METRES CUBES EU 24 II EU UES
Pour jauger les écoulements plus grands qu’un pouce d’eau, on multipliait les orifices d’un pouce de diamètre. Pour les écoulements plus petits, on
employait des orifices circulaires ayant 1, 1 f, 2, 2-, 5, 11^ lignes de
diamètre, et 7 lignes de charge sur leur centre; on considérait ces orifices comme donnant des produits proportionnels au quarré du diamètre, et on évaluait ces produits en lignes d’eau , chaque ligne d’eau étant du pouce d’eau ( Architecture hydraulique de Bélidor. tome II, page 568). Cette méthode est fautive, indépendammant de l’incertitude résultant de l’influence de l’épaisseur de la paroi.
102. M. de Prony a proposé d’employer à la place du pouce d’eau une unité adaptée au système métrique, et qu’il nomme module. Sa valeur serait de 20"” c en 24 heures, ou 0"” ‘,00025148 en une seconde. Cette quantité d’eau s’écoulerait par un orifice circulaire de 0m,02 de diamètre, ayant sur son centre une charge de O", 05, garni d’un ajutage cylindrique dont la longueur serait de 0°*,017 (l’eau doit couler dans l’ajutage à plein tuyau). ( d endémie des sciences , 1817, page 428.)
M. de Prony a employé pour les expériences qui ont servi à déterminer les
DE LA MÉCANIQUE, 2m' PARTIE. 591
dimensions de cet orifice un appareil ingénieux (Fig. 45), destiné à maintenir constante la hauteur du fluide dans un réservoir, au moyen de flotteurs prismatiques qui se chargent du poids de l'eau écoulée et qui s’enfoncent à mesure que l’écoulement s’effectue de manière à compenser exactement l'effet de cet écoulement.
103. Les cuvettes de distribution présentent généralement la disposition suivante (Fig. 46 et 47). Le tuyau qui fournit l’eau aboutit à une première cuvette A A, partagée en deux parties par une languette LL, dont l’objet est de détruire la vitesse avec laquelle l’eau jaillit du tuyau ; en sorte que la surface du fluide soit en repos contre la paroi extérieure M M , dans laquelle sont pratiqués des orifices d’écoulement. L’eau tombe de ces orifices dans une seconde cuvette B B, également partagée par une languette, et en sort par d’autres orifices qui la répartissent aux divers concessionnaires.
( y oyez X Architecture hydraulique de Bclidor, t. II.)
On débouche les orifices pratiqués dans la paroi de la première cuvette A A, en nombre suffisant pour qu’il y ait sur leur centre la charge d’eau fixée par la nature de l’unité adoptée; on connaît ainsi le produit du tuyau qui alimente le réservoir. Ce produit, qui en général peut varier d'après diverses circonstances, doit être réparti par les orifices pratiqués dans la paroi de la seconde cuvette B B dans des proportions déterminées par les actes de concession, et qui doivent demeurer constantes lorsque le produit varie.
L'emploi des orifices de divers diamètres, dont les centres sont situés ou non dans un même plan horizontal, ne satisfait pas à celte condition importante. On doit avoir égard aussi à la manière dont les orifices sont placés ; car plusieurs orifices très-voisins donnent un moindre produit que s'ils étaient fort éloignés les uns des autres. On ne peut satisfaire rigoureusement à la condition dont il s’agit, qu’en employant, pour distribuer les eaux reçues dans la seconde cuvette B B, des orifices égaux et également espacés, le produit de chacun étant égala la moindre subdivision du module adopté. Alors les quantités d’eau réparties demeureront toujours exactement dans les mêmes rapports.
On ne satisferait pas à cette condition avec la même exactitude par la disposition proposée par Bélidor, qui consistait à distribuer l'eau par des fentes rectangulaires, ayant des largeurs proportionnées à la valeur de chaque concession. Cette disposition serait toutefois bien préférable à celles qui sont en usage.
TITRE XII 1
DU MOUVEMENT UNIFORME DE l’eau DANSEES TUYAUX DE CONDUITE.
104. Pour acquérir des notions exactes sur cette matière , il est nécessaire de considérer d’abord l’écoulement de l'eau par un tuyau de conduite qui établit la communication entre deux vases, en faisant abstraction de l'effet de l’adhérence des molécules du fluide entre elles et avec celles de la paroi du tuyau.
