ARTICLE V

DE LA RÉSISTANCE d'UN CORPS PRISMATIQUE A LA TORSION.

liStt. On peut essayer de former la théorie de -ce genre de résistance au moyen de considérations analogues à celles qui ont été employées pour la résistance à la flexion.

Soit (Fig. 12] un solide prismatique encastré horizontalement à Tune des extrémités. Supposons qu'une force P agisse à Fautre extrémité avec le bras de levier Bc pour tordre le solide autour de Taxe Ce; imaginons que par Teffet de la torsion, un diamètre bb de la section extrême, sur laquelle agit la force P, se soit transporté en tfh'. Le diamètre correspondant AA de Textrémité encastrée n'aura subi aucun déplacement; et on doit concevoir que tous les diamètres des sections intermédiaires,

très carrés qu'on vient de trouver pour résister à la compression et au glissement seuls.

U est bien entendu, au reste, que la section sera renforcée suivant Tusage , auprès du moyeu et auprès des jantes» pour obtenir Tencastrement parfait, ou la constante normalité du rai à leurs deux circonférences.

a sera bon aussi , vu les hypothèses qu'il nous a fallu faire pour arriver au résultat co = 73, d'appliquer le même calcul à quelques voitures analogues, déjà construites ou éprouvées , ce qui servira à faire une correction par la comparaison.

{♦) Voir la note du n* !5/i.

238 ' SEGT. I. BÉSISTANCË DBS SOLIDES.

\je\s({uëdd, se àorlt déplacés proportionneiledôéllt à iM^ distance Ce de rextrémité encastrée. Par l'effet de ces déplaoemenis, les molécules qui, dans deux sections iransY€Md€s consécutives , létaient avant la torsion vls-k-vis les unes des aulrai, ont été éloignées l'une de l'autre d'une quantité proportioAnelle, i« à la distance de ces molécules à Taxe Ce; t** à la différence des angles parcourus par chaque diamètre dans deux sections transversales consécutives , différence proportionnelle à Tangle bcb'y et réciproque à la longueur Ce du solide. On peut supposer^ la torsion étant censée très-petite, que les fésistances naissant des déplacements relatifs sont proportionnelles à ces déplacements. Le moment de la résistance qui a lieu dans une section quelconque du solide^ doit d'ailleurs être ^al au moment du poids P. Considérons une section transversale qoelconque, et nommons

a la longueur du solide, depuis la section fixe AA jusqu'à la section bb où agit la force P ; .

0 l'angle bcb' décrit par les diamètres de cette soctkm extrême ^ angle qui est supposé fort petit;

r la distance d'un point quelconque d'une section traDSve^ sale au centre e de cette section;

(p l'angle de la ligne r avec un diamètre de la même section;

r = /(cp]réquation delà courbe qui forme le contour de It section ;

R le bras de levier Be avec lequel la force P agit pour produire la torsion;

G un poids constant pour chaque espèce dé oorps^ l^pftientant la résistance spécifique à la torsion.

L'élément de l'aire de la section transversale placé à rextrémité du rayon r étant d^r . r, on aura

G - dçrfr . r* a

pour la résistance provenant de la torsion qui a lieu dans cet

AËT. V. tOBSION. 239

élément; et pour exprimer l'équilibre entre le moment de In force P, et la somme des moments des résistances semblables.

ou

Cj

(*) S 1. Moment d'inertie polaire (Tuîie section. Le moment de torsion ne lui est pas généralement proportionnel, — M. Persy, dans fÊfcs leçons à recelé d* Artillerie et du Génie de Metz, a appelé momi^nt polaire le moment d'inertie d*une section autour de son centre de gravité^ ou autour de l'axe perpendiculaire à cette section passant par ce centre. Si on appelle

J ce moment;

d(i> les éléments superAciels do la section co;

I et r ses moments d'inertie autour de deux axes coordonnés

rectangulaires des t/, des v, tracés sur la section par le

centre;

on a simplement pour le moment dlnertie polaire :

j=/r*dw; ou comme r*= t* + w' :

G^est ce moment qui se trouve désigné, dans le texte, par \ * dfjdr.r*= I d? • r [/(?)]*♦ en sorte que Texpresslon donnée

pour PR revient à G - J.

G'est seulement lorsque la section est un cercle que le moment polaire J est plus facile à calculer directement (n* suivant 157, ou S 1 de la note du n" 84) que les moments I = /r»d<o, r = /w»rf<o considérés dans la théorie de la flexion. 11 n'est donc pas besoin , pour les autres sections, d'avoir recours à la coordonnée angu-

2/|0 SF.CT. I. RÉSISTANCE DES SOUDES.

(Du n* IMI].

laire 9. Par exemple, pour la section carrée que Tauteur considère au n* 158, comme le moment d'inertie I = F autour d'une médiane

est(n* 81) 70» ^û*» de suite, en doublant, -g- = J-

Mais Texpression PR = G - J donnée dans le texte pour le moment

de torsion ou le moment PR des forces qui font tordre, n*est exacte, comme nous allons voir, que lorsque la section est circulaire, ou encore lorsque la section est de celles qui sont astreintes, par exception, à rester planes et normales à Taxe de torsion.

S 2. I«a cause de la résistance à la torsion ii^est pas dans le changement de longueur des fibres longitudinales devenues des hélices. Remarque de Thomas Young. — Il ne faut pas croire, d'après ce que semble dire d'abord Navier, que les résistances intérieures développées sont dues à Véloignement mutuel ou à l'augmentation de distance des molécules qui faisaient partie d'une même file longitudinale; on voit que c'est, en définitive, à Véloignement de leurs deux projections sur un plan perpendiculaire à l'axe qu'il regarde chaque résistance partielle à la torsion comme proportion-

nelle. Cet éloignement - r acquis par les projections, primitivement coïncidentes, de deux molécules h l'unité de distance sur une même file, revient à la projection d'une longueur = 1 de la file sur le plan primitif de la section^ ou au glissement principal (note du n* 152, S à) qui a lieu sur la section h la distance r si elle est restée plane et perpendiculaire à Taxe de torsion.

Quant à la quantité dont deux molécules non projetées se sont éloignées^ elle est, pour l'unité de leur distance primitive

si les sections dont les molécules font partie sont restées à la même distance 1 l'une de l'autre; et si- elles se sont rapprochées d'une quantité k, contraction supposée de l'axe du prisme, il reste pour la dilatation éprouvée par la fibre située à la distance r de Taxe

ART. V. TORSION. 2ûi

(Dii n* f Ml).

Voyons quelle serait la résistance à la torsion que produiraient,

/OV* \ seules, les forces Edco ( -^ — A: j développées par de pareilles dilatations des diverses fibres, dont les sections sont d(^. Il faudra d'abord, pour Téquilibre longitudinal, que la somme de ces forces soit nulle, ce qui donnera, en supposant la section circulaire d'un rayon r, et en remplaçant dtù par 2::rdr, superficie de la couronne dont tous les éléments dta sont à la distance r de Taxe :

5^E.w.(g;-*)=o.d'où*=^;.

