DU VIDE

FLECHE

de

COURBURE

Deux pièces de fer du Périgord, posées ù plat, el su-

Mètre».

Millimètre».

Millimètres.

Millimètre*.

perposées sans boulons. .

Les mêmes posées à plat,ser-

rées par des Ixmlons. . .

Les mêmes écartées de 0m ,01 1, au moyen de cales serrées

par des boulons. . . .

Les mêmes écartées de 0m,02 1

par le même moyen. . .

Les mêmes écarlécsdc0n',032

par le même moyen. . .

Les mêmes écartées de 0m,1 53 au moyen de pièces en

croix .

Deux pièces de fer du Périgord serrées l’une sur l’au-

tre par des boulons. . .

La résistance à la flexion du système formé par des pièces en croix diffère peu de celle que l'on calculerait par la formule du n" 511. Quant aux pièces simplement serrées par des boulons, la résistance est moindre, et d’autant plus que l’intervalle des pièces est plus grand ; ce qui doit être attribué à la flexion des boulons U].

DES AUltntS SERVANT A PROLONGER LES PIECES, OU A ASSUJETTIR ENTRE ELLES DES PIECES PLACEES DANS LE PROLONGERENT l'ISE DE L'aLTRE.

517. Considéronscn premier lieu des pièces exposées à des efforts dirigés perpendiculairement à leur longueur. On peut les prolonger, ou assujettir deux pièces dans le prolongement l’une de l’autre, d’une manière parfaitement solide, en employant une portion de tuyau dans lequel les extrémités des pièces seraient contenues et fortement serrées. Mais comme la paroi intérieure du tuyau 11c serait pas pressée dans toute son étendue, on peut en supprimer une partie, et employer des dispositions plus simples, quoique fondées sur le même principe.

Par exemple, une pièce de bois qui doit être encastrée horizontalement

[1] O11 trouve quelques expériences analogues aux précédentes dans le tome IV de l’Art de bâtir, page 5*29. M. Barlow a aussi donné quelques expériences sur des modèles de poutres armées. Essay on the strcnylh and stress of tituber , page 19G.

peut être prolongée dans l'encastrement au moyen de deux armatures en fer fondu ( Fig. !)7). appliquées contre les faces latérales, et réunies cil m, n par des traverses. Les faces supérieure et inférieure de la pièce doivent être serrées fortement contre ces traverses, avec des cales ou des vis de pression. Par cette disposition, la pièce ne peut céder à un effort exercé verticalement de haut en bas qu’eu rompant au-dessus de la traverse ».

L’armature représentée figure 08 pourrait être employée pour prolonger une pièce, h l'extrémité de laquelle un poids devrait être suspendu: et en renversant la même armature, on pourrait en former les extrémités d’une poutre, ce qui est quelquefois utile quand il s’agit de réparer des poutres dont on trouve les portées détériorées.

Enfin on pourrait, au moyen de l'armature représentée fig. 99, assujettir l’une au bout de l’autre deux pièces pour en former une, ou consolider une poutre que la charge aurait fait rompre. Mais on n’est pas assuré de réussir aussi bien dans ce dernier cas que dans le précédent, parce que l'armature se trouvant ici placée dans la partie de la pièce oii elle tendrait à prendre la plus grande courbure, il faudrait un contact beaucoup plus parfait entre la pièce et l’armature pour qu’il n’y eût pas de flexion sensible il].

Dans ccs appareils, la résistance des armatures peut être évaluée d'après le n* 511. 11 est nécessaire que les portions de surface sur lesquelles la pression s'établit soient assez grandes pour que le bois ne s’y comprime pas sensiblement. La valeur de la pression sc calculera toujours facilement. Dans le cas de la figure 97, par exemple, la pression en m doit faire équilibre autour du point n aux poids dont la pièce est chargée ; la pression en n est égale à la somme de ces poids et de la pression qui a lieu en m.

