I . i /.l -^ En cfTet , en prolongeant le côté BD
Jusqu^à sa rencontre en O avec celui AG aussi prolongé , et désignant par tù\ vJ' les aires des triangles
I A'" A"* OAB, OGD, on a« = to' — «"etl = « -g- — w"-^; or la similitude de ces deux triangles donne
;7=yi^î<ioù«=A'«pî3^. eu -A 'j^:zY^.
^ h'k fiffk
d'où, en substituant. 1 = 5^^31^ ^^ l'expression qu'on ja
écrite ci-dessus.
S 3. Idem du même trapèze autour d^un de ses côtés parallèles
AB= 6, l'autre CD étant = 6i , et leur distance = A --Idem autour
diuie parallèle passant par le centre de gravité, — Gomme on peut
le décomposer en un parallélogramme &| x A et en un triangle
(6-.6j)x^,onaura(Si),autourdeAB, l=6,A^ + (6— 6,)^^;
6 4- 6i • ou, comme w = ■■ ^ ■■ '* '
.)U sEcr. 1. HÈslSTA^(:E des solides.
(Du n* SA).
6i ToQ appelle k la distance, à la même base b, du centre de gravité du trapèze, on a, en posant une équation de moments statiques par rapport à cette base AB ,
d*où
co" 6 " Sb + Sb^
Le moment dMnertie autour d'une parallèle aux bases, menée par le centre de gravité, sera ainsi, en vertu du théorème général de la fin de la note du n* 81 :
' .ofti-îîî^'ri , ^b^i 1-^' 6» 4-666,4-6,' ;"■ isL ■^(6 4-6,)'J'"36" 64-6t *
S û. Moment d'inertie (Tun triangle AA'A" autour d'une droite AC racée dans son plan par un de ses angles, s' et a" étant les distances des deux autres angles A!, A," à cette droite AC
On aura
car si G est le point de rencontre de cette droite avec le côté A'A' prolongé, et si AG=.6, on a pour
Taire du triangle » = 6 -^ — 6 ^ , d'où
2CD z"» — z**
= £2 'pnr^* expression identique
avec Tautre.
% S, Moment d^inertie du même triangle Kk'h!' autour d^un» ligne menée dans son plan par son centre de gravitéO. — En vertu du théorème général de la fin de la note du n* 81, on aura le moment autour d'une parallèle à AC , menée par le centre, en retran-
/z' 4- r"\ • chant CD ( — r — j , ce qui donne
jg(«'«-z'z^4-^'«).
ÀBT. m. FLEXlOîf. 51
(bu H- M).
D'où Ton déduit, en faisant z'=^y* — y^ 2!' =iy" ^y^ pour le moment d'inertie cTww triangle autour d'une ligne menée par son centre de gravité parallèlement à une autre ligne quelconque qui passe dans son plan à des distances y, y', y" des trois sommets :
S 6. Idem autour de cette ligne tirée d^une manière quelconque
dans son plan. — On Taura en syoutant « (^ — ^ — ^ j , ce qui donne
expreaaion qui se réduit à
^(y^+y'^ + y'V. fA y+y'+y"=o
ou si ia ligne dont les distances aux sommets sont y, y\ y pajsm par le centre de gravité ; et à
^A« si y = 0, y'^r = h
ou si l^on prend le moment autour d*uiie parallèle à la tiaae , manée
par le sommet opposé.
S 7. Applications. — Ces formules donnent des éléments de calcul çommoiles pour les moments d'inertie de figures polygonales en les divisant en triangles et en parallélogrammes ou en trapèzes.
Ce serait naturellement le lieu d'en donner l'application aux diverses formes de sections à côtes ou à nervures, etc. Nousprifc» rons en renvoyer le tableau^ raisonné et comparé, à la note du n« 120, art. IV, où il sera question de la résistance à la rupture parjlexion.
