MATIÈRES

QTl DÉSISTENT A CRA VITESSES ET CEDENT S DES VITESSES NÜS GRANDES.

Terre détrempée . houe.

Argile tendre.

Sahlc.

Gravier.

Cailloux.

Pierres cassées . silex.

Cailloux aftijloméres . schistes tendres.

Roches en couches.

Koches dures.

La facilité avec laquelle les parois d'un lit cèdent à l'action des eaux dépend d'ailleurs du talus de ces parois et de la direclion du courant. Elles sont attaquées avec d’autant plus de force, que ce talus est plus rapide et la direction plus voisine de la perpendiculaire.

137. La pente des rivières diminue généralement depuis la source jusqu'à l’embouchure. La section s’accroît, et la vitesse diminue en conséquence. Les matières que les eaux ont entraînées dans les parties supérieures se déposent successivement ; il n’arrive à la mer que les sables les plus fins, ou les argiles tenus en suspension, et dont les dépôts forment des barres aux embouchures des fleuves.

138. Une rivière dont le volume d’eau serait constant tendrait d’elleraémcà régler son lit, soit en augmentant la largeur, ce qui diminue le rayon moyen, par conséquent la vitesse, et par suite l’action que le courant est capable d’exercer: soit en formant des contours qui diminuent la pente par l’augmentation du développement du lit, et par conséquent diminuent aussi la vitesse.

Un coude commencé tend à se prononcer de plus en plus. Le courant attaque la berge concave, qui devient plus verticale : il prend au pied de cette berge plus de profondeur et plus île vitesse, et dépose les matériaux entraînés du côté de la berge convexe qui s’atterrit.

Lorsque le vallon est trop étroit pour que les contours puissent prendre un développement assez grand et diminuer suffisamment la pente et la vitesse, le lit est continuellement modifié et les contours transportés en avant, de manière à occuper successivement toute la surface de la vallée.

139. Une rivière, dans les parties supérieures de son cours, a généralement une vitesse plus que suffisante pour dégrader son lit et entraîner les parties du terrain. La vitesse diminuant progressivement, et devenant nulle à l’embouchure dans la mer, les matières entraînées se déposent. Le fond du lit tend donc à s'élever. A la suite d’une crue, ce lit a perdu de sa profondeur: il est devenu moins capable de recevoir la crue suivante: et les parois présentant ordinairement alors moins de résistance que les dépôts amenés sur le fond, cette nouvelle crue produit la division du courant en plusieurs bras. Les rivières tendent ainsi à parcourir irrégulièrement les parties inférieures des vallées où elles coulent, à les couvrir de dépôts nuisibles à l’agriculture, et à s’y diviser en un grand nombre de bras n’ayant qu’un faible volume d'eau, et peu propres à la navigation. Ces eflFets sont plus sensibles lorsque les crues apportent des parties supérieures de gros sables ou des graviers, parce que ces matières résistent à la vitesse ordinaire du courant dans l’intervalle des crues. Us le sont moins lorsque les dépôts sont formés d'argile ou de sable fin ; matières qui peuvent être entraînées par les moindres vitesses: en sorte que le lit encombré peut se creuser de nouveau dans l’intervalle des crues.

DE LA MÉCANIQUE, 2"" PARTIE. Il:»

Les variations dans le volume et dans la vitesse des eaux s’opposent à re que le régime d’aucune rivière soit rigoureusement fixé. Une crue tend à augmenter le lit dans les parties supérieures, et les matières qu’elle entraîne encombrent ce même lit dans les parties inférieures. Ces dépôts arrivent en partie à la mer, ce qui prolonge les delta existant généralement à l'embouchure des grands fleuves ; mais ils ne peuvent y parvenir tous, et le fond des vallées s’élève progressivement aux dépens des montagnes où les sources des rivières sont placées.

140. Les principes d'après lesquels doivent être dirigés les travaux destinés au règlement des rivières sont fondés sur les considérations précédentes. Ces travaux ont généralement pour objet de remédier :

1° Aux corrosions des berges qui enlèvent des terrains utiles à l’agriculture ;

2° Aux dépôts dans le lit, qui nuisent à la navigation et tendent à faire ouvrir de nouveaux bras ;

3° Aux inondations, nuisibles surtout dans l’emplacement des villes.

