DES EFFETS PRODEITS PAR LES BARRAGES ÉTABLIS DANS EN COERANT D'EAU

127. Un des objets les plus intéressants pour l'art de conduire les eaux est la connaissance des effets que l’on produit en barrant en partie un courant d'eau, c’est-à-dire en établissant un ouvrage qui gêne le cours de l’eau , et l’oblige à passer dans une section plus resserrée. Le résultat d’une disposition de cette nature est de faire prendre à l'eau une plus grande vitesse. Cela ne peut arriver sans que le niveau de la surface ne s’élève en amont de la section dont il s'agit , afin de produire une charge capable d’imprimer l’excédant de vitesse que l'eau doit prendre. Cette élévation de la surface se nomme remous. La hauteur du remous, quelle que soit la nature de la modification apportée à la section, peut être déterminée d'une manière suffisamment approchée au moyen des considérations suivantes.

128. Si. par exemple (Fig. 55), M N étant le fond du lit, et mn la direc-

DK LA MÉCANIQUE, i“* PARTIE.

lion primitive delà surface de l'eau, qui est parallèle à ce fond, un vannage est établi en P; nommant

ü l'aire de la section ordinaire du courant;

U la vitesse moyenne;

R’ l’aire de l'orifice établi dans le barrage ;

m le coefficient de la contraction de la veine à la sortie de cet orifice : ï la hauteur pq du remous occasionné par le barrage, u il

On aura pour la vitesse moyenne que l'eau devra prendre après sou

passage par l’orifice. Or le système dont il s’agit peut être assimilé à un vase où l’eau, entrant par la section U , sortirait par la section wtü, sur le centre de laquelle il y aurait une charge;. Donc, conformément aux résultats établis précédemment, et en négligeant la considération de la pente du lit, qui est ordinairement très-petite, on a

On parvient au même résultat en remarquant que la vitesse à l’orifice doit être due à la charge du fluide qui a lieu sur cet orifice, plus la hauteur due à la vitesse naturelle du courant.

129. En supposant (Fig. 56) que la section ait été resserrée sur le fond et les côtés seulement, et admettant que le seuil Q du barrage ne s'élève pas jusqu’au niveau de la surface mn du courant dans son état naturel. Nommant

C la profondeur naturelle mM du courant;

T la distance QR, depuis le niveau du seuil du barrage jusqu’au niveau primitif de la surface du courant;

; la hauteur R T du remous qu'occasionne la présence du barrage ;

b la largeur laissée au passage de l'eau sur le barrage ;

U la vitesse moyenne naturelle du courant ;

uJ

H la hauteur due à cette vitesse = — ;

Q la dépense par seconde du courant :

on pourra (conformément à ce qui a été dit n“ 83) regarder la section S comme étant formée de deux parties, l’une QR, dans laquelle le fluide s'écoule avec une vitesse moyenne duc à la différence T R ou ; des niveaux du fluide en amont et en aval de cette section; l’autre RS dans laquelle le fluide coule comme s'il jaillissait librement dans l'air. Si l’on suppose d’ailleurs la hauteur inconnue S de cette dernière partie déterminée d'après le principe

LKCONS Si:it L’APPLICATION

employé n°G2,on aura, en appliquant ici le résultat de ce n°, RS=0.72I7.C. D’après cela, et en remarquant que , pour avoir égard au mouvement primitif du fluide, il faut supposer les charges produisant les vitesses dans chaque partie de l’orifice augmentées de la hauteur II, il viendra :

1“ Pour la dépense faite par la partie inférieure QR de l'orifice, en nommant m le coefficient de la contraction qui convient à celle partie :

», feT. I/Sff <C -4-11);”

2“ Pour la dépense faite par la partie supérieure R S , en nommant m' le coefficient de la contraction qui convient à cette partie,

On aura donc l’équation

o = 6 V^g \ ’»■ r|/c iï+ 0,7247 . »,\ ? ;

et la valeur de ? qui satisfera à cette équation donnera la hauteur RT du remous.

150. Si la section était seulement resserrée par les côtés, comme cela arrive généralement au passage des ponts, on supposerait v= C. La valeur trouvée pour ï indiquerait la chute qui se forme à ce passage. Les valeurs qu’il convient alors d’attribuer aux coefficients m et m' sont les suivantes. Lorsque les piles sont terminées en demi-cercle ou par des angles aigus, 0,95; lorsqu’elles sont terminées par des angles obtus, 0,9; quand elles sont terminées carrément, en supposant les arches grandes 0,85; dans les cas les plus désavantageux, c’est-à-dire, pour de petites arches, et lorsque les naissances des voûtes plongent sous l’eau, 0,7 environ.