518. Les parties d'une pièce exposée à fléchir transversalement de haut en bas peuvent encore être réunies de la manière indiquée fig. 100, au moyen d'une pièce juxtaposée en dessous, assujettie par des clefs de bois dur insérées dans des entailles, et serrées par des brides. En effet les fibres, lors de la flexion, sont comprimées dans la partie supérieure am de la section transversale, et étendues dans la partie inférieure an. Le joint nui ne nuit pas à la résistance des fibres comprimées (n" 142) et la résistance des fibres étendues qui se trouvent coupées est suppléée par celle de la pièce appliquée en dessous. On peut déterminer la force de celte pièce par la condition que le moment de la résistance de ses fibres, pris par rapport à l’axe d’équilibre a, soit égal au moment des fibres coupées dans l'intervalle an, pris par rapport au même axe.

f«] On peut voir un procédé pour consolider les extrémités pourries des poutres dans les Transaction of the society of arts and manufactures, 1802. Voyez aussi la même collection, 1824; ou le Bulletin de la société d'encouragement, juin 1825.

519. A l’égard des pièces placées dans le prolongement l'une de l'autre, et exposées à une tension longitudinale , on peut les assembler de la manière indiquée fig. 101 , au moyen de pièces juxtaposées, assujetties par des clefs et des brides. On peut aussi employer des tirants de fer, soit en les encastrant dans le bois, comme l’indique la fig. 102, soit en les plaçant en dehors, et les fixant à des traverses. Dans tous les cas , les pièces réunies sont nécessairement affaiblies au point de jonction , la section transversale étant diminuée par l'effet des entailles. On doit donner aux tirants une force égale à celle qui reste au bois ; et il faut que la surface de bois sur laquelle ces tirants prennent un appui soit assez grande pour qu’il n’y ait pas écrasement , et que l’adhésion latérale des fibres qui tendent à se détacher ne puisse être rompue.

ARTICLE VIII

0E8 APPAREILS DE CHARPENTE LE PLUS SIMPLES, DESTINÉS A SUPPORTER OU A ÉLEVER DES POIDS.

520. Les pièces de charpente sont exposées à divers genres d’effort, et peuvent être sollicitées k fléchir et à rompre d’une infinité de manières. On a considéré dans les articles précédents les cas le plus simples de l’équilibre d'une seule pièce : on se propose d’examiner, dans cet article et dans les suivants, les conditions de l'équilibre des assemblages formés de plusieurs pièces, en se bornant aux systèmes qui se présentent le plus fréquemment dans les constructions.

521. La manière le plus simple de supporter un poids au moyen d’une seule pièce, consiste à poser ce poids sur l'extrémité supérieure de cette pièce placée verticalement. Les conditions de l'équilibre ont été recherchées pour ce cas dans le n" 585. Un semblable appareil n'a pas de stabilité, à moins que la pièce verticale n’ait l’extrémité inférieure encastrée. On peut maintenir cette pièce , soit par des contrcfiches ou autres appuis fixes , soit en empêchant, au moyen de cordages attachés à des points fixes , l'extrémité supérieure de se déplacer. Ces cordages n'ayant d’autre objet que d'empêcher la pièce verticale de sortir de la position d'équilibre non stable où elle se trouve placée , le degré de résistance qu’on doit leur procurer ne peut, en général, être évalué avec exactitude.

522. On peut aussi supporter un poids au moyen d’une seule pièce vertiticale , en suspendant ce poids h quelque distance de l'axe de la pièce. C’est ce qu'on est obligé de faire quand il s'agit, non seulement de supporter le poids, mais de le soulever. On a traité dans le n° 406 le cas où la pièce est encas-

Irée à l’extrémité inférieure , et où le poids est simplement supporté. Quand on veut élever le poids, on place ordinairement une poulie en C (Fig. 103), une autre en D, et l'on agit sur la corde en F. La pièce AB est alors sollicitée, non seulement par le poids n, mais par la tension de la corde DF. Si les distances BC, CD, étaient égales, et si les tensions des cordes Cil, DF ne différaient pas l'une de l’autre, la pièce AB se trouverait dans le même cas que si l'extrémité supérieure B était chargée d’un poids égal à la somme de ces tensions. Dans la réalité, la tension de la corde DF surpasse celle de la corde CH, et la pièce AB est sollicitée à plier du côté de la première. On doit prendre la résultante des deux tensions , et appliquer les résultats des n" 406 et suivants, en mettant cette résultante à la place de la force désignée par n dans ces numéros, et en remplaçant la distance désignée par l par la distance de la direction de la résultante à l'axe de la pièce.

La stabilité de l'équilibre tient uniquement ici à la résistance de la pièce à la flexion, et le déplacement de l’extrémité supérieure augmente le bras de levier des forces qui la sollicitent. Il est absolument nécessaire de maintenir cette extrémité par des cordages. Mais, aussi bien que dans le cas précédent, le degré de résistance de ces cordages ne peut pas être évalué exactement d’avance.