1“ On garantit une berge attaquée par le courant en la revêtant par des constructions susceptibles de résister à l’action de l’eau. Ces constructions doivent conserver à la berge sa forme actuelle. Si cette berge a été fortement endommagée, et qu’on veuille reprendre sur le fleuve le terrain enlevé, on doit former tme levée suivant la direction primitive de la berge, en raccordant avec soin les extrémités à la direction des berges existantes. Il faut éviter en général les constructions connues sous le nom d 'épi», dirigées transversalement sur le fil de l’eau, et qui tendent à en changer brusquement la direction. On peut seulement employer quelquefois des épis à fêle noyée pour renforcer une berge sur laquelle le courant parait se diriger. C'est à tort, en général, que l’on croit fixer le cours d’un fleuve qui attaque fortement scs rives en redressant son lit : le résultat de celte opération est d’augmenter la vitesse, et par conséquent la force avec laquelle le terrain peut être emporté.

2" Un dépôt formé accidentellement dans le lit d'un fleuve indique généralement que la section est trop large. On le fait disparaître en diminuant cette largeur par un remblai établi en avant de la berge concave, et consolidé par un revêtement. Sans une précaution semblable on enlèverait inutilement le dépôt ; il sc reformerait de lui-même par l'effet des crues suivantes.

Quant aux effets produits dans les parties inférieures du cours d’un fleuve par les dépôts que les crues y abandonnent, et dont il a été parlé n° 139, on ne peut y remédier que par un vaste ensemble de travaux. Un des moyens les plus efficaces consiste à retenir les dépôts dans les montagnes d’où sort le fleuve, en barrant les torrents par des digues qui obligent l'eau à couler

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par cascades, entre lesquelles elle a peu de vitesse. Les crues ne peuvent entraîner alors que des matières susceptibles d’étre délayées, et qui donnent lieu à lieaueoup moins d'inconvénients que les cailloux et les graviers.

On peut aussi (comme on l'a fait pour la Loire) abandonner au fleuve un large espace, contenu entre des levées que les crues ne surmontent point, dans lequel le courant est libre de divaguer à volonté, mais que les dépôts n’élèvent que très-lentement. Ce parti a l'inconvénient de faire perdre beaucoup de terrain, et de rendre la navigation difficile et pénible.

Enfin, on peut (comme on l'a fait pour le Pô ) contenir le lit du fleuve dans un espace resserré, formé par des digues que les crues ne surmontent point. Cette disposition ne perd pas de terrain, et maintient le lit dans l’état convenable pour la navigation. Mais les dépôts élevant rapidement le lit, il faut élever les digues en conséquence, et bientôt le fleuve se trouve suspendu audessus de la surface des terrains environnants. Ces terrains sontalors exposés à de grands désastres, dans le cas où une crue extraordinaire causerait la rupture des digues.

3” Un volume d'eau considérable, étant versé dans la partie supérieure du lit d’un fleuve, prend, en s'écoulant dans chaque partie du cours, une vitesse principalement déterminée par la pente et par la figure de la section. Dans les parties supérieures les crues s’élèvent à une grande hauteur; le courant est rapide, et la crue dure peu de temps. Dans les parties inférieures la crue s’élève moins haut, le courant a une vitesse moindre, et celte crue dure plus longtemps. Ces modifications sont le résultat de la disposition générale du lit; et si un volume d’eau donné, introduit vers la source, y produit un certain excédant de dépense, il s’ensuivra, à une époque subséquente, un excédant de dépense déterminé dans chaque point donné du cours du fleuve.

Ainsi, sur un point donné du cours d’un fleuve , tel que l'emplacement d’une ville, en supposant une crue qui s’élève à une hauteur donnée, la dépense du fleuve est alors déterminée, et il n'y a aucun moyen de la changer. Quand la dépense d'un courant est donnée, ou ne peut faire abaisser la surface qu’en augmentant la largeur de la section, ou en augmentant la pente. Il faut donc, pour diminuer la hauteur des crues, élargir le lit, creuser de nouveaux bras, supprimer des barrages, s'il en existait en aval de la ville, ou construire des barrages en amont. Ces moyens, à l'exception de la suppression des barrages , sont en géuéral très-peu efficaces, ou sujets à de grands inconvénients.

Les égouts doivent, autant que possible, aboutir dans la rivière au-dessous de la ville.

TITRE XVII

DU MOUVEMENT d’uN FLUIDE ÉLASTIQUE COULANT DANS UN VASE.

