I.2D', = S.4C',— 3.SC'8p-h4.3C4P

— 2Crf -f-3Cjg, — .

(DU D* tft«).

g' = e (C'i + 2C'jW+ 3C>4+ .. . — r+2C,u + SCjZ?, + . ..) .

g"= e(if + Ci+ 2c,w-f. aCjWj -f. ... -~2c>— ac'jr, -...),

nous obtenons, tout calcul fait, avec les mêmes notations du $ précédent :

g'— e(D'i -f- 2D>' + 3D>'j + ...— 1?'+ 2D,u'+ 3D3V', + ...), g"=0(u'+Di + 2DjW'+ aDjU'j-f...— 2D',t>'— 3D>',—...),

c'est à- dire, d'après l'équation du contour en m', t?' obtenue au même S, précisément les glissements qu'on aurait eus si la torsion avait été opérée autour de l'axe passant en 0' au lieu de l'être autour de l'axe passant en G.

Les glissements , ou les inclinaisons prises par les fibres devenues des hélices , sur les divers éléments des sections devenues des surfaces courbes , sont donc les mêmes, quel que soit Vaxe^ 'parallèle aux arêtes y autour duquel on opère une torsion e.

Gomme les inclinaisons mutuelles des fibres devenues des hélices sont aussi les mêmes, quel que soit l'axe, il est facile d'en déduire, soustractivement, que les inclinaisons mutuelles des éléments des sections, et par conséquent les formes des surfaces courbes qu* elles affectent sont constamment les mêmes aussi , et que la seule différence est dans les inclinaisons diverses qu'elles prennent sur les axes de torsion diversement situés.

Mais on peut démontrer ces théorèmes d'une manière plus générale, ou applicable également aux formes transcendantes, en partant des équations différentielles indéfinie et définie (S 6 et § 8} :

qui déterminent le déplacement longitudinal z d*un point pour une torsion 0 autour de l'axe passant par l'origine O de ses coordonnées w, V. En effet, si l'on y change les variables u, v en d'autres tt'=u4-l>f v' = v •\-q, elles deviennent

et ces équations sont satisfaites par

(Du D* t5e).

2 r= z' -f 0 ipv' — qu')

en appelant z' la valeur du déplacement longitudinal z qui y satisferait si l'on avait p = 0, q = Oj ou si la torsion s'opérait autour de raxe nouveau O' au lieu de s* opérer autour de F axe ancien O.

On voit que les ordonnées z, z' des deux surfaces dans lesquelles ces deux torsions ont transformé lesplans des sections ne diffèrent que par la petite ordonnée e(pr' — gu'i = ^{pt — qu) d'un plan trèspeu incliné, d'où il suit quece,s deux surfaces sont superposables et peuvent être amenées à coïncider moyennant de petites rotations 6j>» — 6g de Tune d'elles autour de parallèles aux u et aux v, .

^ -x . <iz A dz' ^ , dz ^ dz! ^ ,

On voit aussi que -y- -t- Ow = -j-, +0w , -, Or == -y, — Or , ou

^ dv dv du du'

que les glissements g', g" déterminés par Tune et par l'autre torsion sont les mêmes aux mêmes points, comme nous venons de le démontrer autrement pour les sections dont les contours ont une

équation de la forme algébrique — ^ 1- = K du S 10.

Il s'ensuit que le moment de torsion ( S 9 ) « ^« même grandeur, qu£l que soit Vaxe (parallèle aux arêtes), autour duquel on tord le prisme , puisque les forces Gg'dw , Gg^cîto agissant sur chaque section et dont il est le moment total , sont toujours les mêmes , et qu'elles n'ont pas de résultante ou qu'elles se réduisent constamment à un couple comme on a vu S 13.

La torsion d'un prisme autour d'un axe extérieur est réalisable en l'unissant à cet axe par des liens transversaux qui l'astreignent à présenter toujours à celui-ci la même arête, sans que ces liens gênent du reste l'inclinaison etla courbure que tendent à prendre ses fibres et ses sections. Elle est opérée plus facilement en tordant deux

prismes égaux, parallèles et distants, liés de manière que leurs sections correspondantes o', o" se regardent constamment par les mêmes points a\a'\ astreints à rester sur une même droite passant par l'axe de torsion intermédiaire 0 (voy. ci-après, % 36).

On voit que les mêmes forces Gg'do», ùg'd^ appliquées aux élé-

ments des bases d'un prisme le maintiennent tordu indifféremment autour de tout axe parallèle à ses arêtes, et que le moment de la torsion simultanée de deux prismes égaux et distants est justement double de celui qui maintiendrait tordu chacun d'eux d'un même angle autour d'\xn axe intérieur.

Il faut toutefois, évidemment, lorsque Taxe de torsion n'est pas l'axe qu'on a considéré en traitant de la flexion et qui traverse les sections à leurs centres de gravité, ajouter aux forces Gg'dw, Cg^dw des forces capables de fléchir le prisme de manière que ce dernier axe devienne une hélice. Mais ces dernières forces ^on^ très petites du second ordre si , comme nous l'avons constamment supposé , la torsion û est très-petite du premier ordre (*) ; elles ne devaient donc pas être fournies par notre calcul, où les quantités du second ordre sont négligées.