523. Les appareils de ce genre sont quelquefois disposés de manière que l'on agit sur la corde DF (Fig. 104) au moyen d’un treuil fixé en E à la pièce AB, et près de l’extrémité inférieure de cette pièce. Dans ce cas les deux parties AE, BE se trouvent dans des états d'équilibre différents. La partie AE est uniquement sollicitée à fléchir par l’action du poids n , et on peut lui appliquer les résultats des n” 406 et suivants. La partie BE est soumise à l’action du poids n et de la tension de la corde DF. On peut, en négligeant la flexion de la partie AE, appliquer à la partie BE ce qui a été dit dans le numéro précédent.

524. Dans l’appareil représenté fig. 105, la pièce horizontale BB’, chargée au milieu C du poids n, est dans l'état d’équilibre considéré dans les n°'356 et 357. Les pièces verticales AB, A' B’ supportent chacune la moitié du poids n, et sont dans les états d’équilibre considérés dans les n" 383 ou 389 , suivant que les extrémités inférieures de ces pièces sont simplement supportées, ou sont encastrées dans leurs appuis. Abstraction faite de la résistance des assemblages aux points B et B’ , l’équilibre n’est pas stable , et on doit maintenir l’appareil par des pièces inclinées ou par des cordages.

Si le poids n n’était pas simplement suspendu au point C, mais devait être élevé au moyen d’une corde passant dans une ou plusieurs poulies fixes attachées à ce point, il est évident qu’il faudrait regarder le point C comme étant chargé du poids H augmenté de la tension de la corde sur laquelle on agirait pour soulever ce poids.

525. L’appareil représenté fig. 106, si la pièce horizontale BB" était formée de deux parties séparées par un joint placé en B' , présenterait simplement la réunion de deux systèmes semblables à celui que l’on vient de considérer. Les pièces verticales AB, A'B” supporteraient chacune la moitié de l’un des poids n, que l’on suppose égaux, et la pièce A'B' supporterait un effort égal à l’un de ces poids. Mais si la poutre horizontale BB" est d’une seule pièce, chacune des moitiés BB’, B’B" résiste comme une pièce horizontale encastrée à une extrémité et supportée à l’autre. Par conséquent en regardant les pièces AB, A’B', A"B" comme des appuis inflexibles, on appliquera ici les résultats obtenus dans les n“ 566 et suivants, résultats qui s’accordent avec ceux de la solution exposée dans les n°* 375 et suivants. On en conclura que l’effort vertical supporté par chacune des pièces extrêmes AB, A"B" est

égal à — n. et par conséquent que l’effort supporté par la pièce inlermé-

diaire A' B' est égal à — II. L’effet de la liaison des deux parties de la pièce

BB" est donc d’augmenter sensiblement la charge du poteau A'B’, en diminuant celle des deux autres.

526. Considérons encore l’appareil représenté fig. 107 , où la poutre horizontale BB'" , chargée des trois poids égaux n, supportée par quatre pièces verticales également espacées, est supposée d'une seule pièce. Si l’on regarde les pièces verticales comme des appuis inflexibles, on peut apprécier la résistance que doit présenter la pièce BB'" , et les efforts exercés sur chacune des pièces verticales, au moyen d'un calcul semblable à celui des n°‘ 371 et suivants. En effet , l’une des moitiés BC' de la poutre peut être regardée comme une pièce encastrée horizontalement à l’extrémité C', et sollicitée par trois forces verticales, agissant de bas en haut aux points B , B', et de haut en bas au point C. Nous remarquerons d’abord que dans la pièce AMM' (Fig. 49), considérée n" 371, on aurait pour la troisième partie M M" de cette pièce, 'en conservant les dénominations indiquées dans ce numéro, et

dy

déterminant les constantes de manière que, pour x=n', les valeurs de— et y

fussent égales aux valeurs données par les équations appartenant à la partie MM'. les équations suivantes :

,Py

, — = 11" (a" — x) , d x* dy

. — = n { o’-n + (o"i— ijj),

, y = n (i a» x- i n1) - H'(r a'» x— i a’’) -r-H" (-( a" e* - ,;xi).

