FI

composante totale P = ^ ( ) , dans le sens r, avec un mode

^ \?o Pi/

de distribution qui dépend do la forme du contour des sections ; ce prisme, dis-je, fléchira en prenant dans toutes ses partie^ des dila-

tatiOBs longitudinales- (positives ou négatives avecr), avee desoon-

t? i tractions transversales f) -, variant uniformément ou linéaire»

ment d'un bouta l'autre entre ses valeurs extrêmes —, -etrepré-

Po Pi

sentant la coorbure de Taxe; et Us éléments du de chaque section intérieure supporteront des actions nannaies ou ionffituêinales

E(2^ - , avec les mêmes actions iangentielles que ceux homologues P

(fe^ hases. Ce qui est ce qu'on voulait démoatrer^

% 6. Cas éPune oontexture inégale transt)ersalement Nous ne nous arràterons pas à faire voir que la conoluston sera la môme si la eeatexture, au lieu d'être la même dans tous les sens transversaux, est simplement symétrique dans deux sens reetangulaires, suivant lesquels il faudra en oonséquenoè contraeter les fibres dans

des rapports différents t) -, t)' -; ou si« plus généralement^ il n'y a

ëe qrmétritdaooDtexlureiiuede parlât dhratre deaseotioBsIvans-

(Du n» S#).

▼ersales, en sorte que» comme on a dit à la fin du $ 6 de la note du n** 21, les sections do des fibres doivent éprouver de petites déformations transversales outre les contractions pour qu'elles ne se pressent pas Tune Tautre, ce qui est encore possible sans qu^elles cessent de se toucher. (Mémoire cité sur la flexion.)

S 6. Observation sur le mode <r application et de distribution du forces quifontfléchir. Cette démonstration des expressions connues:

- de la dilatation (positive ou négative avec v) d'une fibre ,

E- de sa tension par unité de section, d'où -/t?d<o=M ou P(a — z)

pour l'équation de moments autour de la ligne t? = 0, (équation à poser seulement lorsque cette ligne est axe principal et à remplacer par deux autres dans tout autre cas comme on le verra à la note dun*83),

Ne convient, comme l'on voit, que pour un mode partieolier d*applicationet de distribution, aux extrémités du prisme, des forces extérieures qui ont un moment M, avec une composante transversale P= *- ^ (qui est zéro dans le cas du S 3 ou de la flexion circulaire).

C'est qu'elle ne démontre que ce qui est^ et que ces expressions ne sont exactes que pour le mode d'application et de distribution supposé au paragraphe précédent.

Mais, par les motifs déduits au $ 6 de la note du n"* "21, elles peavent être employées avec toute l'approximation désirable dans la pratique, pour tout autre mode d'application et de distribution! aux extrémités, des forces dont il n'y a ainsi à considérer que la résultante et le moment résultant. Des expériences spéciales prouvent même» à défaut du calcul, que les systèmes de forces se faisant équilibre par rintermédiaire d'une petite portion d'un prisme, ne produisent de déplacements sensibles que sur une très-faible étendue en deçà et au delà, comme tout le monde peut voir en pinçant avec des tenailles un prisme de caoutchouc P, ou en dilatant transversalement une lanière mince L de même matière.

ABT. III. FLEXION. ki

(Du •• 89).

car on remarquera que rimpresslon ou rélargissement ne se fera point sentir à des distances excédant la profondeur ou l'amplitude. Aussi les constructeurs ne tiennent aucun compte de ces systèmes de forces en équilibre, lorsqu'ils règlent les dimensions à donner aux pièces, et ils se bornent à prendre quelques précautions, telles que Tinterposition de coins ou de fourrures, contre les impressions que pourrait produire leur application trop directe et trop concentrée. D'où il résulte bien que des forces quelconques agissant vers les extrémités des pièces peuvent être remplacées très-approximativement, quant à leur effet sur tout le reste» par des systèmes de forces équivalenies^ ou ayant même moment et môme résultante, appliquées et distribuées comme on a dit aux $§ 3 et 4.

