Appelant

h la hauteur du baromètre qui mesure la pression atmosphérique extérieure ;

H la hauteur du manomètre qui mesure l’excès de la pression intérieure qui a lieu dans le réservoir où le tuyau prend naissance sur la pression atmosphérique extérieure ;

on a * = — , et l’on déduit l’équation (11) pour l’expression du volume de

fluide qui s’écoule dans l’unité du temps, ce volume étant mesuré sous la pression qui a lieu dans le réservoir,

156. Si le tuyau est ouvert à l’extrémité par laquelle le fluide s’écoule, !)=])', et l’expressiou (12) se réduit à

y/ «fx

157. Si la longueur du tuyau est très-grande par rapport à son diamètre, les expressions (12) et 15) deviennent

irl>*

AI» H 4 S l h

158. Si l’orifice d’écoulement CD n’était pas évasé, comme on l’a supposé n° 152, on devrait remplacer dans les formules précédentes û' par vï û' et D'4 par m'1 DM, m étant le coefficient de la contraction à cet orifice.

159. Les formules précédentes, d’après les expériences faites par M. Girard et par M. d’Aubuisson, représentent les effets naturels avec une exactitude suffisante pour les applications. On doit, quelle que soit la nature du fluide, attribuer au coefficient 8 la valeur

qui diffère peu de celle qui convient au même coefficient pour le cas du mouvement de l’eau. ( Voyez ci-dessus n" 110.) Les expériences de M. Girard ont été publiées dans le tome V des Mémoires de l’Académie des sciences de l’Institut; et celles de M. d’Aubuisson dans le tome III des Annales des

Mines, nouvelle série 1828. ( Voyez d'ailleurs, dans le tome VIII des Mémoires de l'Académie des sciences, le mémoire cité ci-dessus).

TITRE XIX

nr choc d’une veine de fluide.

160. Soit en premier lieu (Fig. 64) une veine d’un fluide incompressible, jaillissant dans une direction horizontale d’un orifice évasé CD, au choc de laquelle on a présenté le plan MN placé perpendiculairement à la direction de l’axe AB de celte veine. En sortant de l’orifice tous les filets de fluide sont dirigés parallèlement à AB; et, si l'étendue du plan MN est suffisante, ils prennent, avant de parvenir à son contour, des directions parallèles à ce plan. On peut considérer ces filets comme des canaux d’une grosseur infiniment petite, dont la direction en A est parallèle à AB, et, perpendiculaire à cette ligne, aux points qui répondent au contour du plan. Donc, d'après ce qui a été dit n" 94, en désignant par U la vitesse du fluide en C D, qui est supposée constante, l'effort supporté par l’un quelconque de ces canaux, parallèlement à AB, se déduira de la formule (5) du n" 93, en y faisant O — Il , rfU = o, B' = 90°. Cette formule se réduit alors à püll1: et par conséquent, si O représente l’aire de l’orifice CD, U la vitesse du fluide à cet orifice , H la hauteur due à celte vitesse, on a

pUU», OU pÿ.SÜH,

pour l’expression de l’effort supporté par le plan MN. Cet effort est le double du poids d’une colonne de fluide dont l’orifice CD est la base, et dont la hauteur est la hauteur duc à la vitesse du fluide au passage de cet orifice.

En rapprochant ce résultat de celui du n" 94, on voit que (comme cela doit être) l’effort exercé contre le plan MN est égal à la force avec laquelle le vase est repoussé en sens contraire, par l’effet de l’écoulement du fluide.

Si la veine jaillissait verticalement de haut en bas (Fig. 65), la force résultant du choc contre un plan horizontal aurait la même valeur qui vient d’étre trouvée; mais il lui faudrait ajouter le poids du fluide contenu dans l’espace CDMN, qui est supporté par le plan, poids qui ne peut être évalué avec exactitude, parce que l’on ne connaît point la figure affectée par la veine.

161. Si l’on présente au choc de la veine fluide un ronordc convexe MBN (Fig. 66), et si l’étendue de ce conoïde est suffisante, tous les filets du fluide formeront, dans les points correspondants au contour, un angle déterminé avec l’axe AB, que nous désignerons par T. Supposons que le fluide règle

DE LA MÉCANIQUE, â-' PARTIE. 431

son mouvement à la rencontre du conolde , de manière que la vitesse des molécules se conserve sans altération, hypothèse qui ne peut être fort éloignée de la vérité. On devra, pour appliquer ici la formule (5) du n”93, faire 0 = 0, rfIT = o, B =90°, B' — B = V, on aura donc

PÜU>(1 — cos. V), OU p J.2ÛH (1 - co». V),

pour l'effort résultant du choc contre le conolde, a et U ayant les même* significations que dans le n° précédent.

Si le conolde (Fig. 67) présente au choc de la veine sa concavité, les filets du fluide seront réfléchis en sens contraire du mouvement de la veine, et il faudra faire dans la formule citée B' — B = 180° — 'P. L’effort résultant du choc sera

c OU2 ( !-+- COJ. V ) , OU P g . 2 a H (1 -t-co$. V).