Appliquons maintenant ces équations , aussi bien que celles qui ont été don-

nées dans les numéros cités, à la moitié RC' (Fig. 107) de la pièce BB"' .Désignant par

« la moitié de l'un des intervalles égaux RB', BB";

Q l’effort exercé sur le poteau AB ;

Q' l’effort exercé sur le poteau A'B' ;

les équations conviendront au cas dont il s’agit en écrivant Q' au lieu de II , n au lieu de n', Q au lieu de II", 2« et 3a au lieu de a’ et a". Par conséquent on aura respectivement pour les parties B'C', CB' et BC, les équations

• r — 0' (j o x» — J x*) — II (m> — J- J3) -4- 0 (\ a x* - i aX),

On en déduit, en faisant successivement .r =za, ar=2a,ar=3a, pour les ordonnées des points B', C et B comptées à partir de la ligne horizontale passant par le point C',

■ y = <a o' — 5 II -4- 8d)i a»,

• x = (5 Q' — to n -e 28 0) J a\

Les ordonnées des points B et B' devant être égales entre elles, on a

Les conditions de l’équilibre entre les poids u et les efforts exercés sur les poteaux donnent de plus

20' — 3 II -4- 2 o = o.

On déduit de ces deux équat ions Q = ~ n pour l’effort exercé sur les poteaux extrêmes AB, A " B "; et Q' = n pour les efforts exercés sur les poteaux intermédiaires A'B' et A" B". L’effet de la liaison des parties de la pièce BB" est encore ici d’augmenter la charge des poteaux intermédiaires, en diminuant celle des poteaux extrêmes.

527. Quant au degré de résistance que doit présenter la pièce B B'", on remarquera que l’on a respectivement pour les parties B'C' B'C, cl CB de cette pièce,

Ipjr

dx*

tP y

• = — II (2 a — x) H- 0 (3 a — .r),

LEÇONS SLR L’APPLICATION ou, en remplaçant Q et Q' parles valeurs qui viennent d’élrc obtenues,

(/ JT»

<Pr

Les points de maxima pour la courbure sont C, fi' et C' : elle est lapins

tPy 7 a

grande dans le premier, où l’on a • — = n— , et où la pièce tend à se rompre.

dx’ 20

Les conditions de la rupture de cette pièce sont donc exprimées, conformément au n” 358, par l’équation

On regarde ici les pièces verticales comme des appuis inflexibles. La question serait différente , et plus compliquée, si ces pièces étaient supposées flexibles ou compressibles. Mais il n’est pas nécessaire pour les applications de traiter la question de cette manière , et On n’aura point d’erreur dangereuse à craindre, en donnant aux pièces verticales des résistances proportionnées aux efforts dont les valeurs ont été trouvées ci-dessus.

528. On peut soutenir un poids au moyen d’une seule pièce inclinée, lorsque l’extrémité inferieure de cette pièce est encastrée. On a traité ce cas d’équilibre dans les n°‘ 4 1 2 et suivants. La fig. 108 représente un poids rt soutenu par deux pièces inclinées, dont on suppose les extrémités inférieures simplement supportées sur des appuis. En désignant par a, g les angles que les pièces AC, BC forment avec la corde verticale C n, les efforts résultant dans les directions des deux pièces de l’action du poids H , sont exprimés respectivement par

sin. g sin. a

sin. (a-t-£) sin. (a-r-6)

Ces pièces s’appuient l’une contre l’autre en C, et la pression horizontale qui a lieu dans ce point est

sin. a. sin. g

sin. (a -i g)

Elles tendent à s’écarter l’une de l’autre en A et B, et cette même expression représente la pression horizontale qu’elles exercent contre les appuis qui les retiennent, ou la tension d’un lien AB, par le moyen duquel ces pièces seraient maintenues.

529. Si les deux pièces AC. BC forment avec la verticale des angles égaux désignés par a. les efforts exercés dans la direction de ces pièces sont exprimés par

2 COI. a

et la pression horizontale par

’• II tan(j. a.

Dans les appareils dont il s’agit, les pièces inclinées sont dans l’état d’équilibre considéré n° 385, les efforts exercés dans la direction de ces pièces remplaçant la force désignée par Q dans ce numéro.