La somme des moments, autour de Taxe, des mêmes forces ou efforts

/0«r' O'r'X de traction, s'obtiendra en multipliant Tintensité Edco ( q-^~7— i)

de Tune d'elles par - r, cosinus de l'angle qu'elle fait avec un plan

perpendiculaire à Taxe, puis par r qui est son bras de levier si Ton néglige Tinfluence des contractions latérales accompagnant les dilatations longitudinales, et enigoutant tous les produits. Remplaçant encore d<» par 2T:rdr pour intégrer de 0 à r afin d'opérer cette addition, on obtient pour le moment total des résistances des fibres qui, devenues hélicoïdales, se sont allongées vers la circonférence et accourcies vers le centre

avec un nombre très-peu différent à la place de E si Ton tient compte d'une manière approchée des contractions latérales.

Depuis longtemps Young, sans donner ce calcul, avait remarqué que si la résistance à la torsion résidait dans l'action des fibres longitudinales ainsi étendues vers l'extérieur et (pour l'équilibre) contractées vers l'intérieur, cette résistance serait comme le cube

de Vangîe de torsion - ; d'où il concluait, puisqu'elle est d'après

Texpérience proportionnelle à cet angle, « qu'elle doit dépendre

2b2 SECT. I. BÊSISTANCE DBS SOLIDES.

(DU li« f Ml).

principalement, si ce n'est entièrement, de la rigidité ou de Vadhésion latérale qui s'oppose à la dètrusion des particules, c'est-à-dire (S 1 note du n* 152) à ce que nous avofts appelé le glissement f). Dans les cas que nous considérerons cxclusiTement « la ionùm - est irès'peiite. La partie du moment de torsion que nous venoas

ide calculer (et qui serait quadruple , ou égale à -^ r* ( - 1 sî les

deux hases du prisme étaient maintenues à la même distance) est donc tout à fait négligeable devant l'autre; les fibres, qui ne se sont dilatées que de quantités très-petites du second ordre, peuvent être regardées comme n'ayant pas changé de longueur, et la contraction latérale est aussi nulle ainsi que le changement de volume ûa cylindre tordu.

Mais si la torsion -, twi Vart mesurant pour un rat/on ^^ i, fci fo-

laiion relative de deux sections à Vunité de distance n'est fMS trèspetite , cette partie du moment qui varie dans un autre rapport que la torsion et que la û* puissance du rayon r peut être influente et il peut y avoir en môme temps une diminution sensible du diamètre et du volume. C'est ce qui a eu lieu dans diverses expériences de M. Wertheim, où cette diminution du volume a été trouvée proportionnelle au carré du rayon.

S 3. Cette cause se trouve dans la résitlance a» flisseimemi des sections Vune devant Vautre ou des fibres les unes contre les autres; oUf ce qui revient au niênie y dans la résistance à rallongement et à raccourcissement des diverses lignes matérielles hélicoïdales in- 'Mnées à 45 degrés sur F axe de torsion. Première conséquence si la section reste plane. — Si donc , par une petite torsion , les fibres éléittentaîres ou fibres longitudinales de molécules telles que mn^ pq comprises entre deux sections consécutives sont devenues m»„ pç„ Yh cause de la résistance développée ne doit pas être cherchée dans

(*) yt course of lectures on natural Philosophy ami the mecanical Arlt;\jam» iqHI, 1807. Vol. I, lecture xtn, t>. <3^. Nous n'avons, en français, que les mois intrusion, intrus, qui Tiennent do I iradiea) qne le mol la^ 4etméere, chamwf, ^n9l«rr dffcotn.

ART. y. TORSION. 243

(DU DofMI).

les augmentations de longuenr très -petites du second ordre quelles ont éprouvées, mais dans j les inclinaisons qu'elles ont été obligées de prendre sur les sections , d*où est résulté un glissement relatif des éléments superficiels correspondants piTi 9 g/ide celles-ci, et, en même temps, un glissement relatif des fibres mn , pq elles-mêmes; glissements qui exigent une certaine force pour être opérés. Ce sera, si Ton veut (puisque tout glisseirfent revient, comme on Ta vu au S 6 de la note du n** 152, à une dilatation et à une contraction dans des sens à ^5 degiéB), la résistance à rallongement de la diagonale pnàxx petit carré pnmq et à raccourcissement de sa diagonale inq, allongement et aoooiircîsseaient qui sont petits du premier ordre puisque leur piro-

Bortion est ^ ^ comme on a vu.

^^ 2 mn

Il en résulte que si les deux sections consécutives pma, qnh restant plaoes et normales à Taxe de torsioo, comme le glissement

relatif — ^ de leurs deux éléments dco dont les centres sont en m, mn

» à la distancer de TaiCt a pour grandeur -^ et donne lieu à une

résistance dontTIntensité est, G représentant le coefficient d'élasticité de glissement du S 5 de la note du n* 152,

G— dw,

on a bien , en multipliant par le bras de kivi^T r et en intégrant foxïr toute la sectiOB^ la valeur suivante du moment de torsion

G^(r«(fco =

Oette expreKfion, t»>nforrae an texte, est exacte lorsque la seefion du prisme est circulaire , car comme une pareille sectiOB b^ tracune raison de se courber plutôt en un point qu'en un antre également distant du centre^nide prendre un bombement généml

(Du n« tSC).

plutôt d'un côte que de l'autre , elle doit être plane après comme avant la torsion.

Elle peut encore être appliquée quelle que soit la forme du contour de la section , dans certaines circonstances exceptionnelles oU elle est astreinte à rester plane {% 10 de la note n* 152} ou empêchée de se gauchir, ce qui a lieu par exemple dans les prismes que M. Vicat appelle infiniment courts, ou de longueur nulle, qui sont sollicités à tordre par des forces agissant infiniment proche du plan de leur encastrement dans une matière rigide.

S û. Courbure que prennent par la torsion les sections transversales primitivement planes lorsqu'elles n*en s6nt pas empêchées et que leur contour n'est pas circulaire. Conservation de leur normalité à la surface extérieure latérale du prisme tordu, — Mais , dans tout autre cas, c'est-à-dire lorsqu'une section non circulaire sera libre de se courber, elle ne restera pas plane, et les glissements n'y

seront pas représentés par - r, en sorte que Fë moment de torsion

Jie sera pas porportionnel au moment d'inertie polaire J = /r'Jca.

Nous verrous même qu'il est égal à G - multiplié par une quantité

constamment moindre que J.

Uappelons en effet ce que nous avons dit {% i de la note du n* 153), à savoir qu'aux points où la surface latérale d'un prisme est libre , ou soumise simplement à une force normale comme la pression atmosphérique, il n'y a, à l'intérieur, si la matière est d'égale élas- . ticité, aucun glissement sur les éléments superficiels de cette surface; par conséquent les petites lignes matérielles tracées primitif ventent sur ses sectiojis normalement au contour et par conséquent à cette même sur/ace extérieure , restent normales à la surface et au contour quel que soit leur petit changement déforme. Il en résulte qu'après une torsion les arêtes du prisme devenues des hélices doivent (comme toute autre ligne tracée sur la surface extérieure) se projeter, sur la section, normalement à ces petites lignes normales, «t par conséquent tangentiellement au contour^ en sorte que le glissement principal sur les sections à leur contour ne peut être dirigé que suivant les éléments de ce contour.

