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la fl«iiM.

normales à ces fibres dont chacune a éprouvé d'un bout à r«iiti9 une même dilatation ou contraction, nulle pour celle AOB qui passe par les centres de gravité. 11 nous suffira de généraliser la démonstration à posteriori donnée de la formule de l'extension au $Zde la note du n* 21, en montrant que les fibres peuvent encore ici, sans perdre leur contiguïté, éprouver toutes ensemble des contractions latérales positives ou négatives qui soient à leurs diverses dilatations longitudinales dans le rapport constant v) (soit 1/4), qui est tel qu'elles ne se pressent pas Tune l'autre normalement (S ô de la note du n* 21). Or cela est facile. En effet , si la fibre centrale AOB est restée de même longueur, celles situées au-dessus et au-desaousi dans le même plan cok^ et dont les rayons excèdent celui p de quantités positives on négatives v, se sont trouvées dilatées longitndfni-

ART. lU. FLEXION. S5

(Du n» «•).

lement de -; dr contractons-les d*abord transversalement dans les

proportions r) -, suivant ces rayons p + v ; puis changeons la ligne

aob tirée sur la section par son centre de gravité parallèlement à la droite G ou ccc^ en un arc de cercle a^obi de même longueur,

ayaht ton rayon oA égid à^ (soit Ap si v] = l/&), dans le prolonge- '

ment du rayon de coUfbure oc = p, et changeons enfin, sur la section, toutes les lignes matérielles parallèles à aob en arcs concentriques dont les lignes perpendiculaires sont devenues les rayons. I en résultera (quelle que soit la forme du contour des sections, que nous avons figuré rectangulaire pour fixer les idées) que les fibres

auront été contractées > dans le s^is parallèle à ccc» de -=:i)-

comme ((Iles le sont déjà datis le sens perpendiculaire. Gommé )euM dilatations longitudinales positives ou négatives sont représentées

par -, on voit (S 6 de la note du n* 3 et S 3 de la note du n* 21)

qti*elles ne se presseront ni ne 6*attlt*er<^nt Tune Tautre normalement

et que leurs tensions longitudinales seront bien E - par unité de

leurs sections ckoy comtne si elles éiaiefU isolées,

Dmc le prisme fléôki , doat les points ont éprouvé les déplacements iongitadliuiux et transversaux ainsi supposés, qui sont, comme on voit, possibles et compatibles sans disjonction, est en équilibre si , ses (àees latérales né supportant rien , Ton applique aux divers éléments dcd des deux bases des tractions longitudinales E - cfcu.

Réciproquement, comme uu i^stème de points matériels dérangés très-peu de leurs positions ne peut prendre qu'un seul état d'équilibres sousTaotion de forces données, ou comme le problème des petits déplacements des points d'un corps élastique est complètement déterminé quand on donne les forces extérieures qui les produisent, on voit que : Lorsqu'un prisme dont les faces latérales ne supportent «ucune action aura ses bases extrêmes (i> sollicitées nor-

Si} btCl. I. RÉSISTANCE DES SOUDES.

( Du n» 80}.

malement par des tractions Edu>- (tant positives que négatives)

proportionnelles aux distances v des éléments dcu à des droites tracées de la même manière sur les deux bases par leurs centres de gravité, il éprouvera précisément les déplacements tant longitudinaux que transversaux que nous venons de supposer, c'est-À-dlre une incurvation en arc de cercle dans un plan parallèle aux arêtes

et à la coordonnées, avec des dilatations longitudinales- partout,

des contractions latérales v) -, et, aussi partout dans Tintérieur, les

mêmes tractions longitudinales - vdUù que si les fibres étaient isolées.

S k. Cas général de la flexion inégale ou non circulaire. Glissements qui raccompagnent nécessairement. Inflexion des sections primitivement planes» — Passons au cas plus général, et le plus ordinaire, de la flexion non circulaire, dans laquelle rinégalité de la courbure d'un bout à Tautre du prisme est déterminée par des forces transversales dont nous désignerons, comme dans le texte, par P la composante totale dans un sens parallèle à celui de flexion ou à la coordonnée que nous avons appelée r, en supposant comme Navier (uniquement pour fixer les idées), que le prisme d'une longueur ÂB=a est encastré àPextrémité A opposée à celle où agissent les forces qui produisent ainsi un moment M=:P(a^x) autour de la ligne v=0 tracée sur la section quelconque a> dont Tabscisse est Ac» = x. Observons d*abord (coomae nous avons avancé) que si la matière du prisme a une contexture symétrique par rapport aux diverses sections a> perpendiculaires à ses arêtes avant la flexion, le petit glissement relatif qui peut avoir lieu entre les files longitudinales de molécules n*influe aucunement sur la tension aussi iongitadinale des fibres : car si la file comprenant les molécules 9, q' a glissé de 99| ==q'q\f devant la file comprenant celles p,jp' supposées symétriquement placées, comme les premières, par rapport au plan

l-.9r LIIZS^

ART. lil. FLEXION. 37

( Da B* 80).