530. Dans l'appareil représenté fig. 109, la pièce AC est comprimée, et la pièce BC est étendue. La pression exercée suivant AC doit être la résultante des tensions des cordes BC et Cil. Par conséquent, a et ë désignant les angles formés par AC et BC avec la corde verticale C II, on aura respectivement

sin. 6 sin. a

il et n

sin. (6 — a) sin. (S — a)

pour la pression exercée suivant AC, et pour la tension de la corde BC. La pièce AC tend à glisser en A sur son appui, et la pression horizontale qu’elle exerce contre l'obstacle qui doit la retenir est

sin. a. sin. S

sin. (6 — a)

Les appareils que l’on vient de considérer présentent un équilibre stable, quant aux déplacements qui pourraient avoir lieu dans le plan vertical qui contient les pièces inclinées, et la corde à laquelle le poids est suspendu; mais il est nécessaire de les maintenir dans ce plan par des cordages.

551. Pour donner plus de stabilité au système, on remplace la pièce unique AC par deux pièces inclinées «C, a' C (Fig. 110), ce qui forme l’appareil connu sous le nom de chèrre. La ligne AC étant l’intersection du plan vertical qui contient les cordes BC, Cil avec le plan aCn'qui est perpendiculaire au premier, on désignera par a, 6 les angles BCn, ACn, et par y les angles égaux «CA, a' Cn. L’action du poids n produira dans le sens de chacune des pièces aC, «' C une pression exprimée par

sin. ë

sin. (6 — a). 2 cos. y

La force avec laquelle le lien ««' est tendu est

sin. S. tane. -r

2 sin. (6 — a)

La tension de la corde BC, et la force horizontale, avec laquelle les extrémités

■jü'i LEÇONS SUR L’A1»PLICAT10N

inférieures a, a des pièces inclinées tendent à glisser parallèlement à AB. sont exprimées par les formules données dans le numéro précédent.

532. Si, dans les appareils dont il vient d’être question, le poids n n’était pas seulement suspendu au point C, mais soulevé au moyen d’une corde passant dans une ou plusieurs poulies fixées à ce point, on devrait, pour déterminer les efforts exercés dans la direction des pièces, considérer au lieu du poids II la résultante de ce poids et de la tension de La corde à laquelle la force serait appliquée. II faut d’ailleurs distinguer le cas représenté fig. 111, où la corde CD qui soulève le poids n s’enroule sur un treuil fixé en D, près de l’extrémité inférieure de la pièce AC. Dans ce cas, la partie AD de celte pièce eslsimplement comprimée avec l’effort résultant de l’action du poids II, et exprimé par les formules des numéros précédents. La tension de la corde BC conserve également la valeur donnée dans ces numéros. Mais la partie CD de la pièce principale est comprimécdans lesens de sa longueur avec l’effort résultant de l’action du poids n, augmenté de la tension de la corde CD. L’étal d’équilibre de celte partie CD peut être assimilé sans erreur dangereuse à celui de la pièce considérée n" 383.

533. Lorsqu'un poids est supporté par plus de deux pièces inclinées contenues dans un même plan vertical, ou par plus de (rois pièces inclinées non contenues dans un même plan, les conditions de l’équilibre laissent indéterminés, entre certaines limites, les efforts exercés suivant la direction de chacune des pièces. En effet, quoique le poids paraisse devoir être soutenu par toutes les pièces, rien n’empêche de supposer qu’il est simplement porté dans le premier cas par deux d'entre elles, cl dans le second cas par trois d’entre elles seulement. Parmi ces pièces, celles qui sont comprimées se trouvent dans l’état d’équilibre considéré n" 383 ; et l’on est conduit, par les résultats de la solution exposée dans ce numéro, k les assimiler à des appuis qui ne cèdent pas, tant que l'effort qu’ils supportent ne dépasse point une limite déterminée. En considérant le système de celte manière, il faut, pour que la construction donne une entière sécurité, que le plus grand effort auquel chaque pièce soit exposée, d’après les divers modes de décomposition du poids qui peuvent avoir lieu, soit au-dessous de la limite dont on vient de parler. Mais il est important de remarquer que la solution du n” 383, qui apprend qu’une pièce comprimée dans le sens de sa longueur ne cède point lorsque l’effort est au-dessous d'une limite donnée, prend uniquement en ronsidération la disposition de la pièce k céder par l’effet d’une flexion. Dans la réalité, la pièce, avant de fléchir, se comprime de plus en plus par l’effet de l’élasticité de sa substance. Il convient d'avoir égard k cette circonstance, dans les questions dont il s’agit, cl alors il n’y a plus rien d’indéterminé dans la manière dont l'action du poids se distribue sur les appuis.