$ 16. Expression générale du moment de torsion des prismes doîit les sections ont des contours représentés par Véquation algébrique

du S 10. — En mettant dans M^ = G \ (g"w— g'«) dta (S 9) les valeurs

(S 10] des glissements g'^ et g', on trouve pour le moment de tor^ sion

expression dans laquelle on peut prolonger ou réduire autant qu'on veut la quantité entre crochets par l'addition de nouveaux termes (S 10) ou par la suppression d'un ou plusieurs de ceux que nous écrivons ici.

{}) En effet, soit a=Oo' la disUoce entre l'axe de figure o' passant par les centres de grarité des sections, et Paie de torsion 0. La tangente do Tangle que fait , avec un plan perpendiculaire à celui-ci , Thélice dans laquelle celui-là se change,

est — ; on a , pour le rayon de courbure p de cette hélice , p = ( 4 -f rr-z ) « ; Oa \ vorj

d'où , pour le moment de flexion , El

P quantité très-petite do second ordre.

(DU n« !«•].

En coordonnées polaires (S 11) , on aurait

r , rr« + Cjrcosa + 2C,r*cos2« + aCjr»cos3a + 1

Mj — GO J tfu) ^ C'irsina - 2C',r»sin2a- 3C',r»sin3a^ J»

OU, plus généralement, n, n' pouvant être fractionnaires ou négatifs (S 11):

Mj = GO \ do) (r« 4- SwCnCOsna — S7i'CVr»»'sinn'a).

S 17. Plus grands glissements. Points dangereux, Équaiion de cohésion 'permanente ou de résistance à la rupture éloignée par torsion. — Afin de ne pas interrompre des considérations naturellement liées, nous donnerons ici, et dans chacune des particularisations des $$ suivants , après l'expression du moment de torsion , réquation de cohésion permanente ou de résistance à la rupture éloignée par torsion (*), bien que Navler n'ait parlé de cette résistance qu'à un article suivant, VI.

En appelant, comme au $ 7 de la note du n» 152, p. 196:

To la limite des efforts tangentiels que la matière peut supporter sans danger par unité de surface pendant un temps indéfini, la limite des glissements non dangereux sera

Il faut exprimer que nulle part cette limite n*est dépassée, ou que

le plus grand glissement principal g = y/g'* -f g"* lui est égal ou

inférieur. La condition de résistance permanente à la rupture par

torsion sera donc

l-^j = ou > maximum de g'* -f g"«. ^

Pour trouver les points dangereux ou de maximum de ^, — ^^

il convient de remarquer, d'abord, d'après les expressions de g' et g", ou celle de g'=g'*+ g"* en r et « du S H, que, sur le plan

(^) Od Yerra, à la noie du n** 465, quelle formule on pourrait adopter pour la résistance à la rupture immédiate ou prochaine J^^t torsion , au moins dans le ras du cylindre i base circulaire.

(Du D* 1511).

indéfini de la section , elles peuvent toujours prendre des gran^ deurs aussi considérables qu'on veut, car, en rendant r suffisamment grand, le terme où il est à la plus haute puissance surpassera tous les autres, et comme il est toujours positif dans g*, ce carré devient infini avec r dans toutes les directions ou pour toutes les valeurs de l'angle a. Si g' croîs«ïait toujours de l'intérieur à l'extérieur de la section pour chaque direction , ce serait constamment sur son contour qu'il faudrait chercher les points dangereux. Mais nous savons qu'il y a souvent des points du contour où le glissement est nul, et il peut y avoir, dans l'intérieur, quelque point de maximum absolu de g' (quoique cela ne se soit présenté dans aucun des exemples ci-après traités); et il n'est pas impossible que ce maximum excède toutes les valeurs de g* relatives aux points du contour.

11 faudra donc chercher d'abord les points de maximum absolu de g% ou s'assurer qu'il n'y en a pas. Ils doivent, comme on sait , s'ils existent, satisfaire à

-57=0.-^ = 0; -g^et-^^-r négatif,; ^^ -^ . . ^gati/

On les cherchera analytiquement ou numériquement sur les li-

on ntiL

gnes droites ou courbes représentées par l'équation -t— = 0 (qui en fournira toujours plusieurs, et qui est généralement plus simple

que l'équation -t— = 0, susceptible de servir au même objet ) et

on essayera s'ils remplissent les conditions relatives aux dérivées

du second ordre 5-?» wi» ©t s'ils tombent à l'intérieur du contour.

La double recherche sur les lignes ayant pour équation — p- = 0 et sur le contour, conduira donc, dans tous les cas, à la détermi-

(DU n« t&e).

nation de ces points de la section où g* à une talear plds grande qu*aux autres points.

Souvent ces points dangereux seront les Intersections de lignes

-1— =: 0 avec le contour de la section; iiiais qilëlqiiefols aussi \]È

se trouveront en d'autres endroits du contour, comme nous en verrons des exemples aux $$ 33, 35.