83. Si la figure de la section transversale est un rectangle dont les côtés soient b, c, et si Taxe horizontal contenant les fibres invariables forme l'angle <f avec le côté b, on aura pour le moment de la résistance à la flexion
6'csin*<p+frc'cos'ç * = ^ Ï2 •
Ainsi , une pièce à base carrée résiste également dans tous les sens à la flexion. De plus, la base étant rectangulaire» et b étant le plus grand côté, la moindre valeur du moment a lieu lorsciuc la pièce fléchit dans le sens du côté c (*).
(*) S 1. Erreur oii conduirait la formule du n* 83. Condition pour que le plan dejlexion soit le même que le plan de sollicitation à fléchir, — Cette formule e=... du texte non-seulement est sans usage* mais même, bien qu'exprimant exactement le produit de E par le moment d'inertie du rectangle autour d'une droite oblique à ses côtés , elle doit être regardée comme fausse si Ton entend qu'elle donne une valeur à mettre à la place de e dans les formules des n*^ 86 à 90 pour avoir la courbe du solide et sa flèche de flexion/.
L'erreur & laquelle elle prête et où sont tombés plusieurs auteurs consiste à penser que le plan dejlexion, auquel la Ugne des fibres invariables est perpendiculaire, coïncide toujours avec le plan ou la pièce est sollicitée àjléchir, c'est-à-dire le plan du plus grand moment M (S 1 de la note du n* 80) des forces extérieures autour de droites tracées sur les sections, ou le plan qui passe par Taxe de la pièce et par celle des normales autour de laquelle le moment est nul.
C'est donc ici le lieu de montrer ce que nous avons dû énoncer d'avance à une note du n* 77 et au commencement du S 6 de la note du n* 80 , à savoir que » pour que ces deux plans ù^Jlexion effective et de sollicitation à fléchir aient la même direction , une condition est nécessaire, celle que le plan de sollicitation soit parallèle à Vun des axes principaux d'inertie des sections du prisme. En effet, pour qu'il y ait équilibre de rotation entre les forces intérieures
longitudinales Ed» - (note du n* 80) s'exerçant à travers la section w, et les forces extérieures sollicitant la partie du prisme entre
ABT. lU. FLEXION.
( Du rf 83).
cette section et une extrémité» il ne suffit pas qu*on ait Téquation
E M = - /v'dco, exprimant que leurs moments autour de la ligne
des fibres invariables sont égaux, il faut encore, au moins, comme l'a remarqué le premier M. Persy {Cours à VÉcole dartillerie et du génie, lithographie à Metz en 183/i; n" ûl et 42, p. 26), une équation entre les moments autour d'une perpendiculaire à cette ligne, tracée aussi sur la section co . c'est-à-dire autour du rayon p prolongé. Or si le moment des forces extérieures est supposé nul autour de cette perpendiculaire ou de ce rayon, on doit avoir, u étant
les distances des éléments du> à cet axe desvA- vdtù. u = 0 , d'où
\ uvdtù =r 0 , ce qui caractérise les axes principaux d'inertie.
$ 2. Détermination de la grandeur et de la direction de la flexion lorsque cette condition de parallélisme du plan de sollicita^ tion à Vun des axes principaux d'inertie des sections n'est pas rem-plie, —Alors il n'y a pas lieu de chercher à poser une équation de moments autour de la ligne des fibres invariables , qui n'est pas connue à priori. C'est (comme on l'a montré pourla première fois à un mémoire inséré aux Comptes rendus de V Académie les 30 octobre et 6 novembre 1863, t XVII, p. 9A6 et 1026) autour des deux axes principaux d'inertie de la section ta qu'il convient d'exprimer l'équilibre de rotation pour arriver à déterminer la grandeur du rayon de courbure p, ainsi que sa direction ou celles de la ligne des fibres invarian blés et du plan de flexion, et par suite, les conditions de résistance. Prenons pour coordonnées u, v d'un point ou élément m quelconque de la section ses distancesOp =:u, mp =t à ces axes VOv, UOu passant par le centre de gravité O ; et soient
r=/v«dM, r=:/u*d<d8esmomentsdMnertie principaux, ou autour de ces deux axes; on supposera généralement r>r; f l'angle aigu POV qui fait le plan de sollicitation P1OP9 avec l'axe Or prolongé ;
54 SËCr. I. RÉSISTANCE DES SOUDES.
(Du n" S8).