On ne. doit pas s'étonner, au reste, ni trouver regrettable que cette démonstration soit plus longue que la démonstration or^ dinaire des formules de la flexion ; car, indépendamment de Texac» titude, et de l'abstention de toute hypothèse fausse ou gratuite, elle oblige à reconnaître des circonstances ordinairement omises, à savoir, les contractions et dilatations transversales qu'il est bon quelquefois de prendre en considération (voy. $ 13 de la note du n* 113), et ausisi l'inclinaison nécessaire des fibres sur les sections quand les forces sollicitantes ont une 'composante transversale, ce qui produit les glissements des sections les unes devant les autres ou des fibres les unes contre les autres; circonstances dont l'influence n'est pas toujours négligeable, comme nous verrons, quand il s'agit soit de calculer les flèches de courbure, soit de passer des équations d'élasticiié aux équations de cohésion fournissant les conditions de résistance à la rupture prochaine ou éloignée des solides soumis à des forces extérieures données (voyei notes des n** 152 à 155 et déjà $ 5 de la note du n« 113).

S 7. Cas ok Von suppose que V élasticité varie dans retendue ^une même section* Condition sous laquelle onpeut alors poser des expressions analogues. Pièces de métal. Pièces de bois non homo^

1x2 SECT. 1. RËSISTÂNCK D£S SOLIDES.

(Da n* 80).

gènes,'-^ La démonsiraifon des $S 8 et A s'appltqiie au eaa, ooiuPidM par M. Bresse (S 7 de la note du n* 91), de variation de rélaatieilé d*UDe fibre à Tautre, mais sous la eondition que nous avons déjà énoncée à propos de l^extenslon ou traction longitudinale simple, à savoir que, pour toutes les fibres du solide on ait les mêmes rap* ports 1), 7)' entre les contractions transversales et les dilatations longitudinales correspondantes ; car sans cela les fibres agiraient

normalement Tune sur l'autre et Ton n'aurait pas E-dto pour la

tension de celle dont la dilatation est^, E étant le coefficient d*é-

P l^ticité de cette fibre supposée isolée ou extraite de la masse.

Si cette condition de r^ et r/ constants est remplie, l'équation d*é*

quilibre de translation propre à la détermination de la ligne des

fibres invariables est JEvdio = o au lieu de /rdw = 0, et Téquatlon

d'équilibre de rotation autour do cette ligne eat-/Gv*dMsiii m

liçu de - jfv'da}= M, Cette ligne passe toujours» comme robaenre

M. Bresse, par le centre de gravité de la section to, et /Gv^dca eti encore le moment d'inertie ûe celle^i, mais moyennant qu'on cUtrikue aux âivers élémente Aa des densités B variant de Pun à rauérêL

M. Bresse donne un exemple {Recherches sur èajlexion des pièces cowhes^ obap. V\ n* S6, p. 89) de calcul de j £r*(fco, où il auppoae, pour une section rectangle , que £ varie iinéairement entre uae valeur centrale E« et une valeur E, sur les bords, en conservant la même valeur £« sur une partie de la grande médiane égale à la dil^ férenoe des côtés. Mais il en résulterait que ce moment d'inertie /Ev*dcu serait égal au moment d'inertie ordinaire /t'de» multiplié par une certaine valeur moyenne de E, entre E« et E„ qui ne dépendrait que du rapport des deux côtés, et non pas de leur grandeur absolue comme cela doit être diaprés les expériences ($ 7 de la noie' du n* M), qui montrent que les pièces métalliques à petite section ont une résistance relative très-sensiblement différente de celle des grosses pièces. Nous avons donc modifié son calcul en supposait que laacHie dont la résistance élastique E diffère de celle du centre (et peut Mre supiiKMiée varier pguraboHquement dans cette aone), a une épais-

AIT. m. ILIUM. U

(Du n* 8«).

seur absolue constante et non pas proportionnelle & Tune des deux dimensions. On simplifie quand on suppose cette épaisseur petite* car alors on peut prendre sensiblement, I étant le moment d'inertfe ordinaire de la surface de la sectlont^' celui de son contour^ ou plutôt de la ligne moyenne de la zone dont rélasticité est différente du reste (ligne qu'on peut placer à i ou à 2 millimètres à Tintérieur),

/Er'dco = V + Q/, d'où M = IfillJ? .