AKT. V. TORSION. 245

(Ou u' ise).

Or toute hélice se projette, sur un plan perpendiculaire à son axe, suivant un cercle dont le centre est cet axe, et par conséquent normalement aux rayons vecteurs qui en émanent 11 faut donc , si la section d*un prisme tordu reste plane et perpendiculaire à Taxe de torsion, que son contour soit partout normal aux rayons vecteurs, c'est-à-dire que ce contour soit un cercle.

Il n'y a, ainsi, que les sections transversales circulaires qui restent, après la torsion, dans les endroits où la surface est libre, planes et perpendiculaires à Taxe de torsion. Toutes les sections ayant une autre forme se gauchissent ou changent leur plan en surfaces légèrement courbes , coupant normalement partout la sur^ Jace latérale après que celle-ci est changée de forme par la torsion.

On peut le vérifier expérimentalement, du reste, en tordant un prisme de caoutchouc à base carrée ou rectangulaire. On verra les côtés primitivement rectilignes de ses sections transversales s'infléchir en S, en restant normaux aux quatre arêtes saillantes devenues des hélices qui doivent^ en effet , couper normalement la surface courbe affectée par la section, puisque chacune d'elles est l'intersection de deux surfaces contiguës , normales l'une et l'autre h, cette surface d*après ce qu'on vient de dire.

On peut également s'en convaincre au moyen d'un petit appareil permettant de tordre simultanément, autour d'un axe intermédiaire, deux prismes ou cylindres distants et parallèles» supposés solidaires ou astreints, par des liaisons rigides, à se regarder constamment par le même côté , ou à se comporter comme un seul corps. On verra (et on conçoit facilement qull en doit être ainsi) que les bases s'inclineront en sens opposé , sur leur plan primitif commun, de manière à rester à peu près. normales aux axes partiels, ce qui exclut la conservation de la forme plane de la section totale qu'elles composent et de sa normalité à l'axe de rotation commun et intermédiaire (voyez plus loin}.

S 5. Expressions des glissements j^rocenant à la fois de la courbure des fibres en hélices et de la courbure des sections transversales primitivement planes d'un prisme tordu. — Supposons donc qu'une

a&a SECT. 1. RÉSIBTAIIGË DES SOLIDES.

(DU ii« IMI).

section borizontale AKB d'on prisme yertical dont le centre eai en O ait pris» au point M dont ta coordonnées transversales sont u et V, une petite eourbure de Minière que rms soiti en projection verticale 9 la coupe par le plan vertical MU mené parallèlement à Taxe des abscisses Ou, et qu'en môme temps la file verticale de molécules qui se projetait horizontalement en M se soit légèrement inclinée et courbée en kè- Ikle, àotmtr de Tute 0 du prisme^ de sorte qu'une petito iongueiir dé eette ligne se projette borizontalament suivant Faro très-petit Mil doât to centra est eu G , et verUcaleteent sttlvaat la. tigne presque droite mn. Appelons:

>»== sju* ^t^ le rayon vecteur OM du point M ;

6 la torsion (ce qui a été appelé - ci-dessos) ou l'arc d'un rayon

=2 1 mesurant la rotation relative de deux seelioM dupristne à runité de distance lime de Vautre;

g le glissement principal sitt la section en M, on la projectioli, sur son plan tangent en ce point, de Tanité de longueur portée sur la tangente à la ligne matérielle qui lui était primitivement normale ;

g', g^^ ce glissement estimé suivant les coordonnées u^ v, ou la projection dé la même unité de longueur sui* ce que sont devenues deux parallèles à ces coordonnées , menées sur la SBCtktti par le même point M ; en sorte qu'on a g* = g^ + g'^, va qwr ces deux ligues n'ont pas cessé d^ètre sensiblement perpendiculaires ;

z L'ordonnée verticale mk du point m de la section courbée, ou sa distance au p^an horizontal o/r passant par son oentr^oi

ART. V. T0BSiO£(. 2kl

( bu n» tIMI;.

» = -V- la penêe ou HncNnaison tnfts-pctitc, au point (M, 7n), de

la coupe r))is ou de. sa tangente mt sur ok ou sur le plan horizontal;

; = -^^ la pcnto, aussi en M , de la section dans le sens i;, ou de

la coupe de eette surface par un plan vertical parallèle aux ordonnées r.

Si la section était restée plane et horizontale , on aurait les glissements

g=:Or, g' = -~Ot?, g"=:^Ow:

car, mn étant pris pour unité de longueur, sa projection horizontale MiN = Or serait le glissement sur la section , et NP.VI étant un petit triangle rectangle semblable au triangle OKH dont les côtés sont u^v^r^ on aurait bien g' = — MP = — Or , g" =^p = Ou.

Si, d'un autre côté, la section s^étant courbée , la fibre en M était restée verticale, le glissement g' serait la projection vid^ sur la tangente mt , de l'unité de longueur ma portée sur cette verticale 7na ; projection qui ne serait autre chose que la mesure du petit angle d'inclinaison imu de la tangente mt sur Thorizontale mu, en sorte qtt*on aurait

g' = i=g;etdemèmeg"=.>=^;.

Let Yaleurs effectives de g et de g\ d*après le principe de composition géométrique' des déplacemeats très-petite, et par conséquent d'addition algébrique de ceux qui sont estimés dans le même sens, sont sommes de celles qui viennent d*ètre trouvées dans ces deux hypothèses» £t c'est ce qu'on voit Uen sur la figure pour le glissement g' suivant les i«« En effet, il eat mesuré par mq, pro^iectioa dd jTinss i sur la tangente mt ; or Tn^^smci-^gd, et qd=^ita=. PM. On a. donc, au point (M, m), pour les glissements suivant les ooordonnées u , v, dus à la fois à l'inclinaison prise par la fibre et à Tiactiiiaisoo prise par l'élément de la section :

g' = t — Ot?, g"=y-f-OM.

SËCT. I. RÉSISTANCE DES SOUDES.

(Du »• f ftS).

£t, par suite, pour la grandeur du glissement principal ou résultant sur la section :

g = v/(f — Or)«-f t;-f Om)«.

Ces glissements g' et ^' sont aussi , comme on Ta vu au $ â de li note du n* 152, ceux qui ont lieu sur la fibre en M, dans les plans respectivement parallèles aux u et aux v , ou les glissements , estimés verticalement çu longitudinalement , qui ont lieu sur les faces verticales menées en M parallèlement aux v et parallèlement aux u.