Si l’angle V est nul ( Fig. 68), en sorte que les filets soient réfléchis dans une direction contraire et parallèle à celle du mouvement de la veine, l’effort est exprimé par

2pac>, ou p <7 . 4 a H.

Cet effort est alors double de celui qui a lieu contre un plan frappé perpendiculairement.

Les résultats précédents sont conformes aux effets naturels, et ont été vérifiés par des expériences directes, qui sont dues principalement à Morosi. ( Payes les Mémoire» de l’ Institut de Milan, tome 1, 1812-1813.) Il ne faut pas oublier dans les applications que q doit toujours représenter la section de la veine, au point où les directions des filets sont parallèles à l’axe, et U la vitesse du fluide à cette section.

162. Supposons maintenant (Fig. 69) que l’on présente au choc de la veine un plan vertical MN, formant avec l’axe AB un angle M", et assez grand pour que les filets de fluide , avant de parvenir au contour du plan, aient pris des directions parallèles à ce plan. Admettons, comme dans le numéro précédent , que le mouvement du fluide soit réglé de manière que la vitesse des molécules se conserve sans altération, et de plus, que l’épaisseur du fluide soit la même dans foute l’étendue du contour du plan. Faisons passer par l’axe A B un plan quelconque, et soitTTangle aigu formé par l’axe A Bel par l’intersection de ce plan avec le plan MN. En appliquant la formule (5) du n“95 à un filet de fluide compris dans le plan dont il s’agit, et situé du côté de l’angle V, il faudra faire 0 = ü, r/U —o, B=90°, B — B' =V ; ce qui donnera, pour l’effort exercé par ce filet dans le sens A B, p Q U* (1 — cos. V ). Mais il y aura dans le même plan un autre filet qui produira, dans le môme sens, l’effort ? flU1 (l-t-cos. (.). La somme de ces deux efforts étant pû U1, on en conclut que l’effort total exercé contre le plan M N, dans le sens A B, est ? a U en

désignant toujours par a l'aire de la section CD, et par U la vitesse du fluide qui a lieu dans cette section. L’effort exercé perpendiciüairement au plan M N sera donc exprimé par

P ü IJ*. sin. V, ou p g . 2 U H . sin.

Il existe plusieurs expériences, dont quelques-unes sont dues au docteur Vincc, qui s'accordent avec ce résultat.

TITRE XX

DE LA RÉSISTANCE DES FLUIDES, DANS LE CAS d’eN CORPS PLONGÉ DANS EN FLUIDE INDÉFINI.

163. Un corps immobile étant plongé dans un courant de fluide d’une largeur et d’une profondeur indéfinie, il s’exerce contre ce corps un effort qui est dû en général à deux causes :

1° Le choc du fluide contre la face antérieure du corps;

2“ L’inégalité des pressions résultant du poids du fluide , qui s'exercent contre les faces antérieures et postérieures.

MN étant la direction du mouvement du fluide (Fig. 70), les filets prennent à la rencontre du corps, dont A B est la face antérieure, des directions telles que mon, partagées par le point d'inflexion o, en deux parties. La partie mo présente sa convexité au corps ; l’autre partie on lui présente sa concavité. En parcourant la portion mo, le fluide exerce contre le corps, dans le sens MN, une pression représentée par les formules du n° 93. Si l’on prend la somme de ces pressions pour tous les filets de fluide que la présence du corps oblige à se détourner de leur direction rectiligne primitive, on aura l'effort supporté par le corps en raison du choc du fluide. Lorsque les molécules du fluide parcourent les portions on des courbes qu’elles décrivent, elles n'exerceut aucune action contre le corps , l'action résultant du mouvement de ces molécules étant supportée par le fluide environnant. L’effort résultant du choc est donc exprimé par la somme de quantités telles que

p ÜU(U — U’ cos. B')j

U représentant la vitesse naturelle du courant, U' la vitesse en o, B' l’angle de la tangente en o avec la direction du courant, û la section de chaqucfilet de fluide au point m. L’étude des phénomènes indique 1” Que. quand U varie, U’ varie dans le même rapport;

2" Que, pour plusieurs corps de. figures semblables, les figures formées par

les filets de fluide détournés de leurs directions primitives (figures qui ne changent point avec la vitesse du fluide) sont aussi semblables. Il en résulte

1" Que l’effort provenant du choc est proportionnel à IJ J;

2" Que l’effort est, pour des corps de figures semblables, proportionnel auquarréde leurs dimensions homologues.

164. Quant aux efforts des pressions produites par le poids du fluide, on jugera, d’après les principes qui ont été employés dans les articles précédents, et en admettant toujours que les vitesses variables des filets de fluide qui entourent le corps conservent constamment des valeurs proportionnelles à la vitesse primitive U du courant, que la pression hydraulique (c’est-à-dire la pression qui aurait lieu si le fluide était en repos) sera, pour chaque point de la surface du corps, augmentée ou diminuée d’une quantité proportionnelle à V2. Il résulte de là, qu’en prenant la résultante des pressions exercées sur les diverses parties de la surface du corps, on trouvera une quantité proportionnelle à lî>, puisque les pressions hydrauliques se détruisent mutuellement.

