HISTORIQUE. CCV

été traités nulle part, de corps à la fois fléchis et tordus, comme les arbres de machines sollicités à la fois par deux engrenages et deux courroies, ou en même temps étendus, comprimés et tordus, ou même étendus et cisaillés ou éprouvant des glissements intérieurs autres que ceux qui sont dus à la torsion, comme les rivets, les boulons, etc. La pratique de ces sortes de calculs nous a fait reconnaître que la recherche des points dangereux, ou du maximum absolu du rapport dont le maximum relatif à un seul point est donné par la formule dont nous parlons, doit se faire numériquement, avec emploi final d'une méthode particulière d'approximations successives (^), et non pas par larègle analytique tirée du calcul différentiel, car celle-ci, dans les cas rares où la complication des calculs ne la rend pas impraticable, se trouve en défaut, ou bien conduit à des points hors du contour ou de Tenveloppe, qui ne sauraient convenir. Nous donnons assez d'exemples pour montrer comment cette recherche peut se faire.

Cette formule, fondée sur la limitation des dilatations dans tous | \ les sens, devait fournir et fournit en effet, comme un de ses cas | particuliers, la limite des compressions longitudinales, déduite, comme a fait M. Poncelet, de celle des dilatations transversales. Au reste elle se prête facilement à ce qu'on y introduise, sans en altérer la forme, comme on a dit aux n"* X et XLÏV, les constantes tirées directement des expériences et observations relatives à chaque genre de rupture, et qui représentent des forces, limites des efforts normaux ou tangentiels que la même matière peut supporter d'une manière permanente dans des circonstances déterminées.

XLYI. EiLccptioiui apparentes. — Nous ne prétendons pas, au reste, qu'une théorie subordonnant uniquement le danger de rupture d'un solide à la grandeur qu'atteint une dilatation linéaire n'importe dans quelle de ses parties, et indépendamment des autres circonstances où il se trouve en même temps, soit le dernier mot de la science et de l'art. Une expérience remarquable, citée au S i6 de la note du n' 113 (p. 119), a mon-

(<j $$ 34, 35 de la noie du d» 456, p. 318, 337.

CCVJ RÉSISTAKCC DES SOLIDES.

tré qu'une dilatation énorme^ produite dans un sens tangentid à la surface intérieure du cylindre creux en fonte d'une forte presse hydraulique, mais accompagnée d'une contraction considérable dans un sens perpendiculaire , n'amenait aucune gerçure ni autre désagrégation. Cela peut tenir uniquement, il est vrai, à ce que le cylindre en fonte était contenu et serré dans un fort cylindre en fer, en sorte que les circonstances de l'épreuve s'opposaient à toute disjonction et qu'il n'en pouvait résulter qu'un emboutissage ou (brgcage à fVoid. Néanmoins nous ne saurions assurer d'une manière absolument certaine que ce qu'il convient de limiter ne soit pas une fonction, encore inconnue, des trois dilatations WnésÀves principales (n* XXV), au lieu d'être tmiquement la plus grande des trois ('). Nous dirons seulement qite, quoi quMl en puisse être, cela no changera rien aux conditions ci-dessus indiquées de non-rupture, toutes les fois qu'un prisme ou cylindre, dont les faces latérales sont libres comme à l'ordinaire, n'éprouvera que des extensions ou compressions longitudinales avec des flexions, puisque les deux contractions transversales, pour chaque fibre, sont fonctions de son exten* sfon à laquelle on impose une limite, et que lorsqu'il y aura en même temps des glissements et des torsions, une formule comme celle du § 43 de la note du n* 136 (p. 379 au bas), qui satisfait aux divers cas extrêmes conformément aux expériences, en les reliant entre eux d*uhe manière continue, est dans toutes les conditions requises pour satisfaire aux cas intermédiaires avec l'approximation qu'on peut désirer.

Il peut aussi y avoir rupture de certaines fibres, ou désagrégaition de quelques petites parties d'une pièce solide, sans que la stabilité soit compromise cm que la résistance du reste de la masse soit diminuée. Depuis longtemps Emerson (•) a avancé qu'en faisant subir à une section transversale de forme carrée certaines troncatures revenant à abattre en chanfrein deux arêtes vives de la pièce prismatique à laquelle elle appartient, au lieu

(1) En loui cas, celte fonclioD oe peut éfidemment pas êlre leur somme, ou la dilAatiOD cubique^ car un glissement, ou une torsion, n*eii produit pas, et peut cependant amener la rupture.

p) Emerson't Méchante» (foufent cité par Trcdgold).