S 6. Condition générale que doivent remplir ^en tous leurs points^ les surfaces légèrement courbes dans lesquelles se changent les plans des sections des prismes tordus. Nullité de la somme des courbures de deux coupes à angle droit. Expression de cette condition par une équation différentielle. — Supposons que toutes les sections d'un prisme aient tourné unirorméraent Tune devant Tautre d'angles égaux aux produits de 0 par leurs distances restées les mêmes ainsi que les distances mutuelles transversales des points de chacune, mais que ces points aient éprouvé de petits déplacements longitudinaux, les mêmes pour ceux qui se correspondaient primitivement sur une même parallèle à Taxe, de manière à faire prendre aux surfaces de toutes les sections la même forme courbe. Soit mjiqp la base d'une fibre ayant une largeur 7nn = du et une épaisseur mp = dv et supposée terminée, avant la petite déformation provenant de la torsion, par des plans m/2, pq et mp, nq parallèles à Taxe de torsion O et respectivement aux coordonnées t^, t? du point nu

Établissons Téquation d'équilibre de translation longitudinale de la petite portion de cette fibre rectangulaire contenue entre deux sections très-voisines. On suppose qu'elle n'éprouve aucune traction longitudinale ou parallèle à l'axe, et on abstrait sa pesanteur. Les seules forces longitudinales s'exerçant sur les quatre faces latérales mn^ pq, mp, nq, sont des actions tangentielles provenant des glissements, aussi longitudinaux, qui y ont lieu, ou des petits degrés d'obliquité pris sur les arêtes par les lignes primitivement

AHT. V. TORSION. 2^9

(Du n" Iftll).

aormales aux faces. Elles soat égales (S 5 de la note n" 152) à ces glissements multipliés par un même coenScient G si la contexture est égale dans tous les sens transversaux.

Or le glissement sur la face mp, estimé longitudinalement ou dans le sens de Tarôte m, a la même grandeur, au point de /n de la section, que le glissement sur la section , estimé suivant la ligne mn perpendiculaire à cette face latérale mp, puisque ce sont les projections , nécessairement égales , sur chacune de ces deux lignes primitivement orthogonales (Parôte m et le côté mn) de l'unité de longueur portée sur Tautre, ou puisqu'ils ne sont autre chose que le petit rétrécissement éprouvé par leur angle droit

C'est le glissement appelé g' au $ précédent.

L'action sur la face latérale mp de la fibre, décomposée longitudinalement, est donc, par unité superficielle,

Gg'. .

L'action sur la face adjacente m/i, décomposée aussi longitudiuaiement» est par la même raison

Gg''.

Comme il s'exerce, sur les faces opi)osées nq, /></, des actions longitudinales opposées à celles-ci , la condition d'équilibre est, en supposant mn = mp, qu'on ait zéro pour la somme des quantités dont le glissement sur nq excède le glissement sur i7ip et dont le glissement sur pq excède le glissement sur 7;m, ou qu*on ait

du ^ dt? "'

ce qui, en mettant pour g' et g" leurs valeurs i — Oc et j + Ou du S précédent, donne

^ 4-1^-0 du^ dv-^'

ou réquation aux dérivées partielles du second ordre

Mais nous exprimerons cette condition sans cesseï* de raisonner d*une manière élémentaire si nous appelons :

2&0 SECT. 1. RÉfiUTAMCE DE& bOLlOLS.

(Du o« lAe).

t, la valeur que prend la pente t de la surface courbe do U sec* tien dans le sens u quand on passe du point 7u au point très-voisin » sur une môme parallèle à u ; ou rinclinai^ion , sur rancicn plan d« la section, en ce dernier point n, de la tangente à la coupe de cette surface par le plan vertical mené en m parallèlement à la coordonnée u ;

7, de même la valeur que prend la pente j dans lo sens v, quand on passe au point p, supposé à une distance mp =. mn du point m sur une parallèle à v ;

L'équilibre exigera que la somme des actions longitudinales G(i, — Or), G(7j + Oa) sur les faces nq^ pq^ égale la somme des ae* tiens respectivement opposées G(t — ^), G^ -f O^t) sur les foces mp^ mn. Les termes en 0 disparaissent et il reste

La signification géométrique de cette équation générale trèssimple est facile à saisir.

Elle montre que la surface peu courbe affectée par la section du prisme tordu doit être telle qu'à partir de chacun de ses points la pente croisse autant dans une direction quelconque qu'elle déerott dans une direction perpendiculaire, ou que, si on la coupe jiar deux systèmes de plans orthogonaux menés parallèlement à l^aie de torsion, les lignes courbes qui en résultent aient, mr un plÊn perpendiculaire au même axe , des inclinaisons dont Vmw sng*mente justement de ce dont Tautre diminue lorsqu'on passe d'un point quelconque où deux d'entre elles se croisent à des points voisins également distants sur l'une et sur l'autre coupe.

En sorte que les courbures très-petites de ces deux coupes soient partout égales et opposées.

S 7. Démonstration plus directe de celle propriété générale des surfaces courbes affectées par les sections transversales des priemee après leur torsion. — Dans la torsion d'un prisme, supposé vertical pour fixer les idées, les lignes matérielles verticales se courbent, et les sections horizontales se courbent légèrement aussi. Les petits déplacements relatifs des points d'une petite portion du

ART. V. TQWUQK' 251

(Du n» iftS).

soiidfi sont résultants géométriques de ceux qui seraient dus séparément à la seule courbure des lignes verticales » les sections restant planes et horizontales, et à la seule courbure des sections, les fibres ou lignes de molécules restant verticales et droites ; et les actions exercées longitudinalement sur une fibre ou un élément prismatique vertical quelconque sont sommes de celles qui seraient développées séparément par oes déplacements composants.

Or les actions qui proviennent de la seule courbure des files verticales de molécules en hélices de même pas et de même axe se font équilibre. On le voit facilement en divisant le prisme en fibres dont les bases soient de petites portions de secteur o^dc comprises entre deux rayons vecteurs Oac , Obd et deux arcs de cercle ab 1 cd ayant leur centre sur Taxe O des hélices; car la fibre n'est pas sollicitée tangentielletnent à ses faces cylindriques a6, cdy puisque les lignes tellesque Oac, Obd qui leurétaient normales leur sont encore normales ; et, comme la base est restée, disons-nous, holizontale, la fibre e6t sollicitée par des forces contraires justement égales sur ses faces égales ac, 6d, qui s'inclinent également toutes deux sur leurs anciennes normales restées horizontales.

