La quantité

a, pour chaque corps, une valeur qui dépend de la nature de ce corps et de la figure de la section transversale. Cette quantité est le moment de la résistance à la flexion^ ou plus simplement le moment de flexion du corps. Nous la représenterons ci -après par la lettre e. Quand la figure de la section peut être partagée par une ligne horizontale en deux parties symétriques, cette ligne est Taxe d'équilibre qui contient les fibres invariables, et à partir de laquelle il faut prendre la valeur de l'intégrale

Jo Jo

dv.v^y

{*) Ces forces verticales dont la somme, comme on a dit , égale le poids P, se compensent d'ailleurs, quant au moment^ comme tendant à faire tourner également dans les deux sens. Il n*en faudra pas moins tenir compte (voyez notes des n*" 152 à 155), soit dans le calcul complet de la flèche ou ordonnée extrême, soit dans Téquation exprimant la condition de non-rupture , des glissements qui engendrent ces forces.

ART. lîl. FLEXION. 31

dont le double est alors la valeur du moment de résistance à la flexion. Dans le cas contraire, il faut déterminer d*abord la position de Taxe d'équilibre, au moyen de la condition exprimée n* 78, et calculer ensuite séparément les valeurs des deux intégrales qui entrent dans l'expression de ce moment (*).

(♦) S !• Notations et démojistrations plus simples. Moments tTinertie des sections. — La quantité entre parenthèses des n^ 77, 79 et 80, ou celle e dégagée du facteur E, n'est autre chose que le moment d'inertie de la section ma'na (supposée avoir Tunité de masse par 'unité superficielle) autour de la ligne des fibres invariables aa\ ainsi que Ta remarqué le premier M. Persy, dans son cours de stabilité des constructions , lithographie en 1831 à TÉcole de Metz. Aussi, dans les cours faits à TÉcole des ponts et chaussées depuis novembre 1837, on a simplifié les notations en

mettant \ v'du) ou bien une seule lettre pour ce moment d'inertie

ib f/iU f6 Cf.u Ctii

V duV dv.tj" -h \ du\ dtxt?'; \ désignant une intégrale re-

Je J« J« Jo Jo

lative à toute la section «d. En appelant donc, comme M. Poncelet ,

I ce moment d'inertie /t?*d»,

M le moment, autour de la même ligne des fibres invariables tracée sur la section quelconque w, de la force ou des forces extérieures en nombre quelconque qui sollicitent le prisme entre cette section w et la deuxième extrémité du solide ;

L'équation d'équilibre de rotation entre les forces extérieures et intérieures autour de cette même ligne, s'écrit simplement

m* Efw ,, El

. PJo P

et celle d'équilibre de translation longitudinale du n* 78

17da>=:0y

oû les V sont les distances positives ou négatives des diverses fibres à cette ligne.

On a, ainsi, renoncé à appeler moment d'élasticité^ comme faisait

32 StCT. 1. RÉSISTANCE DES SOLIDES.

( Du n* 80).

Navier en 1826« ce produit El qu'il désigne par e et qu'il propose, en 1833, d'appeler moment dejlexion; et Ton applique plutôt cette

dernière dénomination au moment M = -- des forces qui produisent

la flexion ou des forces qui l'arrêtent, de môme que nous appellerons plus loin moment de torsion le moment des forces extérieures qui produisent la torsion , ou le moment égal des forces intérieures qui résistent à ce qu'elle augmente.

On appelle aussi maintenant, d'une manière plus précise, p le * rayon de courbure, non pas de la courbe da solide ou d'une quelconque de ses fibres, mais de son axe, ou de la fibre qui passe par les centres de gravité de ses sections, et qui est aussi , dans le présent exemple. Tune de celles dont la longueur n^a pas varié. On peut dire, ainsi , très-simplement et élémentairement (sans parler do

l'angle infinitésimal — de deux normales consécutives) que l'arc de

fibre invariable et Tare de fibre quelconque, compris entre deux sections très-voisines, sont entre eux comme leurs rayons p et p -f tî, ce qui montre de suite que la proportion de l'excès du second arc

sur le premier, ou la dilatation de la fibre, a pour mesure -.