Pour en donner un exemple, on supposera le poids II (Fig. 112) supporté

par les trois pièces inclinées AC, A“C, A" C contenues dans le même plan vertical, et l'on nommera

a, a', a" les angles formés par la direction des trois pièces avec la corde verticale Cn ;

p, p’, p" les efforts exercés, par suite de faction du poids II, dans la direction de chacune des pièces;

F. F', F" les forces d’élasticité des trois pièces; n la hauteur du point C au-dessus de la ligne horizontale AA''; h, f les quantités dont le point C se déplace horizontalement et verticalement, par l’effet de la compression simultanée des trois pièces.

(En désignant par F la force d’élasticité de la pièce AC, on entend qu’il faudrait un poids égal à F pour allonger ou accourcir cette pièce d’une quantité égale à sa longueur actuelle, et ainsi des autres. )

Cela posé, les conditions de l’équilibre entre le poids II et les trois pressions exercées suivant les pièces donneront d’abord

p CO*, a p* CO*, a' p" CO*, a" = II,

p *in. a -+- p' sifi. a’ -+- p" *in. a" = 0. ,

De plus, le déplacement du point C étant supposé très-petit, les quantités dont les pièces AC, A’C, A"C se trouvent comprimées seront, à fort peu près, f cos. <* — h sin. a, /'cos. a — h sin. a'./’cos. a" — A sin. a"; et comme

les longueurs de ces pièces sont respectivement , , , on aura

CO*, a CO*, a' cos. a"

fc o*. 3a — h sin. a cos. a f cos. 2 a' — h sin. a' cos. a' feot. 2 a" — h sin. a" cos. a"

pour les fractions de ces longueurs représentant leurs accourcissements respectifs. On en conclut les trois équations

f cos. 2 a — h sili. a cos. a P = F . ,

f cos. 2 a' — h sin. a' cos. a'

f cos. 2 a" — h sin. a" cos. a"

qui, réunies avec les deux précédentes, donneront les valeurs des déplacements h et /, et des efforts p, p' et //'

534. Supposons, par exemple, les forces d’élasticité des trois pièces égales entre elles, la pièce intermédiaire A'C verticale, et les angles a, a" égaux à 45°. Le déplacement horizontal h du point C sera nul, et l’on pourra

supprimer la seconde des deux équations d’équilibre. On aura cos. *' = 1 ,

COS. a = COS. a" = , et

l’effort supporté par la pièce verticale est double des efforts supportés par les deux autres.

555. Si les trois pièces étaient placées d’un même côté par rapport à la corde verticale Cn (Fig. 112), la première AC serait seule comprimée, et les deux antres seraient étendues. Les équations du numéro 535 conviendraient également à ce cas, cn y changeant les signes de p' et p".

556. Dans l’appareil représenté fig. 113, où les pièces inclinées AB, A'B', contenues dans un même plan vertical avec la cordc C n, supportent le poids n au moyen de la pièce horizontale B B', il est nécessaire pour que le système soit en équilibre, abstraction faite de la résistance des assemblages, que les pièces AB, A'B' soient également inclinées, a étant l’angle qu elles forment avec la verticale, ces pièces sont comprimées suivant leur longueur avec la

force , et sont dans le même état d’équilibre que la pièce considérée

2 CO», a

n° 385. Les extrémités A, A' tendent à s’écarter l’une de l’autre avec une force horizontale exprimée par 4 II tang. a.

Quant à la pièce horizontale B B', chaque moitié BC ou B'C' est dans le même cas que si elle était encastrée horizontalement cn C , et sollicitée à l’extrémité B ou B’ par la force dirigée suivant A B ou A' B'. Ces moitiés se trouvent donc dans le même état d’équilibre que la pièce considérée n“ 412, les forces désignées par P, Q, n dans ce numéro étant ici respectivement n

t n, ï n tang. a, et .

2 COS. a

537. On a considéré n° 528 le cas d’un poids II soutenu par deux pièces inclinées, et l’on a remarqué la nécessité de retenir les extrémités inférieures de ces pièces, qui tendent à s'écarter l’une de l'autre. On peut aussi former un appareil du même genre, en laissant les extrémités A, B ( Fig. 1 H) libres de glisser sur le plan horizontal qui les supporte, et en plaçant à une certaine hauteur un lien horizontal K F.