Les toadances à la translation verticale ou longitudinale des fibres ue peuvent donc venir que de la seconde cause , ou de la courbure des sections supposée avoir lieu seule. Or considérons une portion de fibre supposée maintenant à base carrée, dont les arêtes sont ainsi restées verticales, mais dont les sections primitivement planes se sont changées en surfaces légèrement courbes. Soient At^â', limB' les coupes de la section à . égale distance des deux bases , par les deux 1 1 plans verticaux à égale dislance des faces K-<^'^^ latérales. 11 y aura sur ces quatre faces des "*^j^ actions tangentielles proportionnelles aux petits degrés d'obliquité pris sur leurs plans par les coupes qui leur étaient primitivement perpendiculaires ; ces actions décomposées longitudinalement seront pfopoftiotrnelles aux obliquités estimées longitu-

252 SëGT. I. RÉSISTANCE DES SOLIDES.

(bu D» IMI).

diaalemeDt aussi. En désignant donc les faces latérales , égales &i superficie, parleurs centres A, A', B, B', la face A' est sollicitée par une force de bas en haut proportionnelle à Tobliquité qu'a prise en A\ sur la verticale, la ligne AmK' prolongée» ou par une force proportionnelle à Tinclinaison , sur Thorizon, de la tangente en A' à cette courbe. La surface opposée A est sollicitée de haut en bas par une force proportionnelle à rinclinaisoa possédée , de même, parla tangente en A. La même chose peut être dite des faces B\ B et des inclinaisons, sur Thorizon, des tangentes à la courbe BMB' aux points B' et B

Donc, pour Téquilibre, la différence des pentes ou inclinaisons de la coupe AA' aux points A' et A doit être compensée par la différence des pentes ou inclinaisons de la coupe BB' aux points B' et B.

Or c'est précisément ce qu'exprime l'équation (i, — t) -f (j*j— ^*)=o

cl dessus, qui est la même chose que 7" + x = ^ ^^ ^^® Péquation aux dérivées partielles j-; + j-j = 0 si les côtés des bases

carrées des fibres sont pris parallèles aux coordonnées transversales u, V des points de la section.

S 8. Condition particulière aux points du contour des sections des prismes tordus, — Il faut, avons nous dit, vu la nullité supposée de toute action tangentielle et par suite de tout glissement sur les faces latérales du prisme, que la section courbée les coupe normalement, et que les lignes matérielles qui étaient primitivement normales à ces faces latérales leur restent normales ainsi qu'au contour de la section et aux arêtes devenues des hélices, d'où 11 suit que ces hélices devront se projeter sur la section^ ou sur ses plans tangents, tangentielleînent au contour.

Or un élément du contour dont la forme est donnée par une équation entre les coordonnées u et r, a pour projections

du sur l'axe des u, dv sur l'axe des v. La fibre en hélice se projette sur le contour dans la direction du glissement principal qui a pour projections

t — ey sur l'axe des « , 7 -f- ôm sur l'axe des i\

(DQ n» 156!).

Pour que ces deux directions soient les mêmes il faut que

dv __ j+Ou^ dû "^ t- 6r'

en sorte que la condition particulière aux points du contour qui

d^z (î^"* doit servir, avec la condition tj— î +i,— j =-0 ou ^-y + -^ — 0

relative à tous les points de la section, à déterminer la forme courbe de la surface, est

0 + OM)dw— (i— (h?)(ît? = 0, (^ + 0«)d«-(|-0.)j.= O.

s 9. Actions iangentielles sur les sections. Moment de torsion. Détermination générale de la torsion quand on donne ce movnenl. — Si un prisme a éprouvé d'un bout à l'autre une torsion uniforme et très-petite 0 en sorte que toutes ses files longitudinales de molécules se soient changées en des hélices ayant le même axe et un

même pas y , et si les plans de ses sections transversales sont devenus des surfaces courbes satisfaisant, en tous leurs points, à la condition générale ou indéjinie (%% 6 et 7)

(Pi d!^z (i,-i)+U,-j) = 0 ou + ^=0,

et, de plus, aux points du contour, à la condition particulière ou définie (g 8),

U + ^)du--(i--^)dv = 0 ou (^ + Bujdu- ^-^ -- Ot?^ dt? = 0 ,

les éléments dco des sections éprouveront des actions tangentielles

G (f — er)rfco = G (-^ — 6tî) rf« dans le sens m,

GU + ^w)cfr = G ( ^ + Oîi) dw dans le sens r.

Réciproquement si, les faces latérales étant supposées n'éprouver aucune action, les éléments d<^ des bases extrêmes <*> d'un prisme

!IS6 SBCT. I. itmTâNGB DBS SOLIDES.

(DQD^tMl).

sont sollicitées par les forces taogentielles dontiioiisvenoiisd^éerire

les expressions, dans lesquelles z et par conséquent t et 7 sont des fonctions de u et r dépendant de la forme du contour et satisfaisant aux conditions indéfinie et définie qu'on vient aussi dénoncer, t7 y aura équilibre dès que ce prisme se sera tordu uniformément d*un petit angle 0 par unité de longueur.

En appelant M| le montent de torsion ^ c'est-àniire le moment total, autour de Taxe, des forces extérieures appliquées aux bases, ou des forces intérieures s'exerçant à travers une section quelconque et qui leur font équilibre, on aura, en supposant que ce moment fasse tourner de w en t?, ou de droite à gauche pour un observateur adossé à l'axe du prisme :

M, = G Wg"(ia).u-g'dfw.t)=G r tO' + ^)«— (*-^)0*^

SI les forces qui font éprouver à un prisme ans torsion toi^onrs supposée trèx'petite, sans être distribuées sur les éléments des bases extrêmes tout à fait comme l'exigent les expressions d-dessus des actions tangentielles, et môme sans agir sur ces hases, sont appliquées tout auprès des extrémités d'une manière symétrique par rapport à l'axe du prisme, supposé être l^e de tondon, de manière à former des couples dont les moments aient toqjonrs la valeur M| qu'on vient de donner, et si le prisme a une longueur très-grande par rapport à ses dimensions transversales, un raisonnement comme ceux des %$ 6 des notes des n^ Si et SS reltttiMB à l'extension simple et à la flexion, et qui sont tirés de la pisufic indifférence du mode d'application et de distribution des IGorces, ^ffira pour convaincre qu'en exceptant des points trè^-rapproeiiés de ceux où agissent les forées ^ lonU lordro, te jwteae m comportera do la même manière que si les forces avaient été appliquées et distribuées conformément aux exjpreesioès G{t — - »r)dM, GC; -f- ^u]df^.

Il prendra doBC d'un bout à l'autre la tonrioo 0 aofiposée trèspetite.

Lors donc qu^un prisme est soumis à Faction d^mi t^fvtjfl^ % auttmr de son axe, H fatut pn général , pour détemffn«r foi toHNs %

(DQ n* f 5a).

Intégrer l'équation aux différences partielles j^ + 7-1 = ®> *v^

la condition au contour (^ 4- «m j ^«— ( 3^ — ^A dv = 0 particularisée pour la forme donnée du contour de la base; et après afdr dédttît^ 4e Texpression trouvée pour z, celles des pentes

-p = * » j- =J » affectées aussi de Tinconnue • , les substituer dans

Texpression ci-dessus du moment M^ , ce qui donnera une équation dont on tirera la valeur cherchée de 0.