141. Soit ABCD (Fig. 60) un vase ou un tuyau, dontl’axe MN est horizontal, et dans lequel coule un fluide élastique. Conservant ici l'hypothèse du parallélisme des tranches, on admet que la première section AB du tuyau est adjacente à un réservoir ou gazomètre , dans lequel la pression, et par conséquent la densité du fluide, sont maintenues constantes. A la dernière section ou orifice d’écoulement CD, la pression, qui est celle du milieu dans lequel le fluide s’écoule, est également supposée constante. Le fluide coule dans le sens M N par l’effet de la différence de ces pressions, et on suppose que le mouvement est devenu constant, et ne varie pas avec le temps. On nommera

" l’aire d’une section transversale quelconque * 6 :

U l’aire de l’orifice CD;

O l’aire de la première section A B du tuyau ;

x la distance M n des sections AB et a S ;

u la vitesse de la tranche de fluide placée en a 6 ;

U la vitesse de la tranche de fluide placée en CD;

p la pression qui a lieu en aS;

P la pression intérieure qui a lieu dans le gazomètre et dans la section AB;

P'ia pression extérieure qui a lieu dans la section CD;

P la masse de l’unité de volume, ou la densité du fluide dans la section a 6 (on a p=k p, en désignant par k un nombre constant lorsque la température est constante) ti).

La température est supposée la même dans toute l’étendue du vase. L’axe de ce vase étant horizontal, l’action de la gravité n’altère point le mouvement des tranches. Cela posé, l’élasticité du fluide s’oppose à ce qu’on établisse ici les conditions du mouvement par des raisonnements semblables à ceux des n”* 15 et suivants; mais, en remarquant que la masse de la tranche

[i] Supposant les pressions mesurées par les bailleurs il’une colonne <l'un fluide inconv pressible , nommant

* le poids de l’unité de volume de ce fluide;

h la hauteur de la colonne qui mesure la pression p (on aura p = *A);

II le poids de l'unité de volume d'un fluide élastique , à la température 0”, sous la pression mesurée par la colonne de Huide d'une hauteur);.

placée en a 6 est ? <*dx, la force perdue par cette tranche, — ? <*dx . — ; et

il t

que cette force perdue doit être égale à l’action exercée sur cette même tranche en vertu de la différence des pressions supportées par ses deux faces, on aura l’équation

du dp du

» dp — — p u d x . OU k = — — d X ,

dt p di

qui doit subsister dans toute l’étendue du vase.

Pour intégrer cette équation, on remarque que le mouvement du fluide étant supposé constant , la môme masse doit passer à chaque instant dans toutes les sections. Ainsi p»n, et par conséquent p» u sont des quantités

P' au

constantes pour toutes les sections. On a donc u = ,

pu

d (pu) dx

du = — P'ü U , et en mettant u à la place de — , il viendra

dp

d(pu)

— p'3 JJ3 U3 .

Intégrant, et déterminant la constante de manière que l’on ait en même temps » = O, p = P, on a

O- (Sfr

On a , d’après les lois de Mariotle et de Gay-Lussac . p g étant le poids de l’unité de volume du fluide élastique .1 la température r» sous la pression p,

et par conséquent , puisque p = * h, t

Pour Pair atmosphérique, les pressions étant mesurées par des colonnes de mercure, comme on sait que le rapport du poids du mercure à celui de l’air à la température de 0° et sous la pression de 0ra,76 est 10400 , on a g — 9“* ,8088 I

{ d’où k — 7802 1 ( 1 + 0,00375 . v ).

pour les autres fluides les valeurs de k seront réciproques à leurs pesanteurs spécifiques.

H comme à la section CD l’on a *>= ü, p — P', il vient

Le volume de fluide qui s'écoule dans l'unité de temps, mesuré sous la pression P qui a lieu dans le gazomètre, est

Ce volume est réciproquement proportionnel, toutes choses égales d’ailleurs à la racine quarrée de la pesanteur spécifique du fluide [i].

142. En substituant la valeur (2) de U dans l’équation (1), il viendra

équation qui servira à déterminer la pression p qui a lieu dans la section «.

143. Si l’orifice d’écoulement CD est très-petit par rapport à la section AB, l’expression (2) de la vitesse d’écoulement se réduit à

2 *io(Ç. — , P'

et l’expression (3) du volume de fluide écoulé dans l’unité de temps, mesuré sous la pression qui a lieu dans le gazomètre, à

2 k log.