(lû E« et e sont des eoeffieientt h détermlaer par plusieura 6][périences de flexion de pièces de même matière, mais de formes ou de dimensions transversales sensiblement différentes (*)•

Cette expression peut convenir pour les pièces en métal.

Mais, pour les pièces de bois, Taugmentation ou la diminution de force élastique ne se fait pas sentir seulement auprès du contour, elle commence an centre de Tarbre d'après les belles expériences de MM. Werthelm et Chevandler (Mémoire star les propriétés mécaniques des bois^ Jnn. de ch. et dephys.^ iSÛS, tableaux Vin et XII). Si, alors, on suppose empiriquement (comme nous aflOBS ftdt dans une lettre écrite en 1845 à Tun de de ces deux sarants expérimentateurs) une loi de farlation parabolique ou comme les carrés des rayons des couches ligneuses, on obtient des expressions simples; ear si E« et E« sont les valeurs de £ au centre de IVbre et k SA circonférence dont on appelle Ti le rayon , Ton •* u« et «^ étant les coordonnées u, v de ce centre des coucbe9 par raiHXMTt k dèftwes passant par le centre de gravité de la pièce qui ea M e](traite«

(1) Poar eelt ob tirera de eette éqnatloo, / «Uai la Meb» de esorNif d'été pièce lioriiODUle de loogoeor Sa, chargée aa miliea d'an poidi SP (r 87ci-

31/ ^ I CoDitruiMDl U fuite des pointe ayant pour itMcitMf les valeort de - el pour

PmI

ordoBDies eelles de ---, U ligne droite qui iTen rapprochera le ptot donnera

%^ et e. On peut. déterminer cette droite loit par UtonneaMnt visnel , foit par les méUiodes dont nous parlerons an S 45 do la noie d« n* lit pour la rapière pjr leilnn. . .

kk SECT. 1. BÉSISTâMCE DES SOLIDES.

(Do n* 80 ).

d'Où

/E(fc>.tî«= ^E,— (E,— El) îî^^^] /tj'dw-

Quand la section est un rectangle dont les côtés sont b dans le sens tt, et c dans le sens v, les deux derniers termes entre pareil-

thèses sont nuls, et les deux autres se réduisent à -m + b^» m

qui donne, vu que 7â'=I« ^^ ^^ faisant la distance v^u, -j-r^^aar.

Jb.*.=e.,[.-îçî.(|^^I^..^:)]. .

formule qui pourra rendre compte des différences offertes par les élasticités moyennes de pièces extraites d'un même arbre dans diverses positionspar rapport à Taxe des couches ligneuses. On pourra déterminer Eq , et Eo ^E| ou E^ ^ Eo • par plusieurs expériences ds flexion, comme nous venons de dire dans une sous-note pour E, et e.

$ S. Les moments peuvent être pris autour de lignes ne passant pas par le centre de gravité. Cas oîi les forces ont une compo^ santé longitudinale totale. «- Observons encore (en revenant au cas dliomogénéité) que Téquation des moments est la m6me en prenant ceux-ci autour d'une ligne quelconque tracée sur la section 6) parallèlement à celte des fibres invariables ; car soit d la

distance de ces deux lignes, on aM = /E-(vdbd)(2(i>, qui, eu

P égard à la propriété Jvdtù^o du centre de gravité, se réduit bien à

Et Ton a encore la même équation lorsque les forces extérieures

ont une somme Q de composantes longitudinales ; car, soit toujours

appelé M le moment du couple qui résulte du transport de ces forées

extérieures au centre de gravité de la section co, il faudra i^ter

81. Si la figure de la section est un rectangle (Pig. 2), dont 6 et c soient la largeur et la hauteur^ la valeur du moment de résistance à la flexion est

duV dt;.t;«=E||,

Ainsi la résistance à la flexion est proportionnelle à la largeur et au cube de la hauteur du solide (*).