HÎSTORÎQUE. CCVlj

d*affaiblir cette pièce supposée solKdtéo à rompre pat* fleitiott daità un plan contenatil une diagonale des sections ^ on augmente sa résistance jusqu'à la proportion d'un neuvième. On

verra aui SS ^ ^ ^^ ^^^^ ^^ ^" ^^^ (P* ®^) ^^ ^ ^^ ^^''^ ^^ n* iiO (p. 435)^ que cette assertion n'a rien de paradoxal^ et qu'elle s'étend même à une section circulaire ou à une section en croix, etc., si Ton veut parler de la résistance telle que la donne la formule; c'est une raison, sî ce n'est pour retrandier effectivement les fibres qui théoriquement ne sont point utiles et qui pratiquement le sont fort peu, au moins pour calctiler la résistance comme si elles n'existaient pas.

XLYII. Matière liétcrosèiic. Matière qui n'eat homegéifc^ que «yiliMlriqveHÉeMt #« mibériqtne- Miemi, ete. — La matière peut être non-seulemeut hétérokrope, mais tmcore hétérogène, ou d une contexture varialiie d'un point à l'autre. On peut alors poser facilement des formules de flexion, comme MiBreases ep faisant varier, dans l'étendue de chaque section de la pièce, le coefficient E, qui, alor8> comme nous verrons (S 7 de la note du n* il, p. 20), ne représente que sous une certaine condition le module d'élasticité des diverses fibres. Où peut, pour les bois, faire varier ce coefficient suivant une loi parabolique (plutôt que suivant la loi linéaire qu'il suppose), & partir du centre des couches ligneuses ; mais, pour les fers, c'est seulement auprès du contour des sections que le changement de nature est sensible, et il convient que les foinnules, soit d'élasticité» êoit de cohésion permanente, se composent de deux termes dont l'un est affecté du moment d'inertie de la section, l'autre de cehii du périmètre (SS "^ ^^ I^ note du n"* 80 et 15 de celle du n* H3) pages 43 et 116); on a donc deux constantes à déterminer par plusieurs expériences, en compensant leurs écarts par les méthodes graphiques ou analytiques connues (p. 43 et 117-118).

Une matière non isotrope, mais homogène, ne l'est pas toujours rectilignement ou parallèlement comme les corps cristallisés ou comme les plaques de tôle dont l'élasticité est constante mais de trois grandeurs différentes dans les trois sens rectangulaires de sa longueur, do sa largeur et de son épaisseur. Kn efftd,

CCViij RÉSISTANCE DES SOLIDES.

qu'on enroule en tuyau cylindrique cette plaque homogène non isotrope supposée mince, elle ne cessera pas d'être homogène, mais régalité d'élasticité aux divers points aura lieu suivant les rayons qui convergent sur Taxe du tuyau ^ et aussi suivant les tangentes à leurs cercles, et non plus suivant des directions parallèles entre elles. Ce tuyau jouit d'une homogénéité qu'on peut appeler semi-polaire ou cylindrique. On conçoit qu'il y a de môme une homogénéité polaire ou sphénquey etc.

Les formules d'élasticité relatives à ces genres d'homogénéité se déduisent de celles du cas de l'homogénéité ordinaire ou parallèle en changeant de système de coordonnées , et Ton peut en déduire diverses conséquences (^).

XLVni. Rupture Immédiate on proelialne. — M. Hodsklnson , etc. — Les équations de cohésion permanente dont on vient de parler n'expriment que les conditions de résistance à la rupture éloignée , ou de stabilité indéfinie de la contexture, vu la petitesse des déformations; et ces équations ont pu être établies (n"" X] à l'aide des équations d'élasti^ cité qui ne s'observent que dans les limites de la proportionnalité des petits effets aux intensités de leurs causes.

Mais lorsqu'on est dans le cas de dresser des projets d'échafaudages, de barraquements y de ponts de service et autres constructions purement temporaires et surveillées d'une manière assez continue pour qu'on soit aveiii à temps de leur chute^ il peut être utile de savoir calculer les justes résistances, à une rupture immédiate ou prochaine , des matériaux dont on se propose de les composer économiquement.

On ne pourrait faire ce calcul exactement que si l'on connais* sait la loi plus ou moins compliquée des extensions et compressions en fonction des efforts jusqu'à l'instant des disjonctions, et par conséquent la situation, à cet instant^ dé la ligne dite neutre ou des fibres invariables. Mais on démontre quelques formules générales qui sont indépendantes de cette loi (comme

(t) Mémoire sur let difert genres d'homogéoéilé mèciniqua (Comptêg rtnimê )1 mai 1860. t. L, p. 990).