mn d^une section transversale w, il en résultera, dans la composante longitudinale dePaction dep sur q', une petite augmentation ou diminution exactement compensée par la diminution ou Taugmentation de la composante de Faction, surp', de q devenu q^; d'où il suit que la résultante des actions des molécules de la gauche sur les molécules de la droite de lafacemTi, ou la tension de la fibre dont rélément mn = dci) est la base, ne dépendra toujours que des dilatations ou contractions longitudinales et transversales de cette fibre, et nullement des glissements.

Or supposons, aux points du prisme, les mêmes déplacements t que s'il avait d'abord été fléchi comme tout à l'heure (S 3), ou que ses sections fussent restées planes et normales aux fibres étendues

longitudinalement dans des proportions - et contractées latéralement dans des proportions t] - , mais avec une courbure uràformémerU variable -= ^ ; puis, ensuite, que les fibres inva-

riables ou répondant à v=o étant restées à la même place, on eût fait glisser très-peu toutes les autres fibres les unes contre les autres sans en changer la longueur, en transformant ainsi les sections planes en surfaces àoe^ d'o'e' légèrement courbes, mais coupant toujours normalement les faces latérales du prisme. Ces surfaces auront toutes sensiblement la môme forme ainsi que la même inclinaison sur une même fibre quelconque, car les diffé*

rences qui existent dans les contractions latérales successives n^

de cette fibre, en raison de la variabilité de-, n'exerceront sur ces

inclinaisons qu'une influence négligeable. Or les inclinaisons, sur les sections, des flbres ou flles de molécules qui leur étaient primitivement normales, ou ce qui revient au même, les glissements des sections les unes devant les autres, engendrent des actions tangentielles (note du n* 8 ou notes ci-après des n"*' 152 à 155); ces actions auront donc, pour toutes les sections, les mêmes grandeurs et la ' même somme de composantes dans le sens o. Gomme la formecourbe des sections, qui détermine lagrandeur des glissements, est du reste

(Du no 80).

arbitraire, choisissons-la telle : 1* que cette somme des composantes dVictions dans le sens transversal v soit égale à la force P qui, aiosi« ne produira pas de translation latérale, dans ce sens, de la portioB quelconque wB du prisme : portion dont Téquilibro de rotation est déjà assuré autour de la ligne r = 0 tracée sur w par la supposition

5?/t*(i(D = P (a— x), faite sur le mode de variation de la courbure- P ?

puisque la traction ou tension d^ne fibre quelconque à trareri la

section iA a pour valeur Erfw - , vu la dilatation - et les contrac •

tiens y)- qu'on lui suppose (§ précédent) ; 2* que ladiiTérence des ac-

P tiens longitudinales des fibres environnantes sur les diverses faces

latérales mm\ nu' d'un môme élément de Jibre mm'n'n^ oomprjs

entre deux sections voisines, en raison de ce que les inclinaisons

des arêtes sur les bases ne sont pas les mêmes en m qu'en n, en m'

qu'en n\ se trouve Justement contre-balancée par la cUCTérence, due

i la variation de -, des actions aussi longitudinales et opposées

Edw-, s'exerçant sur les deux bases mn = mV= dw du même élé-

P ment ; ce qui assure l'équilibre de détail ou l'équilibre des dirers éléments, chacun en particulier (*}.

Des déplacements ainsi supposés, il résultera, comme au paragraphe précédent, que les faces latérales du prisme ne supporteront aucune pression ou traction normale. Elles ne supporteront, non plus, aucune action extérieure, analogue à des frottements longitudinaux, puisque les sections, en se courbant, leur sont restées normales, ^fln ses bases, ou plus généralement deux sections quelconques , situées à une distance arbitraire I4 Tuoe de l'autre , supporteront, «ur leurs éléments du>, avec des actions tangeptiellesou transversales «yant P pour composante totale dans le sens v, des tractions loogi-

(t) Un exemple simple prourera, si Ton en doute, aux notes des n^ 463 à 456, tans avoir besoin de recourir à la solution analytique de notre Mémoire svr la SesiAD (lourial Liourille, 4S5i#), q«e ee problème de U forme à amifsef éJniA i U furface courbe d^s sections pour chaque flgure du coo(oi)r, n'impose pat plus de coBdiliODS qu'il n'est possible d'en remplir.