S 10. Contours de sections ^ en nombre infini, pour lesquels on obtient immédintemenl la forme de la surface courbe dans laquelle fa torsion change leur plafu — L'intégration dont on vient de parler, pour une forme donnée du contour, peut être difficile et même impossible. Elle ne «'opère, quand la section est rectangulaire, que par séries transcetidantes (voy. ci-après). Mais on n'a pas besoin éTtetégrer ni même, en quelque sorte, de se ser\Mr des signes de dlfl^rentiation, «n résolvant (ce qui suffit généralement pour les l4[)plfcatfoni^ le pfobîème inverse, eensîstant II se donner la forme de la surface <xyurbe de la section , ou seulement les expressions ée ses dent pentes i fK, ./ , et à chercher les formes correspondantes iuconioup.

En flebomuitMittx formes alg^iques entières. Il est facile de vérifier que Téquation générale suivante de la surface courbe #9B fitectiiMis primitivement planes d*un prisme ayanl éprouvé une torsion 6, équation où c,, c,, c,..., c',, c'2, c', .••> sont des constantes absolument quelconques pouvant être nulles en tel nombre qu'on veut :

ft ^ ^«^ + Cj.2Mt; -f- C, (3««t; — i») + C4 (4k>i> — ïuv^) + C5 (ôii*i; — h OiiM -|- v») + ... i

" " < + C>+c'-j(««-^-K's>" - 3tit?»)+r/4'fr*— 6ii»r«+f *)+c'5W»-4 OiA^-j-SirtA) 4- .. . }

et qui donne pour les glissements i — Ov, j + ^u :

,__^__ ^ /— r-f «c^-f 3Cj,.tw + 4C4(3M«»— »»)+5C5 (UV— iwr») +... j ^ " du } 4-c\+îc'si» + 3cV."»--i;«)4-4c'4(«>-3«i;«)+5cVy-6i«n-«+t-*)+... {'

256 SKCT. I. RÉSISTANCE DBS SOLIDES.

(Du n* tsa).

répond aux cootoors représentés par l'équation suivante, où la constante K du second membre peut recevoir toutes les valeurs possibles, en sorte qu'à chaque surface répond une infinité de contours :

fi'4- r*

"^ +Citt+C,y- »«)+C8'tt«^3iit;»)+C4(ti*— 6k V+»*)-f Cd(««*— « 0«M+5inA)4- ... — C',r— c',.S«a^c'3(3uH?— i»)— c'4(4ii«r— 4tt»*, — c',(6i«Hr— 40i**r»+»»)+ ... = ï.

En effet, sans Invoquer d'autre théorème d'analyse infinitésimale que celui qui est exprimé par

(i | £)n I - yjg quand e eil infiniment petit (*),

on peut en donnant, dans la valeur générale de r, des accroissements Infiniment petits successivement à u et à v et en divisant, par ces accroissements, ceux qui en résultent pour z, trouver immédiatement les pentes ?,.;, et, par suite, les expressions qu'on vient d'écrirepourg'=î — Or ctg"=7-}-^"- Ensuite, en faisant croître de quantités infiniment petites et égales, u dans la première expression , et v dans la seconde, on a zéro pour la somme des accroissements qu'elles prennent, ce qui vérifie bleu la condition (*i — 0 + Ut — i) = ^' Enfin si , dans Téquation générale que nous venons de donner pour le contour, on fait croître infiniment peu les deux coordonnées à la fois, et si l'on retranche membre à membre, de l'équation nouvelle ainsi obtenue, l'équation primitive, on tire pour le rapport de ces deux accroissements de t? et de u, précisé-

(') Od a démontre élcmenlaireroent avec ion inverse, au $ 3 do la noie du n<* 84 , ce théorème sur lequel on se base A chaque instant, m^me dans les cours d'Arttet-méiiers, et qui n'est remplaçablc que Jusqu'à ii = 4 par des considérallOBS d'aires, de volumes et de centres de gravité de triangles ou de pyramides.

Quand on l'a prouvé pour n entier positif quelconque au moyen d'une suite de multiplications par 4+e, il est facile de l'étendre à n Tractionnaire ou négatif; car 4* si l'on extrait la racine n'*n»« des deux membres de 4 -|-«e=(44-£;* avec n entier positif y et si on les élève ensuite à la puissance m aussi entière positive,

on a (4 + ne) *» = (1 + e)«» = 4 -f we = 4 + - . ne. «• Si l'on multiplie les deux

membres do 1 -f ne = (4 -|- e)** par (4 — ne) (1 -f e'"", on t , en transposaot : (4 4- e)- " = 4 — ne -f n*e« (4 -f e)- **, équation où Ton peut effacer le dernier terme du second membre comme infiniment pins petit que le second.

(DQ a* tsa).

ment le rapport |r =i^^, ce qui vérifie la condition particulière ou définie g'^du^gdv^- 0 du S 8 relative aux points du contour de la section.

n est facile de prolonger autant qu'on veut les expressions de 5î» de g', g", et le premier membre de l'équation générale

— S 1- '•" = K du contour, car les termes des polynômes de

divers degrés en u et v multipliés par les coefficients arbitraires <^t9 c',, C3, G'3, ... ne sont autre chose que ceux des puissances (u + v)\ (u 4- r)*, {u + r)*, ... du binôme u +r, mais pris de deux en deux et affectés alternativement des signes + et— , en sorte qu'on aurait pour ceux des 6% 7% 8* degrés :

w* — 16m*îj* -f i5w*i; * — r« et Qu^v — 20m V -f 6av*,

w' — 2iMV + 35MV— 7Mr« et 7u^v — Sbuh^ + 2iuV—v\

!*• — 28MV-f 70uV— 28M*r« + v« et 8u'r~66uV + 56mV — 8wr\ etc.

On peut voir, au reste, que l'expression générale de z est ce qu'on obtient par la méthode des coefficients indéterminés en cherchant

à satisfaire à -r^ + ^ = 0 par une expression polynôme entière

en u, v; ou bien en mettant des expressions entières à la place des fonctions arbitraires 9 et vj> de Fintégrale générale connue

de cette équation, et développant puis donnant aux coefficients des valeurs telles que les imaginaires disparaissent

S 11. Formules en coordonnées polaires, — On manifeste mieux la loi en se servant de ces coordonnées ou en faisant

u = rcosa, Dsrrslna, ou r= v^w' + t?*, a = arctang-2f

car, en remplaçant encore les fonctions 9, ^ par des développements suivant des puissances n... de leurs variables, on a. A, A' étant des coefficients quelconques ,

2=2 [AHr*(côs?ix+V^--isid na) 4- A'nr^CcosTW— v^* sinn*)] ; I. n

(Du D« IftS).