Nous considérerons (Fig 48) le système formé du tuyau MN, ayant partout un égal diamètre, et établissant la communication entre deux vases entretenus constamment pleins , aux niveaux ab,ef. La section e/étant supposée plus petite que la section ai, le mouvement du fluide deviendra toujours uniforme. Nommons
“ l'aire d'une section transversale quelconque faite dans les vases ou les tuyaux ;
O l'aire de la section ab;
O l’aire de la section ef; ü l’aire de la section constante du tuyau ; o l’aire de la section g h ; m le coefficient de la contraction qui a lieu en M :
: la distance mp du centre d'une section quelconque m au niveau supérieur ab;
C la distance Q R des niveaux du fluide dans les deux vases ;
U la vitesse du fluide dans le tuyau ;
s la longueur Mm du tuyau, depuis l'extrémité supérieure M jusqu'à une section quelconque ni ; a la longueur totale M N du tuyau ; o la masse de l’unité de volume du fluide; g la vitesse imprimée par la gravité en une seconde = 9“,809.
Si les extrémités M,N du tuyau sont évasées, l’écoulement du fluide est soumis aux lois générales établies dans les n~ 20 et 50. La vitesse à la section ef sera donc (en supposant égales les pressions extérieures exercées en a b, ef )
DE LA MÉCANIQUE, i“* PARTIE, et par conséquent la vitesse dans le tuyau
o- / a gC / a g C
105. La valeur de la pression sera donnée par la formule (8) du n“ 22, dans laquelle on doit faire t' = o, P = P', et substituer pour U la valeur précédente, ce qui donnera
ou
formules dans lesquelles il faut faire » = ü pour toutes les sections appartenant au tuyau MN. On a par conséquent, dans toute l’étendue MN du tuyau.
p=P + pjS ? liJ [ 1
et si la section U du tuyau est fort petite par rapport à la section O du vase supérieur,
106. Si le tuyau n’est point évasé à ses extrémités, la loi du mouvement s’établit comme il suit, en ayant égard aux pertes de force vive qui ont lieu en M et en N. On a
/a» an
force vive acquise par le système dans le temps dt... pQU dt. U* N- — —j;
force vive perdue dans le même temps en M. . . oUUilt.ü1 ^ i 'j ;
force vive perdue dans le même temps en N. . . ? ttU dt. U1 ( t I;
quantité d’action imprimée à une tranche quelconque
as avili
par la gravité dans le temps d t. .. p g » d s . — =?gd:U Y'dt;
somme des quantités d’action imprimées à toutes les tranches. ogZ.IXUdl. L’équalion du mouvement du fluide est donc
a? st.au j/ = ?a u — --t-i — /v' — ) y
19 i LEÇONS SUR L'APPLICATION
d’où l'on tire
Si le vase inférieur est supprimé, et si le fluide dégorge dans l’air à l'extrémité N, on a a = o = O', et
Si la section du tuyau est trôs-petitc par rapport aux sections des deux vases, ce qui est le cas ordinaire, on a
Si la section du tuyau étant toujours très-petite par rapport aux sections du vase supérieur, le vase inférieur est supprimé, et si le fluide dégorge dans l’air, on a comme ci-dessus
107. Le tuyau n'étant point évasé à ses extrémités, la valeur de la pression, pour une section quelconque du tuyau comprise entre les extrémités M, N, sera donnée, conformément aux n°* 68 et 70, par la formule
pu’r (' Yl
dans laquelle m représente, conformément au n” 54, le coefficient de la contraction qui a lieu à l'extrémité M du tuyau. Cette formule convient également au cas où le vase inférieur est supprimé, et où l'on doit employer pour IJ l’expression (5).
Si la section du tuyau est très-petite par rapport à la scclion U du vase supérieur, la formule précédente se réduit à
)i = P- ;ys-
ou l’on doit mettre pour U l'expression ^6).
Le vase inférieur étant supprimé, les formules (7) et (8), en y mettant respectivement pour U les expressions (5) et (6), donneraient également
Ainsi la pression serait plus petite que la pression atmosphérique extérieure dans toutes les parties du tuyau situées au-dessus du niveau de son extrémité inférieure (ce résultat n’a pas lieu en réalité, parce que, comme on le verra plus loin, les valeurs précédentes de la vitesse sont beaucoup plus grandes que les valeurs données par l'observation).
108. Eu soumettant à l’expérience le genre d'écoulement dont il s’agit, on trouve pour la vitesse de l’eau dans les tuyaux des valeurs plus petites que celles qui seraient données par les formules des n"* 104 et 105. La différence qui est d'autant plus grande que le tuyau est plus long et le diamètre de ce tuyau plus petit, est produite par l’adhérence des molécules du fluide entre elles et aux parois du tuyau. L’effet de cette adhérence n’est pas sensible quand le fluide s’écoule hors d’un grand vase par un orifice; mais il le devient quand le fluide parcourt un long tuyau.
L’action des forces moléculaires qui altèrent ainsi le mouvement du fluide a été soumise à un calcul exact, dans le cas où le fluide coule dans un tuyau rectiligne, et où toutes les molécules se meuvent parallèlement à l'axe du tuyau. La valeur de la vitesse d’écoulement est donnée alors par une expression qui se réduit, quand le diamètre du tuyau est extrêmement petit, à