^ celui \0v que fait aussi, avec l'axe Ov, le plan encore inconnu de flexion FOt% où Tangle égal uOu de la ligne des fibres inyariables Ou avec Taxe principal Ou {
r, comme ci-dessus, les distances mp des points ou éléments m à cette ligne Ou des fibres invariables ;
Nous avoùs 7np= mp cos v|> + Op sin •}, d*oà pour la tension de la fibre ayant sa base en m,
-rdcu = - (v cos ^ 4- u sin J^) d'o,
Multipliant successivement par les bras de levier v et u, pour substituer dans les équations Mcos? = \— vdco .v, M sin <p =^1 - rdco.u de
Jp Jp
réquilibre de rotation autour des axes principaux Ou, Ov, on a, en effectuant et ayant égard à /uv(ico=: o :
Pï' Kl"
McoS9=~eàs^», Msinçrr — sin^».
Si Vùn divise ces detlx équations Tune par l*autre oh obtient une ilôitirélie équation, et Ton en a encore une en ajoutant les tétrés âprëâ \eê tLfbtr divisées respectivement par l' et 1^ On trottvè ainsii lés etpresslôbs
— .1' i Ma /cos'ç . sin»f
taflg+=ptang9, - = gy^4.j2:,
dont la pretliiê>l*d donne la direction du plan de flexion afiTective dtl oôilede la ligae desAbnis invariables, perpendiculaire à ce plan ; la !f6<K)ndé donne la eetirbtife prise par Taxe du prisme.
J 3. donstruction au moyen de Vellipse dHnertie. — Si l'on trace dans le plan de la section Tellipse connue dont les demi-axes ,
^téiStif Ott, Wi «atit proponiOlinels aux inverses ^» -^ des racines carrées des moments d'inertie autour de Ces lignes, et dont réquation est par conséquent I'u* + T'v* = une constante (xticiconfrn?, et si l'on y mène une t^gepte par )Q point N où elle est rencontréo
ART. m. FLEXION. 55
( DQ B* 88).
par le plan PP^ « cette tangente sera parallèle à la ligne des fibres inyariables Oti, car Téquatibn de Tellipse donne le coefficient différentiel j- = — p - qui est égal à — tang <j» au point N pour lequel
on a le fappjort - = tang9 = -,tang ^. ta ligne des fibres invàr-
riables est donc le diamètre conjugué à celui suivant lequel le plan de sollicitation coupe le plan de V ellipse; théorème qui a été trouvé en 185/i par M. Bresse à peu près en même temps que par nous', sous deux formes différentes (0.
La déviation {»— 9 du plan de flexion , ou son angle avec le plan de sollicitation , est à son maximum quand ce dernier plan passe par Tune des diagonales du rectangle circonscrit à Vellipse dHnertie ; et alors la ligne des fibres invariables est T autre diagonale.
La même chose a lieu lorsque le contour de la section est le rectangle lui-même.