OU, en faisant An4-A'„ = c'„, (A„— An) v— i = Cn pour chasser les ilnaginaires, et en supposant les exposants n entiers et positifs,

C[r slh a + c,r* sin 2a + c^r^ sln 3a -f • . 4- r/,r cos a + c'^r' cos 2a + c'jr* COS 3a + •

à quoi correspondent, pour réquationdu contour,

^ -f C,r cos a -f C,r* cos 2a + c,;^ cos 3a H

— c\r sin a — c',r* sin 2a — c'.r' sin 3a := K ;

et, pour les glisseinents suivant les w , les t- :

,__Q f — r sin a -f 2Cjr sin a + SCjr* sin 2a -f ûc^r^sin 3a -\ \

^ "" ( -t- c\ + 2c',rcosa + 3c'j,r*cos2a + /ic'4r'cos3a-|-.... j '

^ "" j f rcosa — 2c',r sin a— Sc'jr'sin 2a— ^c'^r^sin 3a j *

Le glissement principal g, dont les projections sur les u et sur les V sont g' et g", est, comme on voit, en le divisant par B, une résultante générale de lignes

r, Cj, 2c,r, SCjr*...; c'i, 2c',r, 3c',r',...

faisant avec Taxe des u les angles

Cette résultante ^ est donnée par

5: = r«4- (c*,4- C*,) -f 'C^+ c'\) (2r;t + (cS + C'y (3r»}« + (0% + C'\) (4r8)ï + ...

-f2.4 (c, cos a — c'i sin a) r+ 2.2 (r,cos 3a — c'j sin 2a) r'-f 2.3 (Cjcos 3a — c's sin 3a^ r*-^..,

+2.2.3[(r*C3+c'2C'3)co8a— (CjC's— CsC',)8liia]f»+î.'

= r* -f 2 (c'n + c"n) (nr»»-»)' H- 2S71 (Cn cos /îa— c'n sin 71a) r» +

+ 2ESnm [(c„Cm + c nC'm) cos (771 — 7?) a — (CnC m— c^c'n) sitt (m — 71) a] r*+*

expression dans le dernier terme de laquelle 71, m sont deux indices inégaux dont le seicond est plus grand que le premier. On

(Du D« 166).

pourrait la changer en une expression en coordonnées ordinaires M, V en mettant w, r, w*— r', 2uv, w'—Smi;», 3uh)—v\ etc. tdilr rcosa, rsina, r*cos2a, r»sin2a, r^cosSa, r*sin3a, etc.

Mais on a aussi les solutions plus générales suivantes, où les indices 71 , n' peuvent être des nombres quelconques entiers ou fractionnaires, positifs, négatifs ou nuls :

Éq nation de la snpfacc 2 = ^ (-Cn^** sin noL -j- Sc n»/*' COSn'a) ,

g' = 0 [— r sin a -f S/iCn/"*-* sin (w— î) a + Sn'c'n'r*'-* cos (n'— 1) «] 2wCnr»-*cos (a— i)a— Sn'Cn/r»»'-» sin (n'— 5)a].

I g' = 0[— rsina-f I g"=0[ rcosa +

Équation du contour — + ZCnT*^ COS Tia — Sc'n'?''*'sin n'a = K.

Il existe, au reste, d'autres intégrales particulières de inéquation

d^z d*z aux différences partielles j-i + Ti = 0 ( ^ojbe $ 25). A chacund

d'elles, arbitrairement choisie pour équation de la surface modifiée de la section , répond une forme de coiuoùr, et même une ihfinité de formes représentées par des équations faciles à obtenir, ne différant entre elles que par la valeur d'un terme constant tel que le

second membre K ci-dessus. En effet , en écrivant , dw — -j-dr =

dv du

^ ed ?^l±il la condition ( J 8) ^^ + ^u\ du— C^—^^) dv = 0

qui appartient aux points du contour, et qui est ainsi son équation différentielle quand on met pour 2 une valeur en u, v, son premier membre forme une différentielle complète comme le second, si z sa-

tisfait à la condition connue dMntégralité \ ^^ = ^ , "^, qui

ar du * ^

d*" d^z revient à Téquation aux différences partielles j-^ + --j- = 0.

S 12. Cas ou les contours des sections ont une forme symé» trique, etc. — Lorsque la symétrie a lieu par rapport à Taxe des «, il ne doit y avoir, dans l'équation des contours en coordonnées ordi*

(Du n« tSa).

, tt' + t?* .

• = K da $ iO, que les termes contenant des pu!s>

sances paires de v, afin que Téquation ne change pas quand on met — V pour V ; ce qui donne

L'expression du petit déplacement longitudinal x se réduit à la première ligne entre accolades, et on a z = 0 pour r = 0, en sorte que toute ligne de syméiri£ reste immobile ou dans le plan primitif de la section quand Vaxe de torsion traverse la section en un point de cette ligne; ce qui pouvait être déduit , plus généralement , de cette simple remarque que la ligne de symétrie n'a pas de raison de s'écarter de ce plan primitif d'un côté plutôt que de l'autre , lorsque le prisme est tordu uniformément par des forces agissant d*une manière symétrique aux deux bouts.

Pour des contours symétriques par rapport à Taxe des r, on doit avoir par une raison semblable :

Ci = 0, C3 = 0, C5 = 0,

SI les contours sont symétriques par rapport à chacun de ces deux axes, tous ces coefficients s'annulent et il ne reste que les termes en

Cj , C4 , Cg , Cg , •• •• •

Et, pour les contours qui sont, en outre, égaux dans les âeut sens u, r , Téquation ne doit contenir, avec le terme — ^ — ou 2" obligé pour toutes les équations qui les représentent en termes algébriques entiers, que des termes en

C4» Cg, c„,

ou du U\ du 8% du 12' degré à puissances paires ; ce qui réduit

AAT. V. ToasioN. 261

(DU n- f Ml).

réquation z = ..... de la surface à des termes aussi de ces degrés û» 8, 12, etc.. mais à puissances impaires de u et de v.

Pour les contours qui ont simplement un centre sur Taxe de torsion , ou dont réquation reste la môme quand on change à la fois w, t?, en — î^, — r, les coefficients d'indice impair doivent être nuls, ou on doit avoir 0^ = 0, 63 = 0, .,..., C'i = 0,C'5 = 0,

Avant de particulariser de diverses manières les contours des sections, nous allons exposer quelques propriétés communes à tous les prismes tordus.

S 13. JRéduction , à un couple, des forces tangeniielles agissant sur chacune des deux hases ou sur chaque section transversale de tout prisme ainsi tordu uniformément, — Quels que soient les contours des sections, symétriques ou non, représentés par une équation soit algébrique , soit transcendante, on a toujours sur chaque section <», et pour toute son étendue :

/g'dw = 0 , /g"d« = 0,

En effet, les forces tangentielles extérieures Gg'd(o,Gg''dfa) agissant sur les éléments dco d*une des deux bases du prisme parallèlement aux coordonnées u, t% et les forces égales , aussi extérieures et par conséquent de sens opposés >-Gg'(2b>, — Gg^'c/coqui agissent de môme sur les éléments de Tautre base, ces forces, disons-nous, font équilibre aux actions intérieures de ce solide, puisque ses faces latérales ne supportent aucune action par hypothèse. Elles doivent donc se faire équilibre entre elles comme on Tentend en statique élémentaire, ou remplir les conditions connues de Téquilibre des forces sur les systèmes solides. Or c'est ce qui ne saurait avoir lieu si, sur chaque base, leurs sommes ±:G/*g'd(i), doGJg^'dta dans chaque sens ne sont pas nulles séparément ; car alors , considérées à la fois sur les deux bases , elles feraient un couple ayant pour bras de levier la longueur du prisme, et l'équilibre n'existerait pas.