HISTORIQUE. CCiX

par exemple celle qui donne la proportionnalité des charges aux largeurs^ aux carrés des épaisseurs et aux inverses des longueurs des pièces) et qui permettent d'appliquer aux pièces de toute dimension et d'une certaine forme les résultats d'expériences relatifs à des pièces de même forme et de certaines dimensions. On doit aussi au savant M. Eaton Hodgkinson la tentative d'un calcul plus général, fondé sur la substitution, à la loi inconnue, d'une loi qui s'en rapproche probablement On peut voir aux §§ S et 3 de la note du n* 151 , p. 175, et 60, 61 de la note du n** 156, p. 461, des calculs de rupture immédiate par flexion et par torsion que nous avons faits en modifiant et généralisant sa supposition, et les conséquences pratiques qui peuvent en être tirées.

XLIX. Pièce» posées et •olUcltée» de diverses manières. Réactlens Ineonmies. Systèmes de eliarpente. Serrai;e et enlace. IVaTier. M. Mleboi». M. Clapeyron y ete. — Ce qui a été dit depuis le n® XII est relatif à une seule pièce sollicitée par des forces supposées toutes connues /et, même, à une seule des parties dans lesquelles on doit souvent diviser une pièce (comme nous avons dit au n* XI, note p. cviij ].

Pour passer aux systèmes^ ou aux ensembles dont sont formées les constructions , et calculer les résistances de leurs diverses parties, il faut, avons-nous dit aussi, déterminer préalablement les forces inconnues ou qui ne sont pas données à priori, à savoir les réactions des points fixes et les actions mutuelles des diverses pièces ou portions de pièces aux endroits où elles se joignent soit avec articulation libre^ soit avec sujétion de conserver certaines directions relativement les unes aux autres, et calculer aussi les inclinaisons nouvelles et surtout les bras de levier définitifs dont dépendent les grandeurs des composantes et des moments des forces dans l'état d'équilibre final du système déformé.

Ces réactions ou actions mutuelles peuvent se déterminer dans un certain nombre de cas en se servant seulement du principe de l'équilibre autour d'un point, et des équations de composantes et de moments que la statique élémentaire établit entre

les seules forces extérieures ou non réciproques qui sollicitent un corps ou un système de corps , les forces intérieures ou réciproques se trouvant éliminées par les additions d'équations partielles posées pour les établir. C'est ce qui a lieu quand chaque pièce est supportée seulement par deux points autour desquels elle peut tourner, et quand les diverses pièces ne s'articulent pas au nombre de plus de trois au même point si leurs directions sont dans un même plan , ou de quatre si elles sont dans des pians différents. Gela se peut encore dans quelques cas où les pièces se joignent au même point en plus grand nombre, quand par exemple elles forment deux groupes symétriques , et , encore , lorsque deux d'entre elles sont directement opposées y car alors on peut établir une relation entre les forces qui agissent suivant les autres pièces en posant y pour l'équilibre , la nullité de la somme des projections de celles-^i suivant une normale à la direction commune de celles-là; et^ ensuite, une nouvelle relation ou les premières forces sont comprises , en faisant les projections sur leur direction même ('); et un pareil artifice pourrait être généralisé pour des cas où certaines pièces concourantes seraient dirigées dans un plan et d'autres dans un plan perpendiculaire^ etc. Ces sortes de calcul ne demandent que quelque attention afin d'éviter les fausses décompositions. On peut encore ramener la détermination des actions inconnues aux principes de la statique des forces non réciproques quand certaines pièces, en métal ou en bois, doivent être serrées; tendues ou calées^ après leur pose, au point qu'il faudra pour que plusieurs réactions s'annulent, par exemple les poussées horizontales d'une ferme de comble, ou bien pour que certains points n'éprouvent aucun déplacement ou restent en ligne droite, ce qu'on peut chercher à obtenir, par exemple, des appuis multiples d'un albalétrier, etc. Alors les gr^mdeurs et les directions d'une partie des réactions se trouvant connues, les équations de la statique élémentaire peuvent fournir assez de relations pour déterminer les autres. C'est par cet artifice, ou

(^] C'eit le cas de cerUinei poulrei en treillU nmjpU, eompoêéet de irian§tot JuxUipofét.