S 6* Détermination de la courbe d^axe ou de la flèche de flexion {comme complément anticipé aux n"* 86 à 89). — La courbe d'axe s'obtiendra, comme dans le «as simple de flexion non déviée supposé tacitement aux n^* 86 à 89 ci-après, soit en égalant l'expression de
- du $ 9 à -p7, y' étant une coordonnée transversale prise dans le
plan de flexion qu'on a déterminé et intégrant après avoir mis pour le moment M sa valeur en fonction de la coordonnée longitudinale x; soit, plus simplement, en appelant y, z, deux coordonnées transversales perpendiculaires aux axes des moments principaux V
. ,// ^ A d*2 McosQ dV Msin© , .
et r et posant ^= — gp-^. d?~""EF^ P^^*" ^®® courbures
E21i, LLï des projections de la courbe d'axe sur les plans xz^ xp
ide plus difficile et de plus facile flexion; ce qui, en intégrant, donnera les équations de ces projections, qui seront semblables à celles des n«' 86 et 89, sauf les facteurs cos 9 et sin f dont on affec^ tera le poids Ponp.
(^} Meckerchêê tur te flexion d$ê pièca comrbetf 4854. — BuUeiin de te Sotiété phiîomatkique, iddition k la léaQce du 8 juillet 485if p. 71 ; ou journal VlneUtut , <5 nofeïBlyre.
56 SECr. I. RÉSISTANCE DES SOLIDES.
(Du n« 88).
l^Jlèche de courbure f est résultante de celles que feraient prendre séparément, à la pièce, les charges P ces 9» P sin <p agissant perpendiculairement aux axes principaux de la section ; c'est donc (n*" 86 ci-après) , si la longueur de la pièce est a et si elle est encastrée au bout opposé à celui où la charge P est supposée agir transversalement, la diagonale du rectangle formé sur les flèches composantes
-,__Pcos9.a' ^, Psiny.g*
respectivement perpendiculaires aux axes des moments l'et r, ce qui donne :
Une flèche /^= W ^^ H- -pX = , (p^ éUnl p pour X = 0),
One descente Terlicale / COS (p +/' sin 9 = ^ (j^ + ^j^J , ,T AA-^' ^, ' .1 ,/ '^, 1 Pa'sinçcosç /l i\
Une déviation homontale ''COS9 — f s\n 9 = :r^ ~ ( p — rJ .
On étendra facilement ces formules au cas d*une pièce posée sur deux appuis, et sollicitée à la fois comme aux n** 87 et 90.
S 6. Application à une section rectangle. Évaluation des erreurs
auxquelles donnerait lieu Vusage de la formule 6= du texte du
bc^ b^c
n* 83. — Pour une section rectangle 6 x c, où I' = -^ , T = -jj t ï®
Pa»
rapport delà flèche efl'ective/à celle qu'on aurait par la formule^
(cos'o s!n'>p\ , — ,-î + -71^) V ^*cos% 4- c*sin«<p ,
ou ^^*'*"^A6«^r^^^* *^ *'*°^*® "^ ^^ demi-droit Ce rapport est respectivement 1,257, 1,822, 8,557, lorsque l'un des côtés est 1 fois 1/2, 2 fois, 3 fois l'autre; en sorte que notre formule révèle des flexions contre lesquelles on ne serait point en garde d'après celles du texte.
$6. Observation pour les pièces droites non prismatiques. Double courbure et torsion prises. —On verra à l'article VU de la section IV
(DU n- 98).
(surtout aux n'"/i98-507) que Ton peut appliquer approximativement les formules fondamentales relatives aux prismes à des pièces allongées non prismatiques. Mais si ]3s sections transversales n*ont pas leurs axes principaux tous compris dans deux plans rectangulaires passant par Taxe longitudinal de la pièce, le plan de flexion effective changera d'une section à Tautre. L*axe de la pièce , bien que supposé primitivement rectiligne, prendra une double courbure, et il y aura, en même temps, torsion, quoique la pièce ne soit sollicitée en quelque sorte qu*à la flexion, ou par une force n*ayant de moment qu^autour de droites transversales. On a traité ce cas général aux Comptes rendus de V Académie, 30 octobre et 6 novembre 18/i3 , 1*' et 15 juillet iSlili, (t. XVII , p. 951, 1020, et XVIH, p. hO et 185) ou à des Mémoires sur la résistance des solides, in-tC^ 18/i/i.
