EX
U, c, <7, x ont les significations indiquées n” 104;
D diamètre du tuyau ;
E constante à déterminer par expérience, dépendant seulement de l’adhérence réciproque du fluide et de la paroi, et variable avec la température. Ce résultat s’accorde avec des expériences très-curieuses faites par M. Girard, sur l’écoulement de divers fluides par des tubes capillaires ( voyez les Mémoires de l’ Institut, 1815 — 1816).
109. Celte théorie ne peut convenir aux cas ordinaires des applications. Le mouvement plus compliqué que prend alors le fluide n'ayant point été soumis au calcul, on n'a plus d’autre guide que les résultats des expériences.
Les expériences connues donnent la loi de l’écoulement avec une exactitude suffisante, lorsque la longueur du tuyau est au moins égale à 400 fois son diamètre, et lorsque la vitesse d'écoulement If ne surpasse pas 2™, 5. Les recherches de M. Prony ont démontré que les résultats de ces expériences sont représentés, en admettant que les forces, produisant la viscosité du fluide et
rm
son adhésion à la paroi du tuyau , impriment dans chaque élément d t du temps une quantité d'action exprimée par
-piX(«f + 6ü>)C dt.
x étant le contour de la section transversale du tuyau
x 4 on a — = —
«,6 des coefficients constants qui doivent être déterminés de manière à satisfaire aux expériences.
En introduisant ce terme dans l’équation du mouvement du fluide trouvée n° 10(i, elle devient
8 X rSP
D Lo»
et si la section du tuyau est très-petite par rapport aux sections des vases,
2 gü= (a U -4- 6 D*) -4- l)J t
d’où l’on déduira pour U une valeur plus petite que l’expression (4) du n° 106.
110. La section du tuyau étant supposée fort petite par rapport aux sections des vases qu’il réunit, et le diamètre de ce tuyau étant au plus égal à 7^ de sa longueur, l’expérience apprend que le dernier terme du second membre de l’équation (10) peut être négligé par rapport au premier, ce qui donne sx jDi;
2 ÿÇ = («U -*-6ljX), ou -- = a U -4-6 U* (Il)
Les valeurs deaCtS, déterminées de manière à satisfaire le mieux possible aux résultats des expériences, sont
La valeur de U, donnée par l’équation précédente, est
ou, à très-peu près,
a /jDt /l)C
Ou trouvera des tables des valeurs correspondantes de U et -dans les
Uevherches physico-inathéinaln/iws sur la théorie dus eaux courantes par M. de Prony, et dans l’écrit cité ci-dessous n° 112.
111. On a, pour calculer le diamètre d'un tuyau qui doit servir à écouler le volume d'eau Q dans une seconde sexagésimale , l'équation
— R' — a' 0 DJ — 5’ 0J = 0
iB1
112. Dans des mémoires publiés en 1814 et 1815 dans le recueil de l’Académie de Berlin , M. Eytelvvein a appliqué les expériences connues sur le mouvement de l’eau dans les tuyaux à la détermination des coefficients a et g
de l’équation (10) du n° 109, en y conservant le terme IP
Posant, pour abréger i ) •+- 1 = — , cette équation devient
2ffC= — (a U +gt:*)+ - (14)
M. Eytelvvein suppose n = — = 0,8125, afin qu’en faisant x = « , l’équation
donne pour U la valeur indiquée par l’expérience dans le cas oit le fluide s’écoule par un ajutage cylindrique d’une très-petite longueur ( voyez n° 78), et il se trouve pour les valeurs qu’il convient d'attribuer aux coefficients « et g afin de représenter le mieux possible les résultats des expériences (le mètre éfant l’unité linéaire),
Vf 1
Lu-'
L’équation précédente , résolue par rapport à IJ, donne
ou, en substituant les valeurs précédentes de a et p,
Payez l’écrit intitulé Recueil de cinq tables pour faciliter et abréger tes calculs des formules relatives au mouvement des eaux, etc..., publié en
septembre 1825, par M. de Prony (les mémoires de M. Eytelwein ont été traduits dans les Annales des mines , t. 12, 1826).
113. Si \ est très-grand par rapport à D, on peut réduire eette expression à
ou
Dt
114. Si l'on veut se contenter d’une formule approchée plus simple que les précédentes, on négligera le terme» lî dans l’équation (14) qui se réduira alors à
M. Eytchvein trouve que la valeur qui convient le mieux au coefficient G pour représenter les résultats des expériences, est alors
On a pour l'expression de la vitesse
115. Quant à la pression, en considérant en premier lieu un tuyau évasé à l’extrémité supérieure, on trouvera ici en employant le raisonnement des n“ 17 et 22, remarquant que le moment des forces retardatrices agissant sur les tranches placées au-dessus de la section que l'on considère est — ?x*(s> U -+• 6U,)Urff, et que le mouvement du fluide est censé uniforme,
pour la valeur de la pression dans la section du tuyau placée à la hauteur c au-dessous du niveau de l’eau dans le réservoir supérieur et à la distance s de l’extrémité supérieure du tuyau.
Si le tuyau n’est point évasé à l'extrémité supérieure, la formule précédente, conformément à ce qu’on a vu n" 68, devient
px*
(id + SC1), (20)
et si la section du tuyau est très-petite par rapport à la section supérieure 0 du réservoir
p=P + iijï ' — (a li + 5 I!1)
p ayant la signification indiquée n“ 1 12.
Si, comme cela arrivera dans beaucoup de cas, on peut négliger le terme
, cette équation devient, en ayant égard à l’équation (11) du n" 110.
Soit tracée (Fig. 40) du niveau P du réservoir supérieur à l’extrémité inférieure du tuyau, la ligne droite P N. Dans la plupart des tuyaux de conduite, * M m
le rapport —, ou — — . différera peu du rapport des lignes P/>, PR. Donc X UN
N R représentant Z et in p représentant z, la ligne t — sera représentée à
fort peu près par pq. Par conséquent la pression en >n sera due, d'après la formule précédente, à la hauteur inq; en sorte qu'adaptant en M un tuyau vertical à une petite ouverture faite dans la paroi, le fluide s’élèvera dans ce tuyau jusqu’à la rencontre de la ligne PN. En comparant cc résultat à celui du n° 107, on reconnaît l’augmentation que les forces retardatrices causent dans la pression qui a lieu dans le tuyau.
116. Supposant que l’eau sort d’un vase par un ajutage cylindrique, et que cet ajutage doit être prolongé par un tuyau du même diamètre, on pourrait demander de régler la pente de ce tuyau de manière que le fluide y coulât avec la même vitesse avec laquelle il sortirait par un court ajutage. Nommant
s la charge du fluide sur le centre de l’orifice qui forme l’extrémité supérieure du tuyau ;
z' la différence de niveau des deux extrémités du tuyau; on a (=: -+- z'. et comme l’eau coulerait par l’ajutage cylindrique avec la vitesse u 1/23 z, s' doit être déterminé par la condition que l'équation
2ÿï = — (a 9-1-69 *) -4
LEÇONS SLR L’APPI.ICATION
soit satisfaite par les valeurs Ç — z ■+■ z', U = n j/2 g s. Cette équation devient alors
2ÿS’ = — (ajiV/ajsrs-t-En2-2?2);
- = -(«8 y/ - -4-Su’
ce qui donne la valeur de la pente par mètre du tuyau.
117. Si l’on avait un tuyau de conduite composé de plusieurs parties de différents diamètres, on connaîtrait la loi de l’écoulement, en introduisant dans le second membre de l’équation (9) plusieurs termes, tels que
(aU + 6 l’>)