(note dn n* 21) une dilatation générale ^ des fibres à leurs dilatations indlTiduelles -, ce qui donnera pour Téquilibre de rotation réqoation M±Qd=:/£^- + ^) (vdtû)dtû se réduisant toujours à

(*) S L Démonstration élémerUaire. Méthode de M, Poncelet gui ramène les moments d^inertie à des moments statiques.-- Là théorie de la résistance des solides a une telle Importance pratique qo^elle est ai^ourd'hui enseignée dans les cours destinés à des ou- TTiera intelligents ayant seulement des notions de géométrie et de statique.

Aussi M. Ponoelet a rendu élémentaire la détermination du moment d'inertie d'une portion quelconque ABDG d'une section d'un solide , en remarquant que si , par l'axe AB du moment , supposé se projeter en a sur un plan qui lui est perpendiculaire» on fait passer un plan ae incliné à A5 degrés sur celui ac de la figure ABDG, le moment d'inertie de celle-ci autour de AB ne sera autre chose que le moment ordinaire ou statique de Vonglet ou prisme tronqué ace que ces deux plans séparent du prisme droit élevé sur ABDG, ce moment statique étant pris par rapport au plan a/ perpendiculaire à la même figure et passant par Taxe AB ou a. En effet , le moment statique de chaque fibre mn = a X « ayant pour base l'élément a de la section et pour hauteur fimsomsv, sera aX9Xam = ai^, et leur somme est bien.

( DO n* Sfl ).

si les accents désignent les autres éléments et leurs ordonnent > ao' + sl'v"* + ••• ou le moment d'inertie I que désigne aussi « dans le langage de l'analyse, l'intégrale fv^dkxH On n'd donc^ pour obtenir le moment dHnertie I , qu*à multiplier le volume de Fonglet ace par M distance Gp de son centre de gravité aû plan af mené par Cote perpendiculairement à la figure.

C'est aussi le Rouble mx)?nent statique du même onglet par raippori au plan ac de la figure ABGD elle-même ; car celui de la fibre trm

est son Voluttie Kv multiplié par la distance ^ de son Centre de grt^

vite au plan en question.

Or, quand la figure est un parallélogramme ayant une base 6 et

une hauteur 9h l'onglet ace est un prisme triangulaire ayant ^fnêt

volume y 6, et la distance Qp est = ^ h. On a donc bien, j^r

le moment I d'un parallélogramme bxh autour de son côté 6 : A« 2 . bh^ A»

d*où, poiirtoreo<Aiigle6xc«tttourdeflamédfaii«i(aB k/ei ^ h /c\ * bc* \ /

3 U) ~ Ï2" ^^™™® *^ ^^*®' Coroilairê, Toute figure hnn'Bk teminée h Taxe ABk du Bornent^ et par conséquent divisible par des parallèles très-rapprocbées en petits irapèses qnn'q' qu'on peut prendre pour des

« r s « parallélogrammes du x h' dont A' est la

^'* hauteur perpendiculaire répondant à Tab-

Éti&te u , a poûf mometit dMnertie V du ^.

S S» Autre méthode^ »- On peut encore, d'une manière (nès^ ttémeotaire, aans invoquer les théorèmes de la statique, et «r aj^ pelant, comme fait le même savant dans d'autres parties de wm ooursi v l'élément ou accroissement infiniment petit de TordomiAti qu'il désigne alera («u lieu de v ) par une grande lettre V^ dM^ que le moment d'inertie «utour eu t)Mé hM^b ( l'* igure eu S précédent) du parallélogramme ABQO supposé partagé ça \

ART. m. PLBXION.

(Dtt B* M).

étroites 6 x v parallèles à'ce côté^ sera 6 multiplié par la somnrai des produits V*v depuis V = 0 jusqu'à \ = h; puis remarquer qu'une pareille somme n'est autre chose que celle des tranches ou le volume total d'une pyramide Sabcd ayant h pour hauteur Sa et pour base un carré dont le côté

ad=ab est aussi h. Ce volume est ^ A'.A, ce

qui donne bien b -^ pour le moment d'inertie.