S 7. On peut présenter d'une manière très-élémeîitaire la théorie ci-dessus de la flexion oblique ou déviée, — Pour cela , une expérience bien simple convaincra d'aborâ que la flexion ne s'opère pas toujours dans le plan de sollicitation à fléchir. Qu'une pièce trèsmince, telle qu'une lame de fer-blanc, dont Taxe horizontal se projette en 0 et dont les faces sont inclinées àrhorizon, soit sollicitée, à l'extrémité opposée à celle qui est encastrée, par une force OP verticale et agissant par conséquent dans un sens oblique aux côtés de la section abcd ; l'axe 0 ne s'infléchira pas dans le plan OP passant par sa direction primitive et par celle de la force , mais sensiblement dans le plan 00, perpendiculaire aux grands côtés ah, de, comme si la force P avait agi dans la direction 00, perpendiculaire au plan de la lame.
La raison de ce fait se conçoit facilement en général. Dans tout prisitie dont la section transversale n'a pas, comme le cercle et le carré, des moments d'inertie égaux autour de toutes les droites qu'on y trace par son centre de gravité, il y a un plan de plus facile flexionetun plan déplus difficile flexion. Ce sontlesplans perpendiculaires respectivement aux axes autour desquels le mo-
58 SECT. I. RÊSISTAI^G£ DES SOUDES.
(Du n" 88).
ment d'inertie est le plus petit et le plus grand. Si le plan de eollicitation passe entre les deux, la flexion effective s'opère aussi dans un plan intermédiaire, mais, on le comprend, plus rapproché du plan de plus facile flexiœi que n'était le plan de sollicitation ; en sorte que la ligne des fibres invariables ne sera point perpendiculaire & celui-ci comme elle Test quand la pièce est sollicitée à plai ou de champ, c'est-à-dire dans le plan de plus facile ou le plan de plus difficile flexion.
S 8. Démonstration simple des propriétés des axes principaux.— On peut prouver d'une manière facile,* sans parler d'ellipse ni do lignes trigonométriques , que ces deux plans, ou les deux axes de plus grand et de plus petit moment d'inertie sont perpendiculaires entre eux et donnent /uvdw = O, ou (élémentairement) une somme nulle auv + a'u'v' + =0 des produits des éléments a de la section A par les coordonnées qui leur sont parallèles. En effet, si l'on prend d'abord quelconques les deux axes rectangulaires des cooi*données u et t et si on les fait tourner autour de l'origine O, cette somme auv + ... reprendra évidemment la même valeur avec signe contraire après chaque rotation d'un quart de circonférence, d'où il suit qu'elle passe par zéro pour une certaine position de ces axes rectangulaires ainsi que pour celle qui résulte de leur simple permutation dans les mêmes directions. Or si l', 1" sont les moments d'inertie relatifs aux axes ainsi dirigés, et Ij le moment autour d'une autre droite dont une longueur r a pour projections i/etz sur ces axes particuliers des u et des v, la distance 7np d'un élément
m à cette droite Om est v ^ -f u ? ; d'où , en r r •
faisant la somme des produits des éléments par les carrés f v ^ 4- u ^V dévtloppéfl» et en ayant égard à auv + a'uV -f .... = 0 :
ART. III. PLBXIOM. 59
(Du no 88).
OU I4 = F H- (!'— n ^ = r— (r— i") ^ qui montre bien : V que l'et I"
sont nécessairement l*un le plus petit, Taûtre le plus grand moment ; 2* que dans le cas particulier où ces deux moments priiicipaux ont la même grandeur, tous les autres leur sont aussi égaux.