131. Si le niveau Qdu seuil du déversoir (Fig. 57)s'élcvail au-dessus du niveau primitif R delà surface du courant, il faudrait supposer dans l’équation précédente t=o, ce qui donnerait

Q=b l /Tf. 0.7247 . m' . C t/0,G195 . C -4- H .

La valeur de C que l’on déduirait de celte équation indiquerait alors, non plus la quantité RT dont la surface de l’eau s’est élevée en avant du barrage, mais la quantité QT dont cette surface s’est élevée au-dessus du seuil du déversoir.

132. Après la détermination de la hauteur du remous produit par un étranglement de la section, une recherche très-importante est celle delà figure du remous, c’est-à-dire, de la courbure qu’affecte au-dessus du barrage la surface de l’eau jusqu’à l’endroit où elle reprend son inclinaison naturelle.

ré*. 0,7247.? y

Considérons (Fig. 58) une portion quelconque d'un courant d'eau, comprise entre les deux sections M N et m n , el désignons par

ü et» les aires des sections M N et m n ;

L et îles distances verticales MP et mp comptées du fond du lit jusqu'à un plan horizontal quelconque Pp;

Z, et z, les distances verticales GP et gp comptées du centre de gravité des sections jusqu'au même plan horizontal :

II et h les hauteurs de l’eau M N et m n dans les deux sections ;

H, et /z, les hauteurs MG et mg des centres des sections sur le fond du lit; U et u les vitesses moyennes de l’eau dans les deux sections MN et vin: P et p les pressions moyennes qui ont lieu dans les mêmes sections :

S et* les longueurs des arcs passant par les centres de gravité des tranches qui se terminent aux points G et g; a. gel t ayant les mêmes significations qui leur ont été attribuées dans les numéros précédents.

Nous supposons toujours le mouvement du fluide constant, c’est-à-dire que la vitesse ne varie pas avec le temps daus une même section. La foretvive acquise dans l’élément dt par la portion de fluide comprise dans l’intervalle M N nm sera donc l’excès de la force vive de la tranche qui passe en M N sur la force vive de la tranche qui passe en m n , c’est-à-dire

p u u d t ( II* — uJ ).

La quantité d'action imprimée dans le même temps par la gravité est

La quantité d’action imprimée par les pressions exercées sur les sections extrêmes est

p a u il I — - P Ü U <1 1 ;

enfin, en évaluant l’effet des forces retardatrices, conformément à ce qu’on a vun° 109, la quantité d’action imprimée par ces forces sera

Nous aurons donc (en divisant tout par les fadeurs constants u ndt, QUrff) l'équation

Mais l’on a Z, = Z — II,, et z, = s — /*,; de plus, comme la surface supérieure du fluide est libre, la pression moyenne qui a lieu dans chaque section est due à la distance moyenne de chaque point de la section à la surface du

(laide, ce qui donne P=: ?g (H — H,) et P=?<7 (A— /ti). Ces valeurs, étant

substituées dans l’équation précédente, la changent en

t)1 u» /*S x fa S \

— Z — z — (H — A) — / ds — ! — u ^ u1 .... (m)

Si l'on différentie cette équation, on aura

— =-l/S+(il + (/l. —(—«-* u1 j.

Soit Q le volume d’eau qui traverse chaque section dans l'unité de temps.

d’où w-. Supposons constante la pente du fond du courant, que nous dési-

gnerons par i, d’où dz — ids. L’équation précédente deviendra

= — ids-+-d h — ( 1 ).

/JW3 fc>\^CO^Û>2/

Admettons encore que la figure de la section soit régulière . en sorte que l'aire de cette section soit une fonction donnée de la profondeur h seulement. En appelant x la largeur de la section au niveau de la surface de l'eau, on aura alors d»=xdh, et l’on déduira de cette équation

il s — il h

d'où l’on lire en intégrant

i fl 1 i îH

Cette équation a été donnée d’une autre manière par M. Bélanger dans l’écrit intitulé Essai sur (a solution numérique de quelques problèmes relatifs au mouvement permanent des eaux courantes, 1828. Elle peut servir, lorsque la pente du lit est constante, à déterminer les valeurs correspondantes de s et de h, et par conséquent la figure du remous, quand la figure de la section transversale est donnée. On peut voir dans cet écrit la manière dont on simplifie et abrège les calculs par l’emploi de diverses Labiés.