Lorsqu'on a à déterminer une somme de produits Vr èu Ueu de V*v, on peut prendre la somme des moments statiques V^Y.y des tranches de la même pyramide par rapport à un plan mené au sommet parai'»

lèlegient à la base, somme qui est égale au vûliime | A^A. de la pfts^

mide multiplié par la distance 7 /^ du centre de gravité A ee plan »

A* ce qui donne -ra

S 8. Recft§h:he élhntntaire de la scmnè des produiU êès puk^ sancef â^uné quantité variable par les aecroissemènts sHctessifs qu'elle prend entre deux valeurs extrêmes, — Le secourtl dés théO« rèmes de géométrie ou de statique fait défaut lorsqu'on a & déterminer (comme nous serons dans le cas de faire pour des questions de torsion) une somme de produits v*»-'v où l'exposant n — i excède 3. Mais on peut dëmontrec, d*une manière toujours assez élémentaire pour être donnée dans des cours d'arts et métiers, que

cette somme est -^ ^, V. et Y. étant les valeurs initiale et

finale de la quantité V : car, si l'on multiplie successivement (Y + v)« — V» = avv (^ + 5 ^) f Qtti se réduit à =2Vv en négligeant ^ ^ devant i» par V + ^i on a, en faisant de semblables suppressions» (V 4- v)* -^ V* t=s dV'v, et ain« de suite» en sorte que ,

yn

généralement, l^accroissemeRt de <^f quand V t'aœraH de v^ est

4b SECT. 1. RÉSISTANCE DES SOLIDES.

88. Si cette figure (Fig.3) est formée de deux triangles égaux, dont les côtés soient p et q, la valeur du moment dont il s'agit est

Jo Jo 6

Y*^W; et la somme de semblables accroissements successifs, lorsque Y croît de V. à Vi » ne peut-être que Texcès de la yaleor

finale -^ sur la valeur initiale -^ de cette quantité ~. n n n

S ft« TTiéorème général donnant le moment d^inertie I| dune Jlgure quelconque w autour d^une droite quand on connaît le mO' ment l autour de sa parallèle menée par le centre de gravité , ou réciproquement. — Soit d la distance à laquelle la première droite passe du centre de gravité dans le plan de la figure dont Taire est w, on a 9 comme on sait» la relation

qui n'est autre chose que l'égalité /(t> ±d)«dw = S^dtù d= M. /rd«+ ci>« d'y eu égard à ce qu'on a /vdu> = 0 si les ordonnées v sont les distances positives et négatives des éléments du à la droite passant par le centre.

(*) S i< Moment ^inertie Sun triangle quelconque ABC d^une haur

teurh autour de sa base b. ^Ge sera, en

faisant h'=:h-r dans l'expression Jdu -s- • o o

du corollaire du S i de la note précédente,

^ 36>Ja

u^du on ï=T2" = **"fi

ou le produit de l'aire u> par le sixième du

carré de la hauteur A; expression qui pouvait être trouvée sans parier

d'intégration, d'après ce qu'on a dit aux SS 2 et 3 de la même note.

On l'obtient encore, à la manière de M. Poncelet, en remarquant

que l'on^^^ du S i de cette note du n* 81 est alors une pyramide

tABG d'une hauteur eB=: A, ou d'un volume «o ^ » dont le centre*de

(DO n* 99).

gravité, situé , comme on sait , au milieu de la droite qui Joint les milieux de l'arête Be et de son opposée ÂG, est à une hauteur ^ au-dessus du plan mené par AG perpendiculairement au plan du triangle ABC, ou à une distance r de ce dernier plan, ce qui, en prenant les moments statiques des deux manières que nous avons

dites, donne également wôX« ou 2.«i)~X7=ci)-^. pour le moment d*inertie cherché.

$ 2. Moment d'inertie éTun trapèze ABDG autour d'un de ses côtés non parallèles, les distances des JN. deux sommets opposées B, D à ce côté AG

/l \,^^ étant h\ h" :