S 9. Direction et grandeur de la courbure^ déterminés élément tairerfient. — Les axes principaux étant ainsi reconnus (voir §§ 10 et 11), on peut déterminer élémentairement la grandeur et la di-
rection de la courbure - en appelant M', M'' les moments des forces
extérieures autour de ces axes , ce qui donne ces deux équations
d'équilibre avec les forces intérieures aE-=a-fv-H-u-j s'exer-
çant à travers les éléments a, a'.... de la section :
M' = - fî^ (av» + aY*+...) -♦- - ( auT H- a'u'V + ... )],
p Lr r J
M" =- [^ (auv H- a'u'v' H- ...) + - (au* H- a'u'»4-...)li p L^ r j
se réduisant à M' = 5il y, il* = h:; 5 ffoû - = i!~
On fait encore mieux sentir la raison de ce qui se pasde en considérant le prisme comme éprouvant simultanément deux flexions sous Faction des moments composants M', M'' ; Tune donnant une
courbure -7=77; autour d'un des deux a:ies principaux de la sec-
P Cil
tion, Tautre une courbure p? =?p autour du second axe , et produisant ainsi des déplacements à composer géométriquement ensemble d'après le principe de superposition du § 2 de la note du
n*> 21. 11 est évident ainsi que le plan de la courbure résultante - devra so rapprocher plus de celui du moment M" que ne faia&it le plan du
60 SECT. J. Rf:SlSTANCE DES SOLIDES.
(Du n« 68).
moment résultant M si Ton a l' < i'. On obtient cette courbure résultante et son plan en considérant qu'en général le déplacement transversal BB, de l'extrémité B d'une très-petite ligne AB qui s'est courbée en arc de cercle AB^ tangent en A à sa direction primitive , s'obtient en divisant le carré de sa longueur par le double AD du rayon, à cause des deux triangles rectangles semblables ABB^, AB|D; d'où il suit que si une petite longueur s de l'axe de la pièce (voyez fig. p. 58), se projetant en O avant la flexion, s'est courbée de manière que sa deuxième extrémité se soit déplacée de
Of = r-, dans le sens OV, et de 0/" =. r-7, dans le sens OU , on aura
jt rj ï^
pour le déplacement résultant la diagonale 0/= 0 v "Ti + '^ ^^^^*
comme ci-dessus, pour la grandeur et la direction de la courbure
Hv^=iN/(?)'-(Fy.'"«™=|^=S^p
Cette théorie sera complétée à la note du n* 117, en ce qui regarde l'établissement des conditions de résistance à la rupture éloignée.
S 10. Détermination des axes et des moments principaux des figures planes. — On voit toujours qu'il importe de savoir trouver
les directions des axes principaux d'inertie d'une figure donnée. Rapportons pour cela ses éléments m ou dco à deux axes rectangulaires coordonnés quelconques Ou, Or, et calculons pour ces axes, /t?'d<o = Ij , /w'dto) = 1, , fuvdia = K ; on aura, en raisonnant comme au § 8, pour le moment I autour d'une droite inclinée Ou , dont une portion On = r a pour projections Og=ry,gn=:r sur ces axes, I=j(t) ^ -u?) dco. ou
(Du Q« 88).
l-Ii^ 2K^, ^.I,-___ ^ ^^.K~pJ.
Or, si l'on prolonge nç de qn'=znq^ la perpendiculaire tw abaissée de n sur On' a pour longueur 2 fois la projection ûenq = z sur sa direction, et la distance Os de son pied à Torigine a pour longueur la projection de y moins la projection de z sur On' ; d'où Ton conclut
queO*=y ?^— z-, n*=2z^, ou ^ r r r*
On"" r* • On"" r* ' en sorte que la parenthèse de Texpression de I représente la somme
des projections, sur Onu, de deux longueurs st— '"7 * , sk=K portées respectivement sur sO et sur m. Cette somme est la plus grande possible quand Tliypoténuse ik est parallèle à On, et sa grandeur est alors tk elle-même. On a donc, en vertu de ce raisonnement tout élémentaire (où Ton peut se passer de signe d'intégration comme au § 8),'pour déterminer la direction d'un axe principal Ou et la grandeur d'un des deux moments d'inertie principaux, qui serait ici le plus petit :
En donnant le signe + au radical, on a l'autre moment principal ; car, pour un axe Ov perpendiculaire à Ou on aurait des rapports ^,
- égaux respectivement aux valeurs des rapports —, ^ relatifs à r ■ T T
Ou, ce qui simplement change le signe de la parenthèse. On reconnaît, au reste, dans le rapport ^ la tangente du double de l'angle que fait soit Ou soit Ov avec l'axe primitif Oti.