Nommons

a l’angle formé par les pièces AC, B C avec la corde verticale CH ; a la longueur des parties CE, CF ; a' la longueur des parties AE. BF.

Les points d'appui A et B supportent chacun nu effort vertical égal à — . Cha-

que pièce AC, BC peut être regardée comme sollicitée par cet effort à tourner autour de son extrémité supérieure, et il doit s’établir dans le lien EF la tension nécessaire pour prévenir ce mouvement. Cette tension est donc déterminée par la condition que son moment, pris par rapport au point C,

soit égal au moment de l’effort vertical — agissant en A ou en B, pris par

rapport au même point. Par conséquent la valeur de la tension dont il s’agit est

Il lang. a ;

et cette formule représente aussi la pression horizontale qu’exercent l'une contre l’autre en C les deux pièces CA, CB. On voit d'après cela que les parties de ces pièces sont dans le même cas que la pièce considérée dans les n” 412 et suivants. La partie AE doit être regardée comme encastrée en E,

et sollicitée en A par l'effort vertical — qui tend à la contracter. La partie CE

doit également être regardée comme encastrée en E, et sollicitée en A par Il n-t-a’

l’effort vertical — et par l'effort horizontal n tang. a qui tendent tous

deux à la contracter.

538. On peut supposer que dans le système considéré n° 528, et représenté fig. 108, on place, outre le lien AB, un autre lien horizontal F.F, comme l’indique la fig. 114. Dans ce cas l’effort horizontal é n tang. a, avec lequel les pièces tendent k s’écarter l’une de l’autre, est encore entièrement supporté par les obstacles placés en A et B, ou par le lien AB. On doit assimiler la pièce AC k celle que l’on a considérée n” 583, mais en admettant qu’un des points de cette pièce a été rendu fixe. Il résulte de l’analyse exposée dans ce numéro, où les pièces sont regardées comme des verges flexibles et non compressibles, que si le point fixe E est placé k l’un des points de division de la pièce en 2, 3, etc., parties égales, la valeur de l’effort capable de faire fléchir cette pièce deviendra 4 fois, 9 fois, etc., plus grande que s'il n’existait aucun point fixe. On doit d'ailleurs avoir égard aux notions exposées n° 403, pour apprécier le plus grand effort auquel la pièce puisse être exposée.

Le lien EF, placé dans un des points de division de la pièce AC en parties égales, ne supporte aucune tension longitudinale. En effet, quoique l'existence d’un point fixe placé de cette manière détermine dans cette pièce un mode de flexion particulier, aucun effort n'est exercé sur ce point.

Les remarques qui viennent d’être faites peuvent être appliquées k l’appareil considéré n” 536, et représenté figure 113, si l’on suppose qu’un lien horizontal soit placé k une certaine hauteur entre les pièces AB, A’ B’.

539. L’appareil représenté figure 115 est formé du poids n, suspendu k

l’extrémité C de la pièce horizontale BC, qui est consolidée par la contrefiche AD. Les points A, B sont fixes, mais on suppose les pièces libres de tourner sur ces points. On nommera :

/, ? les distances BD, CD;

» l'angle BAD.

Le point fixe B soutient de bas en haut un effort vertical n- qui fait équilibre au poids tl autour du point D. Le point D est chargé de la somme du

poids 11 et de cet effort , qui est n . Cette charge devant être supportée

parla pièce AD, il s’établit dans le sens de cette pièce la pression n ,et

l. cos. a

en même temps dans la direction BD la tension II lang. », qui est dé-

truite par la résistance du point fixe B. Par conséquent , pour s’assurer que l’appareil est suffisamment fort pour porter le poids n, il faut d'abord examiner si la contrcfiche AD, assimilée à la pièce considérée n° 383, peut suppor-

ter la pression longitudinale n .La pièce BCdoitensuile être regardée

/ COS. a

comme étant assujettie à passer en B et D dans des points fixes, comme étant

tendue dans la partie BD par la force II tang. », et sollicitée à rompre

en D par une force dont le moment est II et qui tend à produire en ce

HT

point une courbure dont le rayon a pour valeur inverse — . D’après cela , si,

comme au n" 387, on veut que le plus grand effort exercé sur l’unité de surface ne dépasse pas R', on posera l’équation

R' /(I ■+• V) tang. o c ’1’\