Ou bien , pour représenter aux yeux ce qui se passe, on figure comme ci-contre, dans les cours d'Arts et métiers,' la coupe longi-tudinale de la portion du prisme comprise entre deux sections dmoe, d'm'o'e\ par un plan qui contient la fibre quelconque mkm' et qui est perpendiculaire à la ligne o des fibres invariables; car si C est le point de rencontre des coupes de, d'e' des deux sections , on a Co = Co'=«p, om = o'm' =i\ en sorte que, o'k étant une parallèle menée à orf, comme la longueur primitive de la fibre était oo' = mk,

la dilatation qu'elle a éprouvée est —, , égal à^ = - d'après la

similitude des triangles isocèles m'o'k, oCo'.

5 2. Hypothèses tacitement invoquées. Elles ne sont point néces*

(OaD-80).

Maires. —Mais cette démonstration, comme celle du texte, se fond lur deax hypothèses» savoir :

i* Que les sections primitivement planes et normales aux fibre rectilignes dn prisme sont encore planes après la flexion, et normales à ces fibres devenues courbes ;

2* Que les fibres se comportent comme feraient de petits prismes isolés, ou comme'^i elles étaient sans action les unes sur les autres.

Or, malgré quelques expériences qui paraissent favorables à la première, on peut tenir pour certain et nous montrerons qu*elles sont toutes deux fausses, excepté dans le cas très-particulier de la flexion égale ou en arc de cercle^ qui est celui où les forces agissant aux extrémités n'ont pas de composante totale transversale. Dans tout antre cas, les sections planes se changent en surfaces légèrement courbes, sur lesquelles toutes les fibres, hors celles des faces latérales, prennent une petite inclinaison, et ces fibres en glissant an peu Tune devant Tautre se sollicitent alors mutuellement dans le sens de la longueur par une sorte de frottement.

Heureusement qu^on peut obtenir les formules sans ces deux hypothèses, au moins pour les prismes dont la matière a une contexture qrmétrique par rapport aux sections perpendiculaires à leurs arêtes ; cela tient à ce qu'alors le glissement relatif des fibres n'influe pas sur les tensions longitudinales de chacune d'elles, et à ce que toutes les sections planes se changent, comme on verra, en une même surface courbe , de sorte que les portions de fibre nn' qu'interceptent ces sections figurées par les coupes vûSi^chïesfog^fo'g' ont les mômes longueurs et par conséquent se sont di-

latées dans les mêmes proportions -que si les

sections étaient restées planes et normales aux fibres. D'où nous pourrons conclure que les formules ci-dessus, bien qu'incomplètes ou ne donnait pas tout, sont toujours exactes dans ce qu'elles donnent ,

sous la condition, toutefois, comme pour la formule P=JSu)£ d'ex-

a/i SICT. I. RÉSJSIANCE DES SOMDES.

(Du n» 80).

tension simple (S 6 de la note du n* 31), que les foroei ■DllicitanM boient appliquées et distribuées d'une certaine uaniàre sur >lei bases extrêmes du prisme.

S 3. Démonsiraiion des formules de lajlexion dans te casùh elle a lieu d'une manière égale ou en arc de cercle. Modifications transversales.-^ Pour le faire voir, et démontrer ainsi exactement ces formules en même temps que ce qui devra tes compléter^ prouvons d'abord qu'elles sont vraies dans le cas le plus simple, celui où un prisme AOB, d'égale contexture dans les sens transversaux, a été léchi comme nous avons dit d'une manière égale , toutes les libres •*étant courbées en arcs de cercle dont nous supposerons les centres sur une même droite 0* intersection commune des sections restées