Cette nullité des sommes j g'c?co, y g"dco se vérifie d'elle-môme lorsque la section a un centre et que Taxe de torsion y passe; car

alors on a (S précédent) Ci = 0, C,= 0, , C/ = 0, C,'=0, ,

ce qui rend égales, au signe près, deux valeurs, &oIt de g', soit

2S8 SBGT. I. lÉSISTANCB DE» SOLIDES.

(Da H* IMI).

de fg' relatives à des points ayant les mêmes coordonnées u, r aus^ au signe près, et nulles par conséquent les sommes de leurs produits par dos éléments égaux dco. Mais on voit que les mêmes conditions /g'dcu =. 0 » /g"dio =r 0 sont remplies aussi lorsque Taxe de rotation ne passe pas au centre ou que la section n'a môme pas de centre; nous avons pu le vérifier numériquement pour des sections de diverses formes particulières 0).

S 14. Conservation de la forme des équations algébriques des contours des sections^ du% \0 ci-dessus, quand on change Vorigine et les axes des coordonnées transversales. — Mettons :

(1) Nous ne TaYioDs pai encore fail lors de TiropreasiOD de noire Mémoire sur U torsion; aus«i nous j énoncions, à l'arlicle 59, la possibiliié de rcsiriclioos qui n'onl pa« lieu.

-Qn peut vérifier encore de la manière suiTanle, qui esl une particularisa lion de la méthode générale donnée par M. Lamé à sa 3* Leçon (4853 tur VétasUcité, quo la nullité des deui intégrales /g'<f(i>, S%"dîù est une conséquence des équations diCTére miel les indéfinie et deflpie du problème de la torsion, équation! ($$ 6 et 8 ci-dessus] qui peuvent être écriies ainsi, en appelant x la coordonnée longitudinale des points du prisme dont u, v sont les coordonnées transversales, et S, Y les angles que fait , avec les u et les v, la normale au contour de la section pil bien aux faces latérales :

dg' dg" da' dg"

;p- + ~-=0, ^ = 0, ^ = 0 parloat;

du dv dx dx '

g'' cos Y -f- g' cos 6 =r 0 sur ces faces latérales.

En maltiplianl par v la première de ces équations, par x la deuxième, et ea les retranchant reitpeclivemenl de la troisième multipliée par x et de la première multipliée par ti, on obtient celles-ci :

d{x^"') djvg') àjvg")^^ d{xg') d{ug') d[ug")^ dx du dv ' dx du dv '

qui^ multipliées par l'ëlément solide dxdudu et intégrées pour tout le volume du prisme, donnent facilement (Lamé, § 40), en appelant a sa longueur ou hauteur, et dis rélément do la surface latérale de même que d(a=:dudv est rêlément des bases :

«/g"cfœ— /f;(g'co86-hg"cosY)do=0, a/g'dw— /fi(g'ços64-g"co8Y)<ia'=0,

d'où /g"dw=0, /g'd(p=0, eu égard â l'équalion g"cosT-fg'cos«=0 cl • deffus.

(Du n« t5S).

u' —p à la place de w, r' — (7 à la place de v

^ dans réquation générale — r f- ... = K

•» des contours algébriques du § 10; c'ost-|dire transportons l'origine des coordon-

-Jt nées de O en un point Q' pour lequel w = — p , t^ = — ^ , en changeant m, t? en d'autres coordonnées u\v' parallèles, dont les axes passent par O'. Comme cette équation peut être écrite

+ CjU + C5M3 + CjWs + — c'ir — Cr, — C'st?, - = K

lorsqu'on fait, pour abréger

ti* — r' = Wj , w* — 31/1?*=^, , tt* — 6mV + îj* = 1/4,

2uv = î7j, 3u*z? — t?' = 1-5 , Uuh) — ÛMv' = t?4 ,

(ce qui revient à appeler généralement i^n, ^n les produits r^cosrwt , r^sinna) , si nous nommons encore

W'n, V'n, et J)n, <îf«

des expressions composées en u\ v\ ou en p, g, comme xinyi^n le sont en w, î?, nous trouverons d'abord facilement par cette substitution de w'— p, v — q k UyVi

Wn = Mn— J (j>Mn i — gi?'«-,) + J ~2- {P%^ n^ — q^V n^) —

«n = î?n — J (py n-, f ^^n-i) + J -g— (Vt^n^^ + <7,M n-,) —

En sorte que l'équation du contour avec les coordonnées nouvelles sera bien de cette forme, semblable à sa forme primitive

— ^ — -r DiM'+D5w'2+D3U'8+ — D>'— D'ji'j-D'jU'j— — L,

36a 5ECT. I. RÉSISTANCE DES SOUDES.

(DU D« tftS}.

D|, D, ... , D'|, D', ... étant des polynômes en G^, G, ... , G',» C',...^

p et g (*).

Cette forme se conservera encore la même si, au lieu de changer rorigine des coordonnées , on remplace les anciens axes des u, des r, par des axes nouveaux faisant avec ceux-ci un angle quelconque 6 ; car si Ton pose Téquation du contour en coordonnées polaires, ou si on récrit (S 11) :

■5- + Gjrco8a + <'ir*cos2a 4- ... — C'irsina — G'^sin2a— ... = K,

la transformation s'opérera en y faisant a=6 -f «', «' étant Tanglo du rayon vecteur r avec le nouvel axe des u; or cette substitution donnera :

- -f (CjCOsC — C'iSin6Jrcosa' + (C,cos26 — G'^in2Qr'cos2a' +

— (CjSine + C'iC0s6)rsina'— (C^in26 -f C',cos26)r*sin2«'— .. . = K,

ou une équation toujours de même forme, quels^uc soient les aies des coordonnées transversales,

S 15. Torsion d'un prisme autour de divers axes intérieurs ou extérieurs, parallèles à ses arêtes. Identité des glissements , du moment de torsion ^ et de la surface courbe affectée par les sections ^ quel que soit Vaxe de torsion.^ Si nous faisons, comme au $ précédent, u=zu' — p, v = v' — q dans les expressions des glissements données $ 10, et qui peuvent être écrites, avec les notations dont nous venons de faire usage:

{}) On trouve pour ces polynômei

L = K - ^-p- +C,p- €,/), + ....- C'ijf + C'tg,-. ...

D, =— p -f Cl— SCjjp -h aCsP,— ... + 2C',g— 3C',Ç,+ ... 1.ÎD,=Î.4C, — S.ÎCaP +4.3C4/), — ...-f 3.SC'^ — 4.3C'4Ç,+ ... K .î,3D8=3.S.4C8— 4.3.ÎC4P4- 5.4.3C|P,— ... -f 4.3.ÎC'45r- 5.4.3C',f, +. ..

D'i=jf + C'i— ÎC',p +3C',p, — ..