165. Les conditions précédentes conduisent à admettre que l’effort exercé sur le corps, en vertu du mouvement du fluide, doit avoir pour expression générale

n ( m n ) B HJ,

en nommant:

fl le poids de l’unité de volume de fluide ;

a l’aire de la plus grande section transversale du corps :

H = — la hauteurdueà la vitesse du fluide;

ni, n (les coefficients numériques, constants pour des corps de. figures semblables, variables pour des corps de diverses figures, dont les valeurs doivent être données par l’expérience.

L’expérience est d’accord avec ce résultat, pourvu toutefois que l’on ait égard à diverses modifications dont on va parler. Ce même résultat s’applique également au cas où le corps est mû dans le fluide, II représentant la hauteur due à la différence des vitesses. Mais il paratt qu’alors les coefficients ni , n peuvent avoir des valeurs différentes. Il faut concevoir que le coefficient vi se rapporte à l’effet réuni du choc et de la pression contre la face antérieure, et le coefficient n à l’effet du défaut de pression contre la face postérieure, par suite duquel le corps est tiré dans le sens du mouvement du fluide.

166. Les modifications qu’il peutétre nécessaire d’apporter aux conclusions précédentes dépendent:

1° De l’adhésion des molécules du fluide. Elle produit des effets sensibles quand la v itesse est faible, et le corps très-petit ou très-allongé. Alors il faut,

pour représenter les effets naturels, ajouter un terme proportionnel à la première puissance de la vitesse.

2" De l’élasticité du fluide, quand le corps est plongé dans l’air. Dans un fluide élastique, la densité augmentant avec la pression, la densité du fluide près de la face postérieure augmente avec la vitesse. Cette circonstance fait croître la résistance dans un rapport plus grand que celui du quarré de la vitesse. Cet effet ne devient sensible que pour des vitesses très-considérables .

5° De la distance du corps à la surface du fluide, s’il se meut dans l’eau. Lorsque le corps est très-près de cette surface, il donne lieu à une résistance plus grande, parce que l’eau ne se détourne pas à sa rencontre avec la même facilité. Si le corps est flottant, la surface du fluide subit une dénivellation , dont l’effet est d’augmenter la pression contre la face antérieure, de la diminuer contre la face postérieure, et de faire croître la résistance plus rapidement que le quarré de la vitesse.

4“ Enfin de valeurs extrêmes attribuées à la vitesse. On peut toujours concevoir une vitesse assez grande pour que la valeur de la pression exercée contre la face postérieure du corps devienne négative. Alors le fluide ne touche plus cette face. La résistance est produite par le choc sur la face antérieure, cl par la pression résultant du poids du fluide exercée contre cette face : son expression change entièrement de nature.

Les considérations précédentes donnent une idée générale de la résistance des fluides, et de la manière dont on peut l’évaluer : il reste à exposer ce que l’observation a appris sur la valeur absolue de la résistance pour divers corps.

PISXS.

167. Considérant un plan choqué directement par le fluide, et l’effort qu’il supporte étant exprimé par la formule du n° 158, dans laquelle U représente l'aire de ce plan, le coefficient m ■+■ n augmentera avec ü. Il est à peu près 1,4 quand j/Tfi= 0",1 ; et 1,9 quand |/~a= 0m,32. On n’en connaît point exactement la valeur pour de plus grandes surfaces.

Lorsque le plan est mil dans un fluide en repos, il résulte de quelques expériences de Dubuat qu’on aurait seulement m -+- n = 1,43 quand 1/ ü = O1", 32. Mais la grande différence de ce résultat avec le précédent peut faire naître quelques doutes sur son exactitude.

168. Pour un plan choqué obliquement, on a seulement quelques expériences des docteurs Vincc et Hulton, faites sur des plans très-petits, dont les résultats sont représentés empiriquement, en supposant la résistance du plan choqué obliquement égale à celle du plan choqué directement multipliée par le rapport

(sin. n ) M»*

a étant l'angle du plan avec la direction du mouvement.

Les expériences de Bossutsur des bateaux terminés par des proues obliques ne s’appliquent point à des plans.

CORPS FRISMAT1QOIS.

169. Pour un corps prismatique terminé par deux faces planes, la pression exercée contre la face antérieure est sensiblement constante. La non pression exercée sur la face postérieure diminue à mesure que le prisme est plus long. Le corps en repos étant choqué par le fluide, on a environ

quand la longueur esl = l/ & n = 1,46

3 V ü ou = 6 V ü — ni -p- n = 1,34.

Lorsque la longueur est plus grande, ni +n augmente par l’effet du frottement du fluide sur les faces latérales du corps.

Le corps étant mû dans un fluide en repos, on a seulement

quand la longueur est= V û m ■+■ n = 1,2

= 3 |/ü ou =61/ û m+n=l,l.