HISTOBIQUE. CCXj

en conséquence de cette remarque sur les conditions dans les- ^ quelles se mettent en place certaines constructions, que M. Michon^ capitaine du génie en iSiS et chargé alors d'un cours à . TÉcole d'application de Metz, a donnée pour les résistances des ' diverses fermes de charpente à grande portée et à tirants mé- . talliques horizontaux et inclinés dont on recouvre les larges hangars ou les gares^ des calculs complets^ faits avec soin et talent, qui ont été reproduits à peu de chose près dans les ouvrages récents de M. Morin et de M. Bresse.

Mais, comme l'observe très-bien Tun de ces auteurs, il est difficile de réaliser et surtout de maintenir pour les tirants^ etc. le degré de serrage qui rend exacts les résultats de ce procédé de calcul, en sorte qu'il en laisse désirer un autre où les tensions pourraient avoir diverses valeurs^ au nombre desquelles il faudrait considérer celles qui s'établissent d'elles-mêmes sous Taction de charges données Ô)*

Et il y a aussi^ comme nous avons vu (n» XI), même pour une seule pièce^ ou pour des assemblages fort simples^ des cas nombreux où les théorèmes élémentaires de la statique ne suffisent pas à la détermination de la répartition des efforts. Enfin les déformations changent les bras de levier et les inclinaisons, sur les tangentes aux fibres moyennes, des forces même patentes ou connues à prioriy et ce sont les inclinaisons et les bras de levier défmitifs qui doivent entrer dans les composantes et dans les moments dont il faut tenir compte pour assurer la stabilité, en sorte que l'établissement des équations de résistance demande, à double titre, la détermination préalable ou simultanée des déformations des pièces ou des déplacements de l^urs points.

(*) M. Poncelet, dans son rapport da 6 août 4839, qui m trouTC aux Compter rendu», t. IX, p. 300, et aussi en tôle des utiles Étudei théorique» et expérimentale» sur Vétàblitsement de» charpente» à grande portée (in-4", 4840), de feu le général Ardanl, remarque que l'oo pourrait^ même par flexion^ en employant des moyens de force, annuler, au Moment de la pose, la poussée horizontale de beaucoup d'autres fermes retroussées ; mais il obserre aussi que les calculs incomplets ou simplifiéa par un certain nombre de sappoiitioni plui ou moini arbitrairaa ofllrent des cbanoet consldérablei d'inoertitode.

CCXlj BÊSISTANCE DES SOLIDES.

On a dit (môme n<» XI) ce que Navier a fait pour surmonter cette difficulté dans des cas simples, mais importants, et pour montrer qu'il doit être possible, dans tous les autres, de faire de même ou de compléter toujours un nombre d*équations égal à celui des inconnues, mais qu'ensuite, pour divers systèmes, il a fait usage d'expédients non justifiés, afin de suppléer à une méthode générale qu'il n'a peut-être pas bien aperçue, préoccupé comme il l'était de donner, par des intégrations d'équations implicites, les expressions les plus rigoureuses des flexions de chacune des pièces en particulier, etc. Nous croyons avoir formulé cette méthode ('), qui consiste à poser toutes les conditions d'appui et de raccordement après avoir exprimé analytiquement, pour chaque pièce ou portion de pièce, les déplacements, dans les trois sens des coordonnées, des points de la fibre moyenne, en fonction des intensités, des dii^ctionset des bras de levier tant connus qu'inconnus des forces qui les produisent; et, comme celles de réaction sont souvent en nombre infini (par exemple dans les parois des encastrements ou sur les surfaces de contact mutuel), de faire entrer seulement dans les équations les trois sommes de composantes et les trois sommes de rfioments de toutes celles qui agissent en un même endroit. Les conditions définies à poser seront la nullité des déplacements aux points fixes, leur égalité pour deux pièces ou deux parties de pièces aux points qui leur sont communs, et la conservation des directions de l'axe des pièces aux encastrements et de leurs inclinaisons mutuelles aux endroits où elles s'assemblent d'une manière stable, sauf les petits angles de glissement transversal et de jeu dans les encastrements s'ils sont assez influents pour qu*il faille en tenir compte : ce sera aussi, pour les cas de torsion et de double courbure (n*" XXI), la conservation des azimuts de sections assujetties à ne point tourner autour de la fibre moyenne qui leur est perpendiculaire, etc. Tout étant exprimé, on aura autant d'équations algébriques que d'inconnues, et il restera à les résoudre pour en tirer la connaissance des forces

(1) Cours liiliographié, 4837-4838, n«* 29 &/«, 46, 47, 48; et Comptes rendus de l'Académie, Mémoire du 30 oçiobn; 4843, n« 48, «u l. XVU, p. 953-954.

