îm + îm1 I — 2 »» -+- 2 m
Si on faisait m = 0,62, on trouverait à peu près B = F — 0,89 (P — P' ). La vitesse d’écoulement sera moindre que la valeur donnée par l’expression
' 2 k Log. —
Ces résultats paraissent s’éloigner très-peu des effets naturels.
TITRE XVIII
DU MOUVEMENT d’un FLUIDE ÉLASTIQUE COULANT DANS UN TUYAU DE CONDUITE.
152. Cette question peut être traitée d’après des considérations analogues à celles qui ont été présentées dans les n”‘ 109 et suivants ; mais les expériences indiquent que la résistance, provenant du frottement du fluide contre la paroi du tuyau, est proportionnelle au carré de la vitesse moyenne. Nous désignons par
a l’aire de la section AB (Fig. 63) du réservoir ou gazomètre, dans lequel le tuyau prend naissance ;
u l’aire de la section a 6 du tuyau, qui est supposée constante;
x le contour de la section «;
D le diamètre de cette même section;
l’aire de la section ef, dans laquelle la veinede fluide se contracte après s’être introduite dans le tuyau ;
U'I’aire de l’orifice CD, par lequel le tuyau est terminé, et dont l’entrée est évasée ;
D' le diamètre de cet orifice ;
P, P' les pressions constantes qui ont lieu aux sections extrêmes a et U';
p la pression qui a lieu dans la section quelconque a g du tuyau, situé à la distance M|» —x de son origine dans le gazomètre ;
B, B'ies pressions qui ont lieu aux sections ef et G H ;
m LEÇONS SUR L’APPLICATION
P, la pression quia lieu dans la section I K, qui forme l’extrémité du tuyau, et précède immédiatement l’orifice d’écoulement ;
U la vitesse d'écoulement du fluide à la section extrême C D ; u la vitesse dans la section quelconque a 6 ;
p = - la densité du fluide dans cette même section, k étant un nombre eonk
s tant;
x la longueur MIS du tuyau;
S un coefficient constant , dont la valeur doit être déterminée de manière à satisfaire aux résultats des expériences.
En remarquant que, dans l’élément du temps dt, 1° la somme des quantités d’actions imprimées à toutes les tranches par l’effet de la différence des pressions qu’elles supportent sur leurs faces opposées, est
— f » dp . udt;
l’intégrale étant prise entre les sections AB et CD; 2” la somme des quantités d'action imprimées par la force retardatrice provenant du frottement sur la paroi, cette force étant supposée proportionnelle à la densité du fluide, à l’aire de la paroi et au carré de la vitesse, est
6 u1 . udt;
3° la somme des forces vives acquises par toutes les parties du fluide est
adx . 2 u du;
4“ la force vive perdue par l’effet du changement brusque de vitesse dans la section GH , est,' d’après ce qu’on a vu n" 147,
— ü'u dt. u* | k
\ B . m tt B' tù J
on aura pour l’équation du mouvement du fluide
wdp.udt= J pxdat.6tp.udl-*- / puilx. udu-hP'ü'Vd/.V,(
c/ J \B.wûi B'm.
ou en divisant par p » udt= P' U' U d t,
/dp /»* /» UWP'Ü' P'ü'Y
— = / — dx ■ 6 uJ-v- / ud h -t- — ( J , (1)
/•dp
— et [u du sont respectivement
log. — et — ( 1 ). Quant à' l’intégrale / — d x.Zu1 , qui rc-
P’ a V p2 fl 2 / * J u
vient à
» P'2 fl »
-dx.ê
on en obtiendra la valeur d'une manière fort 'approchée en admettant que le carré p* de la pression décroît uniformément entre les sections GH et I K, en négligant les parties de l’intégrale qui répondent aux portions du tuyau qui sont au delà de ces sections. L’intégrale dont il s’agit deviendra alors
Sx dx 6 P' 2 fl'2 U* 6xx p'1 fl'1 u1 B'
— . . = . ; — — 7 • 2 log. — .
D’après cela l’équation (1) deviendra
p rï6*x p'2ü'2 b' P'2fl'2 /P'fl' P'û'y-i
2 k log. — = U2 1 . . 2 log. — ni h .
P' L « (B'2— P,2)»2 P, P2 fl2 \B.»*u Du/ J
153. 11 reste maintenant à déterminer les pressions intérieures B, B' et P,. Pour y parvenir on remarquera que la pression serait donnée dans l’intervalle Ee/T, par l’équation (1), en supprimant dans le second membre les termes relatifs à l’effet du frottement sur les parois, et de la perte de force vive qui a lieu en GH, c’est-à-dire par l’équation
P /P'2fl'2 P'2ü'2\
2 k log. — = l!2 | ] (8)
» désignant la section quelconque pour laquelle la pression est calculée. On remarquera de plus que la pression sera donnée dans le reste du tuyau par l’équation (1), en prenant dans le second membre les intégrales jusqu’à la section pour laquelle on veut déterminer la pression ; ce qui donnera
p r26*x P-2fl'2 B'2 P'2 U'2
p Lu
2 k log.
. log.
pJ uJ
P'ja-j /p'U’ p'fly-i
Faisant donc dans l’équation (3) u = m u et p = B, il viendra p /P'2 fl'2 p'2a<2\
2* log. - = ü2 (5)
B \B2.m»2u2 P2 fl2/
Faisant dans l’équation (4), x=io, «= p = B'; puis æ,=x,“ = », p =rPi,
on aura de plus
3 k log. — =
3 k log. — = U1 f
Mry-|
. 2 log. —
Fjjry-j
B . tn tû
Les équations (2), (5), (6) et (7) déterminent les quatre quantités inconnues B, B', P, et U.
154. Si l’excès de la pression intérieure P sur la pression extérieure P' est fort petite, ce qui est le cas ordinaire des applications, on peut supposer
et les équations (5), (6), (7) et (2) deviennent alors en négligeant les puissances
supérieures de
xn
IJ2 ü'2
2 k ( ic — •' ) =
U3fl'3 r
