II [ H I
qui devient, lorsque la section transversale est un rectangle dont b et c représentent la largeur et la hauteur,
H ( T) lang. a
R' = MW'
bc* \ l
et qui donnera la plus grande valeur du poids n dont on puisse charger l’appareil.
540. On supposera maintenant que la pièce horizontale BC, et la contrefiche DE (Fig. 116) sont assemblées avec une pièce verticale AB, encastrée à l’extrémité inférieure A. Ce qui a été dit ci-dessus pourra s’appliquer aux
pièces BC, DE. Quant à la pièce AB, elle est sollicitée en E parla force (+f
n dirigée suivant DE, et équivalente à une force horizontale
/ cos. a
n tang. «, et une force verticale u . La même pièce est sollicitée,
en B, par la force horizontale II tang. a dirigée dans le sens BD, et par la
force verticale H - dirigée de bas en haut. Pour plus de simplicité, on supposera la courbure de la pièce AB extrêmement petite, en sorte que l’on puisse négliger les déplacements des points B, E par rapport aux longueurs des parties de la pièce (ce que l’on peut faire dans les cas ordinaires des applications). On verra alors 1° que cette pièce, comprimée longitudinalement dans l’intervalle AE par l’effort n, est sollicitée à rompre en un point quelconque de cet intervalle par une force dont le moment est n (/-»- ï), et qui tend par conséquent à produire une courbure dont le rayon a pour valeur
nu+n
inverse . La limite des valeurs de n, pour que les fibres ne suppor-
tent pas sur l’unité de surface une pression dépassant R', sera donc, conformément à ce qu’on a vu il” 587 , donnée par l’équation
qui devient, lorsque la section de la pièce est rectangulaire,
2° Que la même pièce AB, tendue longitudinalement dans l'intervalle BE
par l'effort n - , est sollicitée à rompre en E par une force dont le moment
est n (/-*-/’). La limite des valeurs de n, pour que les fibres ne supportent pas en ce point sur l’unité de surface une tension dépassant R’, sera donc donnée par l'équation
qui devient lorsque la section de la pièce est rectangulaire
n ( et- j
K’ = --t-Ctt + n ;
bc1 < l I
Si le point D estau milieu de BC, la pièce AB tend également à rompre
dans un point quelconque de l’intervalle AE, et en E. La pièce tend h rompre dans l’intervalle AE plutôt qu’en E si BD est < CD. L’état d’équilibre de la pièce ne dépend pas de l'inclinaison de la contreficlie DE.
541. Par suite de la courbure qu'affecte la pièce, et dont les formules précédentes ne tiennent point de compte , les valeurs du poids II données par ces formules seront un peu trop grandes; et la pièce tendàromprecnAplutôt qu'en tout autre point de l’intervalle AE. D’après cela nous examinerons d’une manière complète l’état d'équilibre de la pièce verticale AB. Nous désignerons par
n la longueur de la partie AE ; a' la longueur de la partie B E;
x, y l'abscisse verticale et l’ordonnée horizontale de la courbe affectée par l'axe de la pièce, ces coordonnées étant comptées du point A;
/"l'ordonnée du point E; f '• l’ordonnée du point extrême B.
En remarquant que a’ — , on voit d’après ce qui précède que la pièce
tang. a
AB est sollicitée 1“ en E par la force n agissant horizontalement de
droite à gauche, et par la force n agissant verticalement de haut en
bas : 2” en B par la force II — - agissant horizontalement de gauche à droite, a’
et par la force n - agissant verticalement de bas en haut. Par conséquent
1" l’équation exprimant les conditions de l'équilibre de la partie AE de la pièce sera
iPy i +- v i + r
— = - n <o-xh- a (f-y)
rfi’1 a' l
ou bien
,py n / (i + nr-i'r \
2° l’équation exprimant les conditions de l’équilibre de la partie BE sera
■ <l\y II //-*-/' f \
En opérant comme dans le n" 406. on a pour l’intégrale de l’équation («),
r>E LA MÉCANIQUE, I™ PARTIE. 271
ou pour l 'équation de la courbe affectée par la partie AE de la pièce ,
! — cos. j- \ / — /.
Appelons ? l’inclinaison de la tangente de la courbe dans le point qui répond
dy
au point E : cette équation devra donner, quand x — a.y—f et — = tang. y.
donc
u+nr-ir
En opérant également comme dans le n" A 15, on a pour l’intégrale de l’équation (g), ou pour l’équation de la courbe affectée par la partie BE de la pièce,
( %/-(• + «'-*) -%/— ’-r = A \«V il -e V ■/
A étant un coefficient arbitraire. Cette équation devant donner comme la prédy
cédente y =fei — = (ang. y quand x = n, il vient
(ang.y=A
Ayant donc quatre équations linéaires entre les quantités /, f, tang. y et A, on éliminera facilement les deux dernières, et l’on déterminera les valeurs de /"et f. Ces valeurs étant substituées dans les équations h) et (S), on connaîtra les équations des deux parties delà courbe affectée parla pièce.
542. Comme on ne considère ici que des flexions très-petites, il y aura très-peu d’erreur à négliger / et f dans le second membre des deux premières
des quatre équations dont il s’agit, ce qui les réduit à
d'où
/" = (<-»-/') ) I — eos. n \/ — J,
/ri / ïï
lanR. f — {/+!') %/ —tin. a 1/ — ;
/ÏÏ /» /
y/-. ,in.a v/-- —
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