On peut aussi, comme l’a proposé M. de Prony ( Annales des ponts et r haussées), employer l’équation (m) sous la forme

cc qui revient à supposer les quantités », x et u, qui dépendent de h, constantes dans l’intervalle A*, et égales aux valeurs qui conviennent à l'une des extrémités de cet intervalle. On en tirera

formule qui servira à déterminer la variation de la profondeur de l’eau correspondante à l’intervalle As avec une exactitude d’autant plus grande que cet intervalle sera plus petit. Le calcul de cette formule est facile, puisque

l’on a des tables qui donnent les valeurs de — et - u - u1 eorrespondan-

tes a celle de u.

133. Ce qu’on pourrait appeler la longueur totale du remous serait la distance comprise entre le barrage qui produit l’élévation de l’eau , et le point où le courant reprend sa profondeur primitive, c'est-à-dire la profondeur qui convient au régime. On trouverait cette longueur en prenant l’intégrale dans l'équation (»), depuis la valeur de h qui a lieu près du barrage jusqu’à la valeur de h qui convient au régime. Or cette dernière valeur est telle qu’elle doit satisfaire à l’équation du n" 122,

g «» i g ta i Q Q *

sraü + Sü2, OU = a h 6 — ,

c’est-à-dire qu’elle rendra nul le dénominateur de la fonction qui multiplie dh sous le signe f dans l'équation («). Il suit de là que l'ordonnée extrême de la courbe, dont l’aire donne la valeur de s, est infinie, et, en général, l’aire de cette courbe sera également infinie. Donc , à parler rigoureusement, * lorsqu’un obstacle a fait exhausser la surface de l'eau dans un point déterminé d’un courant oU le régime était établi, cet exhaussement se prolonge en amont jusqu’à une distance infinie; mais il diminue progressivement, et devient bientôt insensible.

II existe toutefois certains cas d'exception, qui ont lieu lorsque , en faisant décroître successivement h, à partir de la valeur maximum qui a lieu près du barrage, le numérateur de la fonction qui multiplie dh dans l’équation (n) décroît plus rapidement que le dénominateur, et devient nul avant ce dernier. Ces cas se présentent principalement quand la vitesse du courant est grande et la hauteur de la section petite. La surface du remous est alors convexe vers le haut.

MN étant le fond du lit (Fig. 59). mn le niveau primitif de la surface de l’eau, qui est parallèle à ce fond, la surface du remous causé par le barrage P,

5li LEÇONS SCR L’APPLICATION

donnée par l'équation (n), sera une courbe ABC, située au-dessous de l'horizontale menée par le point le plus élevé A du gonflement, qui est toujours situé à une petite distance en amont du barrage. Ainsi cette équation n’indique plus ici que l’exhaussement s’étende à une longueur infinie. L'expérience apprend que, dans ce cas, le passage du niveau primitif ni n de la surface de l’eau à la surface du remous s'opère par un ressaut indiqué en B, la hauteur de la section subissant un changement brusque.

On connaîtrait la position du ressaut B si l’on en connaissait la hauteur. Cette hauteur peut être déterminée en remarquant que l'équation (m), du n“ 152, si l’on y néglige le terme qui exprimerait l’effet des forces retardatrices dans le petit intervalle ne-’, aussi bien que la différence du niveau des points k , n’, donnera pour la hauteur cherchée

équation dans laquelle H et U appartiennent à la section n', et h et n à la section p.

Ces résultats s’accordent avec des expériences faites par M. Bidone, et publiées dans les Mémoires de l'Académie de Turin pour 1820.

151. Lorsque la pente du fond du lit et la figure de la section transversale sont tout à fait irrégulières, comme dans le cas d’une rivière dont le lit est seulement défini par un profil longitudinal et par des sections transversales prises d’espace en espace, la formule (n) ne peut être appliquée. On peut alors employer avec un certain degré d’approximation l’équation (m) en la mettant sous la forme

il — h = Z —

Nous substituons ici à l’intégrale / rf»— I - J le produit de l’inter-

valle S — s par la demi - somme des valeurs extrêmes de la quantité

X la. 6 N

- f - u -t- - n’ ). Dans celte équation S—* et Z —z sont données. On connaît

u. Kg g 1

également H, et par conséquent X, QetlT qui en dépendent. Il faudra essayer diverses valeurs pour h, dont dépendent x, “ et v, et déterminer la valeur de cette quantité qui satisfait à l’équation dont il s’agit. Les calculs seront

MJ « 6

facilités par les tables qui donnent les valeurs de — et - u-*~ - n» corrcs-

2sr g g

pondants à une valeur donnée de u.

TITRE XVI