Lorsque la section est partagée symétriquement par une ou plusieurs lignes droites, ces lignes de symétrie sont nécessairement au nombre de celles de maximum ou de minimum relatif de g*

d ff' qui satisfont h y |^ = o ; car, en prenant Tune d'elles pour Taxe

à partir duquel on compte les angles a (ou pour Taxe des u\ les coefficients G',, C',^ G',.- des équations et expressions des %% 10 et 11 sont nuls, et il ne reste que les termes affectés de C,, G,, G,...,

comme on a vu § 12; Texpression ($ il) de » ne contient donc que

des cosinus de 2 et de ses multiples: son coefficient différentiel ne contient que des sinus et devient nul pour a = 0, c'est-à-dire pour les points de la ligne de symétrie.

Et les intersections de chacune de ces lignes de symétrie arec le contour de la section sont des points de maximum ou de minimum de g' sur ce contour ; car elles le coupent à angle droit; r y est con-

d ir*

stant sur une petite étendue, en sorte que la condition -^ =0

pour r constant s'y trouve remplie par les valeurs de g* relatives aux points du môme contour.

C'est ce qu'il était facile de prévoir en se rappelant ( J 12) que lorsqu'on place Taxe de torsion de manière qu'il rencontre une ligne de symétrie, elle reste tout entière dans le plan primitif de la section , ce qui donne pour tous ses points, en la prenant pour axe des », r = 0, la pente i=0, et g'=i — Or nul aussi, ainsi que son coefficient différentiel ^|; d'où g=g'\ et, vu Q^^e ~ + ^' = 0(S6),

(Du n« t5G}.

c*est-à-dire que le glissement principal est bien un maximum ou un minimum , en tous les points de cette ligne de symétrie, parmi les autres points situés sur des lignes qui la coupent à angle drôli

Aussi, dans presque tous les exemples ci-après (mais non dans tous, voyez SS 33, 35), c'est aux extrémités des plus grands et des plus petits diamètres que se sont trouvés les points de maximum et de minimum de glissement. Les points dangereux ou de maximum ont été , pour ces mêmes exemples, les extrémités des pliis petits dia^ mètres^ ou les points du contour les plus rapprochés des centres des sectiom. Mais cela ne saurait être général, car, lorsque le contour offre des anyles rentranisy les arêtes y restent normales aux sections, et le glissement y est nul comme aux anyles saillants^ par la même raison qu'on a dite au % Zi, et qui est dérivée de la condition de normalité des sections infléchies à la surface latérale modifiée par la torsion ; d'où Ton doit inférer que lorsque les contours des sections offrent des parties rentrantes arrondies, mais d'une courbure très prononcée, le glissement doit y être un minimum et non un maximum parmi les points du contour.

En tous cas il est bien entendu , si seulement on se rappelle riri4épendance où sont les glissoments de la position de Taxe de torsion (S loj que leurs grandeurs ne sauraient être constamment eh raison directe des distatiC(:'S, à cet axe , des points des sections où ils ont lieu, comme il fallait le supposer dans l'ancienne théorie basée sur rhypothèsc que li-s sections restent planes et perpendiculaires au même axe. Il n'est donc nullement étonnant que les plus grands glissements se trouvent le plus souvent aux points les plus proches de l'axe de torsion supposé passer au centre.

S 18. Premier exemple ou premièze pnriicularisation. Section circulaire. Torsion d'un cylindre autour de son axe de figure, — On obtient une section circulaire en supposant les coefficients C, , C,,

C, C'i, C, , C'g tous nuls, ou les pentes t, j nulles; car

l'équation du contour est alors, en faisant 2K = r* :

et réquation de la surface de la section, qui se réduit à

(Dan* 1511).

vérifie bien que cette surface reste plane comme on Ta vu an S &- Alors on a le moment de torsion

Ml = Ge/(tt« + v*)du = G6J,

J étant le moment dMnertîe de la section autour de son centre» ainsi

quMl a déjà été dit , ou bien , vu que J = ^ (S i) ,

Une pareille torsion d'un cylindre circulaire de rayon quelconque r est déterminée par des forces qui ont pour valeur, en appelant toujours r le rayon vecteur du milieu d'un élément quelconque du de la section

Ggdco = Gd<o v^g'« -f g"« =G(ico y/(»u)' + (— Oc)« = Gdr . dw,

c'est-à-dire par des forces appliquées sur les bases extrêmes , tan^ gentiellement ou dans leurs plans, et perpendiculairement aux rayons vecteurs auxquels elles sont proportionnelles, ainsi qu'aux superficies des éléments d^.

Et tout autre mode de sollicitation ou de distribution des forces aux extrémités donnera très-approximativement, d'après ce qu'on a dit au S 9 et d'après l'expérience, la même torsion pour le même moment total M^.

Comme le plus grand glissement répond à r = r, l'équation de cohésion permanente ou de résistance à la rupture éloignée sera (§ précédent) :

To = ou > cer ;

ou , en éliminant G6 au moyen de l'expression M^ = G^ -^ du moment de torsion :

Limite de M, =^To;

équation qu'on aurait obtenue immédiatement en regardant les résistances comme proportionnelles aux distances au centre (ce qui

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