HISTORIQUE. CCXilj

cachées^ ce qui sera long quelquefois, mais possible^ vu que les équations sont toutes du premier degré (comme il a été dit en 1843), au moins en se tenant à une première approximation^ qui sert au besoin de point de départ pour une seconde quand on se trouve^ pour quelques pièces, dans les cas (n*" XV) où les moments et les composantes sont changés d'une manière sensible par les déplacements.

Cette méthode a été appliquée en 4838 et en 1843 à quelques exemples, comme à celui d'une pièce horizontale chargée d'un poids et portée sur trois pièces verticales, et les cas singuliers de ressorts fermés et d'anneaux fléchis à simple et à double courbure, qu*il faut, comme nous avons dit^ diviser en plusieurs parties qui se raccordent. On a aussi commencé à l'appliquer à des ponts à contre-fiches dans un travail qui est à compléter, mais qui a manifesté divers particularités (').

Depuis, M. Clapeyron (*) a simplifié considérablement la solution donnée par Navier du problème de la poutre horizontale reposant sur plusieurs appuis, et il a pu l'étendre à un nombre indéfini de ceux-ci en découvrant une relation générale et simple entre les grandeurs des moments fléchissants (ou des moments totaux des forces s'exerçant à travers une section) au-dessus de trois appuis consécutifs.

Enfin M. Bresse a fait, en 4854 ('), une application complète de cette méthode à une travée de pont , dite du système Vergniais , composée d'un arc circulaire en fonte à grande portée , ayant une flèche du sixième de la corde, surmonté latéralement de deux demi-arcs de même i*ayon ayant leurs centres sous les naissances du premier et leurs sommets au même niveau que celui-ci sur les reins duquel ils s'appuient. Il est à désirer que d'autres ingénieurs ne se laissent pas plus rebuter que lui par les calculs de ce genre , et qu'ils les appliquent à un

(1) Il a été présenté en commno arec M. Paul Mtchelot^ le 4 décembre 4843. CampUs rendue, l. XVII, p. 4975.

(*) Dani un Mémoire $ur le calcul tune poutre élatUque reposant libremeni Mur des appuis inégalement espacés^ lilbographié le 7 oclobre 4857.

(*) Reebercbes analytiques sur la flexion et la rèsisUnce des pièces courbes^ eh. III, S VI, 67 4 74.

CCXlV RÊSISTANCB DES SOLIDES.

certain nombre de constructions existantes bien stables , mais réputées hardies au dire de constructeurs expérimentés qui peuvent en avoir vu tomber d'autres plus légères; car tant qu'on n'aura pas fait un pareil travail, on ne possédera, sur les valeurs des coefficients de cohésion permanente (R,, R\), qu'il faut faire entrer dans les équations, que des données tout à fait vagues et fournissant des valeurs différant peu^-ôtre considérablement de celles qu'il faudrait leur donner pour obtenir à la fois solidité et économie. L'imitation des bonnes constructions » sans ces calculs, sera toujours aveugle et non raisonnée.

Et quant aux constructions où les diverses piëc^ résistent surtout par tension et pression longitudinale, ce sera seulement en y appliquant ce calcul complet, fondé sur Ja prise en considération, qui n'a presque point encore été faite, des petits déplacements causés par leurs allongements et accourcisseroents , dans des hypothèses extrêmes de serrage et de calage, que l'on pourra être complètement assuré que les répartitions des charges entre les diverses pièces du système resteront aussi entre des limites déterminées^ et que Ton pourra proportionner leurs résistances aux efforts, de manière à satisfaire le mieux possible à l'économie de matière comme à la stabilité.

L. Vlbrationn. Réaifltanee vive on rénfllenee des plèeen. Can où l'on peut nésllscr lenr inertie. Yonn^. M. Poncelet. M. Clapcyron. Module de Tred^old. Proportionnalité au simple volume. —

Mais les solides employés dans les constructions ne sont pas dans un état constant d'équilibre de leurs parties. Les pièces des machines exercent les unes sur les autres des actions variables qui changent continuellement leur état de compression ou de dilatation. Celles des ponts et autres constructions fixes reçoivent, du choc ou du passage rapide des charges, des mouvements vibratoires qui ajoutent à leurs déformations statiques et augmentent les écartements moléculaires capables de détruire leur cohésion.

Longtemps les questions de ce genre ont été de pures énigmes, comme celles de répartition des efforts dont nous avons