(il 11 ne faut point oublier, en appliquant ces formules, que le logarithme est hyperbolique, et que, si on le prend dans les tables ordinaires, il faut le multiplier par 2,3026. l'oyez d'ailleurs, pour une discussion plus étendue des résultats de cette solution, un mémoire inséré dans le tome VIII des Mémoires r/e l'Académie des sciences de l’Institut.

LEÇONS SUR L’APPLICATION L'équation (4) devient, dans la même hypothèse,

144. Si la paroi n’est point évasée à l’entrée de l’orifice d’écoulement C 1), en sorte que les filets du fluide ne puissent sortir du vase en suivant des directions parallèles à l’axe MN, la veine de fluide se contracte au delà de l’orifice, comme cela aurait lieu pour un fluide incompressible; et il résulte des expériences connues que le coefficient désigné par m dans le n“ 54 conserve, pour l’écoulement de l'air et des autres fluides élastiques, les mêmes valeurs qui conviennent aux liquides.

ÉCOULEMENT d'I’N FLUIDE ÉLASTIQUE HORS D*ülf RÉSERVOIR QUI SE VIDE PAR UN ORIFICE TRÈS-PETIT.

145. Considérons un réservoir dont la figure est rectangulaire, et dans l’une des faces duquel est ouvert un très-petit orifice. Les formules du n” 143 conviendront à ce cas, en supposant que toutes les sections m du vase que le fluide élastique parcourt, avant d'arriver à 1 orifice, sont égales a la section désignée ci-dessus par O. Mais si l’on fait <»= O dans l’équation (7), elle sera satisfaite par la valeur p= P ; d’où il suit que la pression, et par conséquent la densité du fluide, sont ici constantes dans toute l’étendue du vase, et que le fluide, en traversant l’orifice, passe de la pression P à la pression extérieure P' dans un intervalle fort court. De plus la vitesse du fluide dans l’intérieur du réservoir est fort petite. Dans un cas semblable on peut, sans erreur sensible, admettre que le réservoir se vidant par l’orifice, en sorte que la pression intérieure P décroît à mesure que le temps s’écoule, la vitesse à cet orifice est constamment exprimée par la formule (5).

D’après cela, nommant A le volume du réservoir, et tfP étant la variation que P subit dans l’élément du temps d t, on a

d t . \ / 2 k log. —

dP P V P'

P' U \/ 2 A (log P — log. P' )

Par conséquent, le temps nécessaire pour que la pression diminue dans le

réservoir, depuis la pression initiale P, jusqu’à la pression quelconque P, est

A /"P, cl p

p'üj/âli/ p i/iog. p — log. p' <8)

146. Si le fluide, au lieu de se répandre en sortant du réservoir dans un espace d’une étendue indéfinie où la pression P' est constante, était reçu dans un autre réservoir dont le volume fût A', la pression P' augmenterait avec le temps. Désignant par Pt' sa valeur initiale, on aurait la relation

A P,' -4- A' P,' = AP + A,P' d OU P' = .

Substituant cette valeur dans l’expression précédente de dt, il viendra AA' df

dt =

V 3* log. P-loB. tA(P|-P)+VP,']-t-tog.A'

et par conséquent

dP

] 4/ log. P — log. [A (P, — P) H- A' P'] log. A'

pour l’expression du temps pendant lequel la pression diminuera dans le premier réservoir de la valeur initiale P, à la valeur P.

CAS OC IL T A DES CHANGEMENTS BRUSQUES DANS LA GRANDEUR DES SECTIONS DU VASE.

147. On peut appliquer aux cas dont il s’agit des considérations analogues à celles qui ont été présentées dans les n- 67 et suivants. Le fluide s’écoulant par l’orifice CD (Fig. 61), après avoir franchi la section EF, à laquelle succède immédiatement la section plus grande GH, on conservera les dénominations précédentes, et l’on représentera par

A l’aire de la section EF;

A' l’aire de la section GH;

B, B' les valeurs des pressions qui ont lieu respectivement dans les sections EFetGH.

Cela posé , en appliquant ici le principe de la conservation des forces vives, on aura pour la masse d’une tranche quelconque, ? *d a. id pour

sa force vive à la fin du temps t, et ? »d x . 2 ud u pour la force vive qu’elle acquiert pendant le temps dt. La force vive, acquise par tout le fluide pendant ce même temps, est donc :

f p tû dx . 3 u d u,

l'intégrale étant prise entre les sections AB et C D. D’autre part, les vitesses

P'ü II POU

du fluide aux sections EF et GH étant respectivement et -,