi- 1 mum de la dilatation à sa limite de même direction pour le point | que Ton considère (*).

(*) Ces deux ellipsoïdes peuvent être remplacés par deux autres plus faciles à conceTOir (page 782, équations 49C et 197) dont les rayons vecteurs ont simpleoieQl pour grandeurs runiio plus la dilalalioo, et l'unité plus la limite, dans les diverses direciions de ces rayons.

(^ C'est celte équation du troisième degré (40o bU) qui so trouve à la S* ooio du $ Sa de TAppendice complémentaire, p. 781. On l'obUeni en appelant 6r la limite pour une direction r faisant, avec les directions principales j;, y, z, des aaglei dont les cosinus sont c^, Cy, Cs, et tx, Oy, 64 les valeurs de ôr pour les directions Xy y^ z, en sorte que

Ôr = ax C** + Ôy C«y + 6s C^.

Or la dilatation de même direction est (formule 9 de la page 3o3),

Dr = «)j:C*x + î^y C*y -f t*«C«,4- gy« Cyf» + gaxCs Cj5-|- fxyCyCy.

La condition de cohésion sera que dr = ou > Dr partout et en tout sens, ou que

D,. Cr

la valeur maximum de — ,pour laquelle on a d — =r 0^ soit au plus égale à Tu-

Or Or

nilé. Si, dans celle équation, écrite

ÔrdDr — DrrfÔr=Oj

nous mêlions pour Sr el Dr Icuf* valeurs, en diflérenliaul par rapport aux Uois

CCiV RÉSISTANCE DES SOLIDES.

Cette équation est réductible au second degré quand les rapports des dilatations à leurs limites sont les mêmes dans les directions de deux coordonnées transversales^ et encore lorsque ces rapports sont assez peu différents pour pouvoir être approximativement remplacés par une certaine moyenne^ ce qui est le cas le plus ordinaire de la pratique (^). La formule ou la condition analytique à laquelle conduit alors sa résolution est aussi simple que celle du cas d'isotropie; et comme elle relie d'une manière continue les divers cas extrêmes^ tout comme faisait la relation entre les limites en divers sens, qu'il a fallu supposer pour établir Téquation du troisième degré, on peut remployer avec autant de confiance que ce qu*on tirerait de celle-ci (*). Aussi en avons-nous fait, aux notes du n* 154 et du n"* 156^ de nombreuses applications à des cas, qui n'ont encore

coiIddi, el si nous èlimiDons une des IroisdiffèreDlielles au mojen de Ccdc« + <^y elcy4 Csdcx = 0, en égalant i zéro ce qui alTccte les deux autres, nous obtenons la triple équation :

{ib xCj--\- gj-y Cy + gsx C») 8r — 3Sx »^ r Cx

Cx ~"

__ («xy Cx + 2<^ y Cy -f gy» cQ ^r — 28y Dr Cy

"" Cy ~

__ (g»x Cx 4- gys Cy 4- si), C) «r — SÔ» t)r C,

Comme la somme des numérateurs de ces trois fractions, multipliés respeetiTement par cx, Cy, Ci, n'est autre chose que i^r^r — 95rdr = 0, et comme la somme des dénominateurs multipliés de même est = 1 , chacun des (rois numérateurs est nul. Il en résulte trois équations entre lesquelles on peut élimioer finalement les rapports des cosinus comme on a fait pages 794, 777, 781, entra les équations (158), |480), (194); il reste l'équation du troisième degré diée

(196 bit) en -p dont la plus grande racine est le maximum de ce rapport en nm

point donné.

(1) Car en remplaçant dans l'équation citée (195 bis) du 3* degré, Tp , .— par

» Ox une moyenne, qu'on peut appeler t)| r- , en supposant gyi = 0 comme daiit loui

les cas de flexion et de torsion d'un prisme dont les arêtes sont parallèles aux x,

Dr D

on peut difiser tous les termes de cette équation par "ni ^ •

îr Ox

(*) Cette équation du second degré est celle du § 43 de la note du n* 166, p. 379 ou 38t.