8 11. Théorèmes pour le calcul facile deK=z Juvdu), — 11 faut, comme on voit, pour déterminer ces directions et grandeurs des
moments principaux, savoir calculer l'intégrale \ uvdtù pour une figure quelconque. On y parviendra facilement en la décomposant
ns Ôs
b-J sud. I. «ÈSISTANCE DtS SOLinES.
(0un*98).
en rectangles et en triangles rectangles et se servant des trois théorèmes suivants, analogues à ceux que nous avons donnés pour le calcul facile des moments d'inertie (^).
1*'. L'intégrale K=/ur(2w, pour des axes et pour une figure quelconques , est égale à la même intégrale pour la même figure et pour des axes parallèles dont un au moins passe par son oentre de gravité , plus le produit ^^^v^ de son aire <*> par les coordonnées t#o» r% de ce centre rapporté aux anciens axes (').
2% Cette intégrale K est nulle pour un rectangle ayant ses côtés parallèles à des axes des u, v dont un au moins passe par son centre et, plus généralement, pour toute figure symétrique par rapport à Tun des deux axes (').
3% Pour un triangle rectangle dont Faire est cd et dont le centre de gravité est sur Tun des deux axes supposés parallèles aux côtés de Tangle droit, on a
le signe— devant être pris quand les sens des u, v positifs aeni caoi des côtés de Tangle droit pris à partir de cet angle, ou leur sont tous deux opposés, et le signe inférieur + devant être adopté quand un seul des deux demi-axes positifs a le même sens que le côté qui lui est parallèle (^).
(1) Société philomathique , 13 déc. 4856, ou journal VltutiUti, 34 décembre.
(•] cir il u', %f font lei coordonnéei ptr rfpport à 4ei M»! Mrill^l<9 P^fWB' toui deui pir le ceolre de gravité, on a K = /(u'-|-i»J(r' -frojrfw qui, en vertu de /«'</<■» = 0, Jv'dUùz=0, est bien égal à fu'v'étù-^-umju^; el on a la même choie si uo seul des deux axes parallèles passe par le centre, puisque fu'v^dw ■e change pis lorsqu'on ajoute une constante, soit à k', soit à t/.
('} Car elle se compose de termes uvdoi égaux deux à deux au signe près.
(^) Car si l'on prend d'abord pour origine l'un des deux angles aigus, pour use des u le côté adjacent tiré de là à l'angle droit, el pour axe des v une parallèle à l'autre côté tiré à partir de l'angle droit, l'intégrale K relatife êu triangle est évidemment moitié de celle relative au rectangle double, ayant l'hypoténuse pour diagonale. Or celle-ci , en vertu des.4«r et â* théorèmes , aura pour
. 6 c /bcY . .
grandeur, 6 et c étant les côtés f ^ • â * â ^ [ T j * ^^°^ ' ^^^^ triangle , on a
K = — . D'où, par le 4«r théorème, en prenant des axes parallèles dont un au
moins passe par ion eentre, K = -r — «•--■.- = 4---, expression dont il Csiidra changer évidemment le signe quand on changera le senfi d'un des deux axes.
84. Lorsque la figure de la section transversale (Pig. i) est un cercle dont r est le rayon , l'expression générale du moment t devient
=aE.aJ
dx, — sm*a: = E-p.
On conclut de ce qui précède que les résistances à la flexion du carré et du cercle qui lui est inscrit sont entre olles dans le
rapport de i à — (*).
lo
{*) S i. Détermination plus simple dû moment d^inertie du cercle, — On obtient plus facilement ce résultat en remarquant, avec feu M. riogénieur en chef de Guillebon (Cours lithographie, 1840- 18/il), que les moments d'inertie autour de tous les diamètres sont
égaux et qu'on a ainsi , pour le cercle, /r*dw = - /(w* + t?")<fc> = la
moitié du moment d'inertie dit polaire (M. Persy) /«'dw de la section autour de son centre* z étant la distance du centre à l'élémeut diù. Or ce dernier moment, en réunissant ensemble tous les éléments pour lesquels z est le même et qui forment une couronne d'épaisseur^ds et de superficie 2Kzdz , peut être mis sous la forme
s^dz et est égal à 27c y. On a donc pour le moment autour
d*un diamètre
S s. 8a détermination élémentaire. — Bien que l'intégrale Jz^dz puisse être présentée et calculée élémentairement comme nous avons dit au $ 2 de la note du n* 81, on peut aussi, et d'une manière plus complètement géométrique, appliquer à la détermination du moment d'inertie autour du centre une méthode analogue à celle qu'emploie M. Poncelet (même note) pour les moments autour de
G/i SECT. I. RÉSISTANCE DES SOLIDES.
(DU n* 84).
droites. On n'a qu'à imaginer qu'en chaque point de la section l'on ait élevé sur son plan une perpendiculaire égale à la distance de ce point au centre ; on aura ainsi formé un solide dont la coupe, par un planGOD, est rcod'd et qui, pour le cercle, n'est autre chose qu'un cylindredroitévidé par un cône c'od de même base et de même hauteur. La somme des produits des éléments de ce solide par leurs distances à son axe oo' sera le moment d'inertie polaire cherché ; or il est divisible en autant de pyramides Omn à base rectangulaire mnxc& = mn x r que la circonférence contient d'arcs élémentaires mn, La somme des produits dont on vient de parler, pour les éléments de cette petite pyramide, n*est autre chose que son moment statique par rapport à un plan mené par 0 parallèlement à sa base ; elle a donc pour valeur
le volume mnxr.^ multiplié par la distance rr de son centre de
gravité à ce plan, ou
r* X mn;
et tel est le moment polaire du petit secteur dont Parc est mn. Ajoutant ceux de tous les secteurs, on a pour tout le cercle
r7*x 2nr, comme ci-dessus.
S 8. Moment d^inertie , moment statique et aire de portions d'un cercle de rayoïi r. On les obtient par uue intégration comme celle du texte.
!• Soit la portion FM'W'P" comprise entre l'arc M'M" = r(ar"—a:') et les deux ordonnées
M'P' = rcosx', M"F' = rcosx" perpendiculaires au diamètre OGu par rapport auquel on prend les moments.
On aura
ART. m. FtEUON. 65
(Du n* 84).
S*^»n«" r«" /8in«"co«" . »" sliwr'eos*' «'\
eBtsutùpieÇd(rsînx) (reosx^r»C^ (ir.cos«x = J 2 2 Jx' «
r* /sinxf'cos^xf' 23ituf' sinx'cosV 28injg'\ ""2^ 3 "*■ 3 3 T";*
ent dnaertieUrsina:) ^IS^ = Jf*" dx.C08*X =
^ /siDj^^cosV , Saina/'cosa:^' . 3 sinjg^cosV 38inycosj:' 3 A
rV à "^'A 2 "^^.2^"" A 42 û.2^>/"~
r [i^^'""^ + J(siû2x"-iin2x') + gL(sin/ia:''-8inAx')].
2* Même portion lorsque les extrémités M', M'' de Tare sont à égale distance de celles A, G du quart de cercle AG. Alors
